Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (12), ( → ( (10)

2010-09-12T22:54:11Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (12), ( → ( (10)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:54 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	==Mikrozustände:==		==Mikrozustände:==

	Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> → quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>( Hilbertraum)		Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> → quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>(Hilbertraum)

	:<math>\left\| \Psi \right\rangle \in H</math>		:<math>\left\| \Psi \right\rangle \in H</math>
Zeile 23:		Zeile 23:
	==Mikroobservable==		==Mikroobservable==

	Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>( Ms kommutieren):		Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>(Ms kommutieren):

	→ quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):		→ quantenmechanische Observablen (Hermitesch):
	:<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht !		:<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht!

	Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !		Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen!

	{{Def\|'''Maximalmessung: '''Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen <math>\Rightarrow \left\| \alpha \right\rangle </math>\|Maximalmessung}}		{{Def\|'''Maximalmessung: '''Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen <math>\Rightarrow \left\| \alpha \right\rangle </math>\|Maximalmessung}}
Zeile 83:		Zeile 83:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Also gleich in Basis Alpha wie Beta !		Also gleich in Basis Alpha wie Beta!

	===Quantenmechanisches Gemisch===		===Quantenmechanisches Gemisch===
Zeile 89:		Zeile 89:
	Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7		Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7

	# <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>( prinzipielle Unschärfe)		# <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>(prinzipielle Unschärfe)

	Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle </math>		Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle </math>
Zeile 95:		Zeile 95:
	* Zusätzliche Statistik		* Zusätzliche Statistik

	# <u>'''Unvollständige Information '''</u>über den Mikrozustand des Systems ( z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		# <u>'''Unvollständige Information '''</u>über den Mikrozustand des Systems (z.B., nach einer vollständigen Messung im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
	# wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen !		# wird vom Messergebnis nicht Kenntnis genommen!

	Basis der Mikrozustände :		Basis der Mikrozustände :
Zeile 112:		Zeile 112:
	:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math>		:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)</math>

	mit dem statistischen Operator ( Dichtematrix<math>{{\hat{\rho }}_{\alpha \beta }}</math>		mit dem statistischen Operator (Dichtematrix<math>{{\hat{\rho }}_{\alpha \beta }}</math>)
	):		:

	:<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right\|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math>		:<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right\|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math>

	Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht !		Überlagerung der Projektoren mit dem statistischen Gewicht!

	====Summary====		====Summary====
Zeile 140:		Zeile 140:
	:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \| \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle \beta \right\|\hat{M}\left\| \beta \right\rangle </math>		:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \| \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle \beta \right\|\hat{M}\left\| \beta \right\rangle </math>

	* keine quantenmechanischen Interferenzterme !		* keine quantenmechanischen Interferenzterme!
	* → Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !		* → Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden!

	'''Normierung '''des statistischen Operators:		'''Normierung '''des statistischen Operators:
Zeile 154:		Zeile 154:
	:<math>\left\| \Psi \right\rangle :\hat{\rho }=\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right\|</math>		:<math>\left\| \Psi \right\rangle :\hat{\rho }=\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right\|</math>

	Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand !		Also: für reine Zustände ist der statistische Operator ein Projektor auf diesen reinen Zustand!
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \hat{\rho }=\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right\|={{{\hat{P}}}_{\Psi }} \\		& \hat{\rho }=\left\| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right\|={{{\hat{P}}}_{\Psi }} \\
Zeile 160:		Zeile 160:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	einheitliche Darstellung !!		einheitliche Darstellung!!
	'''Nebenbemerkung'''		'''Nebenbemerkung'''

	Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs ( klassisch + quantenmechanisch)		Mathematische Formulierung des Zustandsbegriffs (klassisch + quantenmechanisch)

	Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra <math>M</math>		Zustand = normiertes, positives lineares Funktional auf der Algebra <math>M</math>
Zeile 173:		Zeile 173:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände !		reiner Zustand = Extremalpunkt der konvexen menge der Zustände!

	====Informationsmaße====		====Informationsmaße====
Zeile 181:		Zeile 181:
	'''Nebenbemerkung:'''		'''Nebenbemerkung:'''
	:<math>\ln \hat{\rho }</math>		:<math>\ln \hat{\rho }</math>
	ist ( wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:		ist (wie alle Operatorfunktionen) definiert durch die Spektraldarstellung:
	:<math>\ln \hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\ln {{P}_{\alpha }}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right\|}</math>		:<math>\ln \hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\ln {{P}_{\alpha }}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right\|}</math>

Zeile 195:		Zeile 195:
	:<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math>		:<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math>

	Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit <math>\left\| \alpha \right\rangle </math> ist durch Maximalmessung gegeben !		Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit <math>\left\| \alpha \right\rangle </math> ist durch Maximalmessung gegeben!

