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2010-09-12T22:23:43Z

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	<u>'''Aufgabe'''</u>		<u>'''Aufgabe'''</u>
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	:<math>\tau <0</math>		:<math>\tau <0</math>
	charakterisiert, der untere Integrationsweg durch		charakterisiert, der untere Integrationsweg durch
	:<math>\tau >0</math>		:<math>\tau >0</math>.
	.
	Dabei:		Dabei:
	:<math>\tau =t-t\acute{\ }</math>		:<math>\tau =t-t\acute{\ }</math>
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	:<math>\Gamma (\bar{q},\tau ):=\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=\oint\limits_{C}{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}</math>		:<math>\Gamma (\bar{q},\tau ):=\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=\oint\limits_{C}{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}</math>

	( Residuensatz)		(Residuensatz)

	Für		Für
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	Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:		Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:

	:<math>\oint\limits_{C}{dz}f(z)=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}sf(z)</math>		:<math>\oint\limits_{C}{dz}f(z)=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}sf(z)</math>,
	,

	falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen !
			falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen!

	:<math>\Gamma (\bar{q},\tau )=2\pi i{{c}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}}{2cq}+\frac{{{e}^{icq\tau }}}{-2cq} \right)</math>		:<math>\Gamma (\bar{q},\tau )=2\pi i{{c}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}}{2cq}+\frac{{{e}^{icq\tau }}}{-2cq} \right)</math>
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	:<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })</math>		:<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })</math>
	ist das Potenzial		ist das Potenzial
	:<math>\Phi (\bar{r},t)</math>		:<math>\Phi (\bar{r},t)</math>,
	, das von einer punktförmigen Ladungsdichte		das von einer punktförmigen Ladungsdichte

	:<math>\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>		:<math>\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>
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	:<math>\tau >0</math>		:<math>\tau >0</math>

	erhält man die avancierte Greensfunktion ( =0 für t > t´).		erhält man die avancierte Greensfunktion (=0 für t > t´).
	Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an		Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an
	:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>		:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
	zur zeit t´ zusammenzieht !		zur zeit t´ zusammenzieht!

	Mit		Mit
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	:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>		:<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
	zu retardierten Zeiten		zu retardierten Zeiten
	:<math>t\acute{\ }=t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c}</math>		:<math>t\acute{\ }=t-\frac{\left\| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right\|}{c}</math>.
	.
	Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.		Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:57:42Z

Einrückungen Mathematik

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2010-08-28T23:28:15Z

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Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|4|2}}</noinclude>
'''Aufgabe'''
Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:

<math>\begin{align}
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
\end{align}</math>

zu vorgegebenen erzeugenden Quellen
<math>\rho \left( \bar{r},t \right),\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
und Randbedingungen
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to 0f\ddot{u}r\quad \bar{r}\to \infty </math>

'''Methode: Greensche Funktion verwenden:'''

<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)</math>

'''In der Elektrodynamik:'''

<math>\#u\left( \bar{r},t \right)=-f\left( \bar{r},t \right)</math>

mit

<math>\begin{align}
& u\left( \bar{r},t \right):=\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& f\left( \bar{r},t \right)=\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}},{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
\end{align}</math>

Fourier- Trafo:

<math>\begin{align}
& {{{\hat{\#}}}^{-1}}:=-\hat{G} \\
& \Rightarrow \hat{u}\left( \bar{k},\omega \right)=\hat{G}\hat{f}\left( \bar{k},\omega \right) \\
\end{align}</math>

Rück- Trafo:
es folgt schließlich:

<math>u\left( \bar{r},t \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>

mit

<math>\#G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>

'''Vergleiche: Elektrostatik:'''

<math>\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>

Fourier- Trafo:

<math>\begin{align}
& {{\Delta }^{-1}}:=-\hat{G} \\
& \Rightarrow \hat{\Phi }\left( {\bar{k}} \right)=\hat{G}\hat{\rho } \\
& \hat{G}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}} \\
\end{align}</math>

Rück- Trafo:
es folgt schließlich:

<math>\Phi \left( {\bar{r}} \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>

mit

<math>\begin{align}
& G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
& \Delta G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

'''Kausalitätsbedingung:'''

<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=0</math>

für t<t´

Somit kann

<math>u\left( \bar{r},t \right)</math>
nur von
<math>f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>
mit t´ < t beeinflusst werden

'''Fourier- Transformation:'''

<math>\begin{align}
& f\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \hat{f}\left( \bar{q},\omega \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}f\left( \bar{r},t \right){{e}^{-i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
\end{align}</math>

Ebenso:

<math>\begin{align}
& u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{u}\left( \bar{q},\omega \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \Rightarrow \#u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{u}\left( \bar{q},\omega \right)\#{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \#{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}}=-\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
\end{align}</math>

Aber es gilt:

<math>\begin{align}
& \#u\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{2}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right){{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \Rightarrow \left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)\hat{u}\left( \bar{q},\omega \right)=\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right) \\
& \Rightarrow \hat{u}\left( \bar{q},\omega \right)=\frac{\hat{f}\left( \bar{q},\omega \right)}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \\
& \Rightarrow \hat{G}=\frac{1}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \\
\end{align}</math>

'''Rücktransformation:'''

<math>\begin{align}
& u\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}\acute{\ }f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right){{e}^{-i\left( \bar{q}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& u\left( \bar{r},t \right)=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{\infty }{dt}}\acute{\ }\left\{ \frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-i\omega \left( t-t\acute{\ } \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)} \right\}f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\
& \Rightarrow \frac{1}{{{\left( 2\pi \right)}^{4}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}q\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }}\frac{{{e}^{i\bar{q}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-i\omega \left( t-t\acute{\ } \right)}}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.

