Quantentheoretischer Zugang - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: , → , (3)

2010-09-12T22:54:35Z

Interpunktion, replaced: , → , (3)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:54 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:

	Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?		Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
	* N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt		* N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
	→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas		→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas

Zeile 303:		Zeile 303:

	====Reine und gemischte Zustände====		====Reine und gemischte Zustände====
	{{Def\|'''reiner Zustand''' <math>\left\| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt <math> w_{i0}=1</math> , alle anderen <math>w_i</math>'s sind 0		{{Def\|'''reiner Zustand''' <math>\left\| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt <math> w_{i0}=1</math>, alle anderen <math>w_i</math>'s sind 0

	Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus!		Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus!
Zeile 366:		Zeile 366:

	mit a,b beliebig <math>{{\left\| a \right\|}^{2}}+{{\left\| b \right\|}^{2}}=1</math> z.B		mit a,b beliebig <math>{{\left\| a \right\|}^{2}}+{{\left\| b \right\|}^{2}}=1</math> z.B
	:<math>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\text{oder}\ a=1,b=0</math> ... alles reine Zustände		:<math>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\text{oder}\ a=1,b=0</math>... alles reine Zustände

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: --> → → (8), -> → → (2)

2010-09-12T20:18:45Z

Pfeile einfügen, replaced: --> → → (8), -> → → (2)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T17:29:37Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

*>SchuBot am 11. September 2010 um 17:25 Uhr

2010-09-11T17:25:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:25 Uhr
Zeile 333:		Zeile 333:
	& \rho \left\| r \right\rangle =r\left\| r \right\rangle \\		& \rho \left\| r \right\rangle =r\left\| r \right\rangle \\
	& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|}\left\| r \right\rangle =r\left\| r \right\rangle \quad \|\centerdot \left\langle r \right\| \\		& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|}\left\| r \right\rangle =r\left\| r \right\rangle \quad \|\centerdot \left\langle r \right\| \\
	& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle r ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|}\left\| r \right\rangle =r		& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle r \| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|}\left\| r \right\rangle =r
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	daraus folgt		daraus folgt
	#<math>{{w}_{i}}\le 1</math>, <math>{{\left\| \left\langle r \| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \right\|}^{2}}\le 1</math> somit <math>\Rightarrow 0\le r\le 1</math>		#<math>{{w}_{i}}\le 1</math>, <math>{{\left\| \left\langle r \| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \right\|}^{2}}\le 1</math> somit <math>\Rightarrow 0\le r\le 1</math>
	# <math>\begin{align}		# <math>\begin{align}
	& \sum\limits_{r}{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle r ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|}\left\| r \right\rangle }=\sum\limits_{r}{r} \\		& \sum\limits_{r}{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle r \| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|}\left\| r \right\rangle }=\sum\limits_{r}{r} \\
	& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=\sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r} \\		& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=\sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r} \\
	& \Rightarrow \sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r}=1		& \Rightarrow \sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r}=1

Schubotz: hat „Quantentheoretischer Zustand“ nach „Quantentheoretischer Zugang“ verschoben

2010-08-30T08:52:10Z

hat „Quantentheoretischer Zustand“ nach „Quantentheoretischer Zugang“ verschoben

← Nächstältere Version	Version vom 30. August 2010, 10:52 Uhr
(kein Unterschied)

Schubotz: /* Beispiel für gemischten Zustand */

2010-08-30T08:51:33Z

Beispiel für gemischten Zustand

← Nächstältere Version		Version vom 30. August 2010, 10:51 Uhr
Zeile 347:		Zeile 347:

	==Beispiel für gemischten Zustand==		==Beispiel für gemischten Zustand==

			<math>{{H}_{s}}\left\| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left\| n \right\rangle </math>: einfach machen

			Photon: mit Polarisation
			<math>\uparrow ,\to </math> = 2 Zustände <math>\left\| n=1,2 \right\rangle </math>

			<math>\left\| {{\Psi }_{i}}\left( t \right) \right\rangle =a\left( t \right)\left\| \to \right\rangle +b\left( t \right)\left\| \uparrow \right\rangle </math>


			<math>\left\| {{\Psi }_{i}}\left( t \right) \right\rangle </math> wird druch
			Zustände <math>\uparrow ,\downarrow ,a,b:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1</math> sind alle Möglich.