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 206:		Zeile 206:
	& \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\		& \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\
	& n=1,...,m \\		& n=1,...,m \\
	\end{align}</math> damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)		\end{align}</math> damit sie Erhaltungsgrößen sind! (im thermodynamischen Gleichgewicht)

	{{Def\|		{{Def\|
Zeile 221:		Zeile 221:
	Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:		Hilbertraum des großkanonischen statistischen Operators:
	:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}^{N}}</math>		:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}^{N}}</math>
	( Fock- Raum)		(Fock- Raum)

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: --> → →, -> → → (4)

2010-09-12T20:18:14Z

Pfeile einfügen, replaced: --> → →, -> → → (4)

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:18 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	==Mikrozustände:==		==Mikrozustände:==

	Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> -> quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>( Hilbertraum)		Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> → quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>( Hilbertraum)

	:<math>\left\| \Psi \right\rangle \in H</math>		:<math>\left\| \Psi \right\rangle \in H</math>
Zeile 25:		Zeile 25:
	Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>( Ms kommutieren):		Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>( Ms kommutieren):

	~~-->~~ quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):		→ quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
	:<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht !		:<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht !

Zeile 100:		Zeile 100:
	Basis der Mikrozustände :		Basis der Mikrozustände :
	:<math>\left\| \alpha \right\rangle </math>		:<math>\left\| \alpha \right\rangle </math>
	-> sample set der Zufallsereignisse		→ sample set der Zufallsereignisse
	:<math>{{P}_{\alpha }}</math>		:<math>{{P}_{\alpha }}</math>
	Wahrscheinlichkeitsverteilung		Wahrscheinlichkeitsverteilung
Zeile 122:		Zeile 122:
	Bemerkung:		Bemerkung:

	'''Reine Zustände '''-> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:		'''Reine Zustände '''→ kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \\		& \left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \\
Zeile 141:		Zeile 141:

	* keine quantenmechanischen Interferenzterme !		* keine quantenmechanischen Interferenzterme !
	* -> Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !		* → Die statistischen Operatoren nur der reinen Zustände können als Summe über Projektoren geschrieben werden !

	'''Normierung '''des statistischen Operators:		'''Normierung '''des statistischen Operators:

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T17:29:33Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Schubotz: /* Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator */

2010-09-11T17:05:49Z

Verallgemeinerter kanonischer statistischer Operator

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:05 Uhr
Zeile 193:		Zeile 193:

	Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen		Vorurteilsfreie Schätzung unter Nebenbedingungen
	<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math>		:<math>K\left( \rho ,\rho \acute{\ } \right)=tr\left[ \hat{\rho }\left( \ln \hat{\rho }-\ln \hat{\rho }\acute{\ } \right) \right]</math>

	Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math>		Voraussetzung: Die reinen Zustände <math>{{\hat{P}}_{\alpha }}</math> haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit <math>\left\| \alpha \right\rangle </math> ist durch Maximalmessung gegeben !
	haben die gleiche a-priori- Wahrscheinlichkeit
	<math>\left\| \alpha \right\rangle </math>
	ist durch Maximalmessung gegeben !

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \\		& \hat{\rho }=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \\
	& \Psi =-\ln tr\left( \exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \right) \\		& \Psi =-\ln tr\left( \exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{{\hat{M}}}^{n}} \right) \right) \\
Zeile 206:		Zeile 203:

	'''Nebenbemerkung:'''		'''Nebenbemerkung:'''
	Die <math>{{\hat{M}}^{n}}</math>		Die <math>{{\hat{M}}^{n}}</math> müssen nicht miteinander kommutieren, aber <math>\begin{align}
	müssen nicht miteinander kommutieren,

	aber
	<math>\begin{align}
	& \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\		& \left[ {{{\hat{M}}}^{n}},H \right]=0 \\
	& n=1,...,m \\		& n=1,...,m \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math> damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)

	damit sie Erhaltungsgrößen sind ! ( im thermodynamischen Gleichgewicht)

			{{Def\|
	'''Kanonischer Statistischer Operator:'''		'''Kanonischer Statistischer Operator:'''
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \hat{\rho }={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H \right) \\		& \hat{\rho }={{Z}^{-1}}\exp \left( -\beta H \right) \\
	& Z=tr\left( \exp \left( -\beta H \right) \right) \\		& Z=tr\left( \exp \left( -\beta H \right) \right) \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>\|Kanonischer Statistischer Operator}}