'''Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration'''

für
<math>\omega =\pm cq</math>
gibt es Polstellen.
Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:

Der obere Integrationsweg wird durch
<math>\tau <0</math>
charakterisiert, der untere Integrationsweg durch
<math>\tau >0</math>
.
Dabei:
<math>\tau =t-t\acute{\ }</math>

'''Das Integral über den Halbkreis:'''

'''Oberer Halbkreis:'''
<math>\tau <0</math>

<math>\begin{align}
& \omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad 0\le \phi \le \pi \\
& d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi \\
& \left| {{e}^{-i\omega \tau }} \right|={{e}^{R\sin \phi \tau }} \\
& \sin \phi >0 \\
& \tau <0 \\
& \Rightarrow \begin{matrix}
\lim \\
R\to \infty \\
\end{matrix}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0 \\
\end{align}</math>

'''Unterer Halbkreis:'''
<math>\tau >0</math>

<math>\begin{align}
& \omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad \pi \le \phi \le 2\pi \\
& d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi \\
& \left| {{e}^{-i\omega \tau }} \right|={{e}^{R\sin \phi \tau }} \\
& \sin \phi <0 \\
& \tau >0 \\
& \Rightarrow \begin{matrix}
\lim \\
R\to \infty \\
\end{matrix}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0 \\
\end{align}</math>

Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:

<math>\Gamma (\bar{q},\tau ):=\int_{-\infty }^{\infty }{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=\oint\limits_{C}{d\omega }\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\left( {{q}^{2}}-\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}</math>

( Residuensatz)

Für
<math>\tau <0</math>
liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C

<math>\begin{align}
& \Rightarrow \Gamma (\bar{q},\tau )=0 \\
& \Rightarrow G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=0:=G\left( \bar{s},\tau \right)=0 \\
\end{align}</math>

für t<t´

Dies ist die Kausalitätsbedingung.

Für
<math>\tau >0</math>
:

<math>\Gamma (\bar{q},\tau )=-2\pi i\sum\limits_{\omega =\pm cq}^{{}}{{}}\operatorname{Re}s\frac{{{e}^{-i\omega \tau }}}{\frac{1}{{{c}^{2}}}\left( \omega -cq \right)\left( \omega +cq \right)}</math>

Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:

<math>\oint\limits_{C}{dz}f(z)=2\pi i\sum\limits_{Pole}^{{}}{{}}\operatorname{Re}sf(z)</math>
,

falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen !

<math>\Gamma (\bar{q},\tau )=2\pi i{{c}^{2}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}}{2cq}+\frac{{{e}^{icq\tau }}}{-2cq} \right)</math>

<math>G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}q{{e}^{i\bar{q}\bar{s}}}\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2iq} \right)</math>

Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:

<math>\begin{align}
& {{d}^{3}}q={{q}^{2}}dq\sin \vartheta d\vartheta d\phi \\
& \bar{q}\bar{s}=qs\cos \vartheta \\
& G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{{{\left( 2\pi \right)}^{3}}}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}dqq\left( \frac{{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2i} \right)\int\limits_{-1}^{1}{{}}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}\int\limits_{0}^{2\pi }{{}}d\phi \\
& \int\limits_{-1}^{1}{{}}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}=\frac{{{e}^{iqs}}-{{e}^{-iqs}}}{iqs} \\
& \xi :=cq \\
& \Rightarrow G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{2{{\left( 2\pi \right)}^{2}}s}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}d\xi \left\{ {{e}^{i\left( \tau -\frac{s}{c} \right)\xi }}+{{e}^{-i\left( \tau -\frac{s}{c} \right)\xi }}-{{e}^{i\left( \tau +\frac{s}{c} \right)\xi }}-{{e}^{-i\left( \tau +\frac{s}{c} \right)\xi }} \right\} \\
& \Rightarrow G(\bar{s},\tau )=\frac{c}{4\pi s}\int\limits_{0}^{\infty }{{}}d\xi \left\{ \delta \left( \tau -\frac{s}{c} \right)-\delta \left( \tau +\frac{s}{c} \right) \right\} \\
& \delta \left( \tau +\frac{s}{c} \right)=0\quad f\ddot{u}r\ \tau >0 \\
\end{align}</math>

Also lautet das Ergebnis:

<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })=\left\{ \begin{matrix}
\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( t-t\acute{\ }-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\
0\quad \quad \quad \quad \quad t<t\acute{\ } \\
\end{matrix} \right.\ t>t\acute{\ }</math>

Retardierte Greensfunktion (kausal)

'''Physikalische Interpretation'''

<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ })</math>
ist das Potenzial
<math>\Phi (\bar{r},t)</math>
, das von einer punktförmigen Ladungsdichte

<math>\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>

am Punkt
<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
zur Zeit t´ erzeugt wird.

'''Die Eigenschaften:'''

* Kausalität
* Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
* <math>\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|=c\left( t-t\acute{\ } \right)</math>
*

'''Nebenbemerkung:'''

Für den Integrationsweg

'''Oberer Halbkreis:'''
<math>\tau <0</math>

'''Unterer Halbkreis:'''
<math>\tau >0</math>

erhält man die avancierte Greensfunktion ( =0 für t > t´).
Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an
<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
zur zeit t´ zusammenzieht !

Mit

<math>G(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( t-t\acute{\ }-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)f\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}f\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math>

folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen

<math>\rho \left( \bar{r},t \right),\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>

<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
\end{align}</math>

Die retardierten Potenziale
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>
sind bestimmt durch
<math>\bar{r}\acute{\ }</math>
zu retardierten Zeiten
<math>t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}</math>
.
Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.

Retardierte Potenziale - Versionsgeschichte

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