			===reiner Zustand===
			reiner zustand
			<math>{{\rho }_{\text{rein}}}=\left\| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}} \right\|</math>

			für festes a,b

			<math>\begin{align}
			& {{\rho }_{\text{rein}}}=a\left\| \to \right\rangle +b\left\| \uparrow \right\rangle +{{\left( a\left\| \to \right\rangle +b\left\| \uparrow \right\rangle \right)}^{*}} \\
			& ={{\left\| a \right\|}^{2}}\left\| \to \right\rangle \left\langle \to \right\|+a{{b}^{}}\left\| \to \right\rangle \left\langle \uparrow \right\|+b{{a}^{}}\left\| \uparrow \right\rangle \left\langle \to \right\|+{{\left\| b \right\|}^{2}}\left\| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right\|
			\end{align}</math>

			mit a,b beliebig <math>{{\left\| a \right\|}^{2}}+{{\left\| b \right\|}^{2}}=1</math> z.B
			<math>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\text{oder}\ a=1,b=0</math> ... alles reine Zustände



			===gemischter Zustand===

			<math>\rho =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right\|},\ \quad \left\| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left\| \to \right\rangle ,\quad \left\| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left\| \uparrow \right\rangle ,\quad {{w}_{1}}={{w}_{2}}=\frac{1}{2}</math>
			dann ist

			<math>\rho =\frac{1}{2}\left( \left\| \to \right\rangle \left\langle \to \right\|+\left\| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right\| \right)</math>


			wie kann man geschickt zwischen reinen und gemsichten <math>\rho</math> unterscheiden?
			Läuft über Spur (Übungsaufgabe)

			((LÖSUNG <math>\rho^2<1</math> :gemischt sonst rein))

			immer noch nicht bekannt <math>w_i</math> 's --> ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen

			==Aufgaben der statistischen Physik==
			3wichtige
			* dynamische Gelichungen für <math>\rho_{n,n'}(t)</math> um den statistischen Operator <math>\rho(t)</math> zu bestimmen <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho \left( t \right){{O}_{s}} \right)</math> bei externen Feldern
			* Anfangsbedinugungen <math>\rho_{n,n'}(t=0)</math> festlegen vor Einschalten externer Felder
			* Methoden finden die Umgebung in den Anfangsbedingungen durch wenige Parameter in <math>\rho_{n,n'}(t=0)</math> einzubauen (z.B. Temperatur)


	__SHOWFACTBOX__		__SHOWFACTBOX__

Schubotz: /* Eingenwertgleichung */

2010-08-30T08:25:54Z

Eingenwertgleichung

@@ Zeile 327: / Zeile 327: @@
 ====Eingenwertgleichung====
 ==Beispiel für gemischten Zustand==
 __SHOWFACTBOX__

Schubotz: /* statistischer Operator */

2010-08-30T08:14:43Z

statistischer Operator

@@ Zeile 265: / Zeile 265: @@
 ====Zeitabhängigkeit====
 ====Reine und gemischte Zustände====
 ====Eingenwertgleichung====
 ==Beispiel für gemischten Zustand==
 __SHOWFACTBOX__

Schubotz: /* statistischer Operator */

2010-08-29T23:25:08Z

statistischer Operator

@@ Zeile 245: / Zeile 245: @@
 ===statistischer Operator===
-Frage: Was kann man über \rho herausfinden?
+Frage: Was kann man über <math>\rho</math> herausfinden?
 kann 2 Eigenschaften
 ====Interpreatation====
 ====Zeitabhängigkeit====

Schubotz: /* statistischer Operator */

2010-08-29T23:15:02Z

statistischer Operator

← Nächstältere Version		Version vom 30. August 2010, 01:15 Uhr
Zeile 246:		Zeile 246:
	===statistischer Operator===		===statistischer Operator===
	Frage: Was kann man über \rho herausfinden?		Frage: Was kann man über \rho herausfinden?
			kann 2 Eigenschaften
	====Interpreatation====		====Interpreatation====
	====Zeitabhängigkeit====		====Zeitabhängigkeit====
	====Reine und gemischte Zustände====		====Reine und gemischte Zustände====
	====Eingenwertgleichung====		====Eingenwertgleichung====

	==Beispiel für gemischten Zustand==		==Beispiel für gemischten Zustand==
	__SHOWFACTBOX__		__SHOWFACTBOX__