	'''Übung:'''		'''Übung:'''

Schubotz: /* reine Zustände */

2010-09-11T15:28:33Z

reine Zustände

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 17:28 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung==		==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung==
	===reine Zustände===		===reine Zustände===
	<math>\left\| \Psi \right\rangle </math> heißt {{FB\|reiner Zustand} (Vektorzustand)		<math>\left\| \Psi \right\rangle </math> heißt {{FB\|reiner Zustand}} (Vektorzustand)

	Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left\| \alpha \right\rangle </math> im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math> (Maximalmessung):		Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left\| \alpha \right\rangle </math> im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math> (Maximalmessung):
Zeile 84:		Zeile 84:

	Also gleich in Basis Alpha wie Beta !		Also gleich in Basis Alpha wie Beta !

	===Quantenmechanisches Gemisch===		===Quantenmechanisches Gemisch===

Schubotz: /* =reine Zustände */

2010-09-11T15:26:43Z

=reine Zustände

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 17:26 Uhr
Zeile 51:		Zeile 51:

	==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung==		==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung==
	===reine Zustände==		===reine Zustände===
	<math>\left\| \Psi \right\rangle </math> heißt {{FB\|reiner Zustand} (Vektorzustand)		<math>\left\| \Psi \right\rangle </math> heißt {{FB\|reiner Zustand} (Vektorzustand)

Schubotz: /* Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen */

2010-09-11T15:25:58Z

Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 17:25 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|2\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|2\|3}}</noinclude>

	~~===Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen===~~		==Mikrozustände:==

	====Mikrozustände:====

	Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> -> quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>( Hilbertraum)		Klassischer Zustandsraum <math>\Gamma </math> mit <math>\xi \in \Gamma \subseteq {{R}^{6N}}</math> -> quantenmechanischer Zustandsraum <math>H</math>( Hilbertraum)
Zeile 23:		Zeile 21:
	<math>\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion		<math>\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion

	====Mikroobservable====		==Mikroobservable==

	Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>( Ms kommutieren):		Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>( Ms kommutieren):

Schubotz: /* Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung */

2010-09-11T15:21:45Z

Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 17:21 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	* {{FB\|Projektionsoperator}} auf <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>		* {{FB\|Projektionsoperator}} auf <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>

	====Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung====		==Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung==
			===reine Zustände==
			<math>\left\| \Psi \right\rangle </math> heißt {{FB\|reiner Zustand} (Vektorzustand)

	~~# <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>~~		Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left\| \alpha \right\rangle </math> im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math> (Maximalmessung):
	~~# heißt reiner Zustand ( Vektorzustand)~~
	Wahrscheinlichkeit für das Resultat <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>
	im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
	( Maximalmessung):

	<math>{{\left\| \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}=\left\langle \Psi \| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left\| \Psi \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math>		:<math>{{\left\| \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}=\left\langle \Psi \| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left\| \Psi \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math>

	Erwartungswert von <math>\hat{M}</math>		Erwartungswert von <math>\hat{M}</math> im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>:
	im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		:<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle </math>
	:
	<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle </math>

	Falls <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>		Falls <math>\left\| \alpha \right\rangle </math> Eigenbasis zu <math>\hat{M}</math>:
	Eigenbasis zu <math>\hat{M}</math>		:<math>\begin{align}
	:
	<math>\begin{align}
	& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\		& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\
	& =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\		& =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Schreibweise mit Projektor auf Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		Schreibweise mit Projektor auf Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>:
	:		:<math>\begin{align}
	<math>\begin{align}
	& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right\|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\		& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right\|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\
	& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right\|\hat{X}\left\| \alpha \right\rangle \\		& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right\|\hat{X}\left\| \alpha \right\rangle \\
Zeile 93:		Zeile 86:

	Also gleich in Basis Alpha wie Beta !		Also gleich in Basis Alpha wie Beta !
			===Quantenmechanisches Gemisch===
	~~# <u>'''~~Quantenmechanisches Gemisch~~'''</u>~~

	Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7		Gemengezustand: Vergl. Fick: Grundlagen der Quantentheorie, Kapitel 7

Schubotz: /* Mikroobservable: */

2010-09-11T15:16:06Z

Mikroobservable:

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 17:16 Uhr
Zeile 23:		Zeile 23:
	<math>\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion		<math>\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion

	====Mikroobservable:====		====Mikroobservable====

	Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>		Klassische Phasenraumfunktion M: <math>\Gamma ->R</math>( Ms kommutieren):

	~~( Ms kommutieren):~~		--> quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
			<math>\hat{M}:H->H</math> kommutieren im Allgemeinen nicht !
	* quantenmechanische Observablen ( Hermitesch):
	<math>\hat{M}:H->H</math>

	kommutieren im Allgemeinen nicht !

	Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !		Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen !

	'''Maximalmessung: '''Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen <math>\Rightarrow \left\| \alpha \right\rangle </math>		{{Def\|'''Maximalmessung: '''Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen <math>\Rightarrow \left\| \alpha \right\rangle </math>\|Maximalmessung}}

	Klassische Messwerte: <math>M\left( \xi \right)</math>		Klassische Messwerte: <math>M\left( \xi \right)</math>

	* <math>{{M}_{\alpha }}\in R</math>		* <math>{{M}_{\alpha }}\in R</math> als Eigenwerte im Eigenzustand <math>\left\| \alpha \right\rangle </math> <math>\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle ={{M}_{\alpha }}\left\| \alpha \right\rangle </math>
	* als Eigenwerte im Eigenzustand <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>
	*
	<math>\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle ={{M}_{\alpha }}\left\| \alpha \right\rangle </math>

	Spektraldarstellung:		{{FB\|Spektraldarstellung}}:

	<math>\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{{}}^{{}}{\left\| \alpha \acute{\ } \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha \acute{\ } \right\|}\left\| \alpha \right\rangle </math>		:<math>\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{{}}^{{}}{\left\| \alpha \acute{\ } \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha \acute{\ } \right\|}\left\| \alpha \right\rangle </math>

	denn:		denn:
	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \hat{M}=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right\|}=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\left\| \alpha \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right\|} \\		& \hat{M}=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right\|}=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{\left\| \alpha \right\rangle {{M}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right\|} \\
	& \left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right\|:={{{\hat{P}}}_{\alpha }} \\		& \left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right\|:={{{\hat{P}}}_{\alpha }} \\
Zeile 57:		Zeile 50:
	Projektionsoperator auf den Zustand Alpha:		Projektionsoperator auf den Zustand Alpha:
	Observable: Ist das System im Zustand <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>		Observable: Ist das System im Zustand <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>
	?		* {{FB\|Projektionsoperator}} auf <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>
	* Projektionsoperator auf <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>
	*

	====Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung====		====Quantenmechanische Erwartungswerte einer Messung====

*>SchuBot am 11. September 2010 um 15:08 Uhr

2010-09-11T15:08:10Z

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Zeile 13:		Zeile 13:
	: <math>\begin{align}		: <math>\begin{align}

	& \left\langle \alpha \acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \alpha \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \acute{\ }\alpha }} \\		& \left\langle \alpha \acute{\ } \| \alpha \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \acute{\ }\alpha }} \\

	& \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right\|=1 \\		& \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right\|=1 \\
Zeile 19:		Zeile 19:
	\end{align}</math> Orthonormierung und Vollständigkeit		\end{align}</math> Orthonormierung und Vollständigkeit

	<math>\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle </math> Entwicklung		<math>\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle </math> Entwicklung

	<math>\left\langle {\bar{r}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion		<math>\left\langle {\bar{r}} \| \Psi \right\rangle =\Psi \left( {\bar{r}} \right)</math> Ortsdarstellung der Wellenfunktion

	====Mikroobservable:====		====Mikroobservable:====
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	( Maximalmessung):		( Maximalmessung):

	<math>{{\left\| \left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}=\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \alpha \right\rangle \left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left\| \Psi \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math>		<math>{{\left\| \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \right\|}^{2}}=\left\langle \Psi \| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|{{\hat{P}}_{\alpha }}\left\| \Psi \right\rangle ={{P}_{\alpha }}</math>

	Erwartungswert von <math>\hat{M}</math>		Erwartungswert von <math>\hat{M}</math>
	im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		im Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
	:		:
	<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle </math>		<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle </math>

	Falls <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>		Falls <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>
Zeile 80:		Zeile 80:
	:		:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \alpha \right\rangle \left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\		& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \Psi \| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle {{M}_{\alpha }}= \\
	& =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\		& =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{M}_{\alpha }} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 87:		Zeile 87:
	:		:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right\|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\		& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right\|{{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle :=tr\left( {{{\hat{P}}}_{\Psi }}\hat{M} \right)=tr\left( \hat{M}{{{\hat{P}}}_{\Psi }} \right) \\
	& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right\|\hat{X}\left\| \alpha \right\rangle \\		& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right\|\hat{X}\left\| \alpha \right\rangle \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 96:		Zeile 96:
	'''Satz: '''Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:		'''Satz: '''Die Spur ist invariant bei Basiswechsel:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right\|\hat{X}\left\| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta ,\beta \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \beta \right\rangle \left\langle \beta \right\|\hat{X}\left\| \beta \acute{\ } \right\rangle \left\langle \beta \acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right\|\hat{X}\left\| \beta \acute{\ } \right\rangle \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \beta \right\rangle \\		& tr\hat{X}:=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \alpha \right\|\hat{X}\left\| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta ,\beta \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \alpha \| \beta \right\rangle \left\langle \beta \right\|\hat{X}\left\| \beta \acute{\ } \right\rangle \left\langle \beta \acute{\ } \| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right\|\hat{X}\left\| \beta \acute{\ } \right\rangle \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } \| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \beta \right\rangle \\
	& \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \beta \right\rangle =\left\langle \beta \acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \beta \right\rangle ={{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\		& \sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \acute{\ } \| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \beta \right\rangle =\left\langle \beta \acute{\ } \| \beta \right\rangle ={{\delta }_{\beta \acute{\ }\beta }} \\
	& tr\hat{X}=\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right\|\hat{X}\left\| \beta \right\rangle \\		& tr\hat{X}=\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right\|\hat{X}\left\| \beta \right\rangle \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 109:		Zeile 109:
	# <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>( prinzipielle Unschärfe)		# <u>'''QM- Wahrscheinlichkeitsaussagen '''</u>( prinzipielle Unschärfe)

	Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle </math>		Wahrscheinlichkeitsamplitude <math>\left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle </math>

	* Zusätzliche Statistik		* Zusätzliche Statistik
Zeile 125:		Zeile 125:
	Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>		Erwartungswert, qm- Erwartungswert im Zustand <math>\left\| \alpha \right\rangle </math>

	<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right\|\hat{M}\left\| \beta \right\rangle \left\langle \beta ~~\right\|\left\|~~ \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta ~~\right\|\left\|~~ \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right\|\hat{M}\left\| \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right\|\hat{\rho }\hat{M}\left\| \beta \right\rangle </math>		<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right\|\hat{M}\left\| \beta \right\rangle \left\langle \beta \| \alpha \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\langle \beta \| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right\|\hat{M}\left\| \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right\|\hat{\rho }\hat{M}\left\| \beta \right\rangle </math>

	Also:		Also:
Zeile 142:		Zeile 142:
	'''Reine Zustände '''-> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:		'''Reine Zustände '''-> kohärente Überlagerung von Wahrscheinlichkeitsamplituden:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle \\		& \left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \| \Psi \right\rangle \\
	& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right\|\hat{M}\left\| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle \\		& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \| \alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right\|\hat{M}\left\| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle \alpha \acute{\ } \| \Psi \right\rangle \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	mit den quantenmechanischen Phasen		mit den quantenmechanischen Phasen
	<math>\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \alpha \right\rangle ,\left\langle \alpha \acute{\ } ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle </math>		<math>\left\langle \Psi \| \alpha \right\rangle ,\left\langle \alpha \acute{\ } \| \Psi \right\rangle </math>

	* es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls <math>\hat{M}</math>		* es entstehen sogenannte "Interferenzterme", falls <math>\hat{M}</math>
Zeile 156:		Zeile 156:
	<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right\|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math>		<math>\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left\| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \right\|=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}{{\hat{P}}_{\alpha }}</math>

	<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle \beta \right\|\hat{M}\left\| \beta \right\rangle </math>		<math>\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =tr\left( \hat{M}\hat{\rho } \right)=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \right\|\hat{M}\left\| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \| \beta \right\rangle =\sum\limits_{\beta }^{{}}{{}}{{P}_{\beta }}\left\langle \beta \right\|\hat{M}\left\| \beta \right\rangle </math>

	* keine quantenmechanischen Interferenzterme !		* keine quantenmechanischen Interferenzterme !
Zeile 164:		Zeile 164:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta ~~\right\|\left\|~~ \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \beta \right\rangle \\		& tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha ,\beta }^{{}}{{}}\left\langle \beta \| \alpha \right\rangle {{P}_{\alpha }}\left\langle \alpha \| \beta \right\rangle \\
	& \left\langle \alpha ~~\right\|\left\|~~ \beta \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }} \\		& \left\langle \alpha \| \beta \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }} \\
	& tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}=1 \\		& tr\hat{\rho }=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{P}_{\alpha }}=1 \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>