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 22:18 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	==Einteilchenzustände im Kasten==		==Einteilchenzustände im Kasten==
	Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:		Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
	[[File:~~Particle_in_a_box_wavefunctions~~.svg\|miniatur\|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math>		[[File:Particle in a box wavefunctions.svg\|miniatur\|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math>
	:<math>V=L^3</math> (Volumen)]]		:<math>V=L^3</math> (Volumen)]]
	Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.		Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
Zeile 53:		Zeile 53:
	Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?		Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
	* N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt		* N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
	-> nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas		→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas

	Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:		Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:
Zeile 61:		Zeile 61:
	:<math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n		:<math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n

	-> in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB\|Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)		→ in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB\|Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
	:<math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist		:<math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
	'''Vorläuftig''' :		'''Vorläuftig''' :
Zeile 96:		Zeile 96:

	'''Interpretation''':		'''Interpretation''':
	* In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) ~~-->~~ Pauliprinzip		* In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip
	* In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 ~~-->~~ Bosekondensation)		* In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation)

	~~-->~~ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.		→ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.

	*allgemin Ansätzte für N-Teilchen		*allgemin Ansätzte für N-Teilchen
Zeile 159:		Zeile 159:
	man kann sich H anschauen:		man kann sich H anschauen:

	:<math>\frac{\partial H}{\partial N}\ne 0</math> ~~-->massive~~ Bosonen		:<math>\frac{\partial H}{\partial N}\ne 0</math> →massive Bosonen


	:<math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> ~~-->masselose~~ Bosonen		:<math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> →masselose Bosonen

	{{Def\|		{{Def\|
Zeile 174:		Zeile 174:

	==Wechselwirkung von System und Umgebung==		==Wechselwirkung von System und Umgebung==
	[[File:~~System_boundary~~.svg\|miniatur\|System und Umgebung		[[File:System boundary.svg\|miniatur\|System und Umgebung
	auf das '''System''' wirken externe Felder (<math>h_\alpha</math>) und die Umgebung oder '''Bad''' enstpricht einem großen Puffer]]		auf das '''System''' wirken externe Felder (<math>h_\alpha</math>) und die Umgebung oder '''Bad''' enstpricht einem großen Puffer]]

Zeile 229:		Zeile 229:

	{{Def\|<math>{{\rho }_{n,n'}}</math> wird '''Dichtematrix''' genannt oder Matrix des '''statistischen Operators''' <math>\rho</math> mit den Matrixelementen <math>{{\rho }_{n,n'}}</math>\|Dichtematrix}}		{{Def\|<math>{{\rho }_{n,n'}}</math> wird '''Dichtematrix''' genannt oder Matrix des '''statistischen Operators''' <math>\rho</math> mit den Matrixelementen <math>{{\rho }_{n,n'}}</math>\|Dichtematrix}}
	~~-->~~ führe {{FB\|statistischen Operator}} ein		→ führe {{FB\|statistischen Operator}} ein

	Erwartungwert in System mit Umgebung:		Erwartungwert in System mit Umgebung:
Zeile 245:		Zeile 245:
	:<math>{{\rho }_{n,n'}}=\sum\limits_{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}</math>		:<math>{{\rho }_{n,n'}}=\sum\limits_{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}</math>

	*hermitische Matrix ~~-->~~ kann diagonalisiert werden		*hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden
	*<math>\text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)=1</math> denn <math>{{\sum\limits_{bn}{\left\| {{c}_{n,b}} \right\|}}^{2}}=1</math> ebenso Diagonalelemente <math>0\le {{\left\| {{c}_{n,b}} \right\|}^{2}}\le 1</math> (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)		*<math>\text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)=1</math> denn <math>{{\sum\limits_{bn}{\left\| {{c}_{n,b}} \right\|}}^{2}}=1</math> ebenso Diagonalelemente <math>0\le {{\left\| {{c}_{n,b}} \right\|}^{2}}\le 1</math> (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)

Zeile 383:		Zeile 383:
	((LÖSUNG <math>\rho^2<1</math> :gemischt sonst rein))		((LÖSUNG <math>\rho^2<1</math> :gemischt sonst rein))

	immer noch nicht bekannt <math>w_i</math> 's ~~-->~~ ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen		immer noch nicht bekannt <math>w_i</math> 's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen

	==Aufgaben der statistischen Physik==		==Aufgaben der statistischen Physik==