Stabilität und Langzeitverhalten - Versionsgeschichte

Schubotz am 7. Juli 2011 um 23:31 Uhr

2011-07-07T23:31:24Z

79.168.153.231: /* Sattelpunkt */

2011-07-02T16:49:42Z

Sattelpunkt

@@ Zeile 158: / Zeile 158: @@
 Haha. I woke up down today. Youve cehered me up!
-====Sattelpunkt====
+Stands back from the keoybrad in amazement! Thanks!
 ====Möglichkeit zur asymptotischen Stabilität====

4.71.200.50: /* Nicht asymptotisch StabilitÃ¤t */

2011-07-02T14:38:02Z

Nicht asymptotisch StabilitÃ¤t

@@ Zeile 191: / Zeile 191: @@
   was ein Widerspruch zur Voraussetzung für asymptotische Stabilität, mit trA=0
-====Nicht asymptotisch Stabilität====
+I thank you humlby for sharing your wisdom JJWY
 ====Beispiel zur Stabilität====

208.125.235.51: /* Instabiler Knoten */

2011-07-02T08:20:22Z

Instabiler Knoten

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2011, 10:20 Uhr
Zeile 156:		Zeile 156:


	~~====Instabiler Knoten====~~		Haha. I woke up down today. Youve cehered me up!

	~~'''detA>0'''~~

	~~'''trA>0'''~~


	~~:<math>{{\left( trA \right)}^{2}}>4\det A</math>~~



	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& {{\lambda }_{1/2}}>0 \\~~
	~~& {{\lambda }_{1/2}}\in R \\~~
	~~\end{align}</math>~~



	~~Das System ist exponenziell entdämpft~~.

	====Sattelpunkt====		====Sattelpunkt====

122.248.137.28: /* Summary: */

2011-07-01T17:18:54Z

Summary:

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2011, 19:18 Uhr
Zeile 188:		Zeile 188:


	~~====Summary:====~~		That's really tnhiknig out of the box. Thanks!



	~~<u>~~'~~''Grenze zwischen den 5 Bereichen: '''</u>entartete Fälle:~~

	* in diesem Fall versagt die lineare Stabilitätsanalyse völlig. Es ist nötig, höhere Terme der Taylorentwicklung um den Fixpunkt zu betrachten.

	~~Beispiel:~~

	~~'''trA=0'''~~

	~~'''detA>0'''~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& {{\lambda }_{1/2}}=\pm i\omega \\~~
	~~& {{\lambda }_{1/2}}\in I \\~~
	~~\end{align}</math>~~
	~~Dies kann ZENTRUM sein, also der Mittelpunkt der Phasenraumtrajektorien, die ungedämpfte Schwingungen beschreiben (energieabhängige, aber unveränderliche Ellipsen)~~.

	~~Dieses Zentrum ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil~~!

	~~Vergleiche: ungedämpfter Oszillator.~~

	~~Es kann sich aber auch um einen schwach stabilen oder instabilen Fokus handeln (der dann auch asymptotisch stabil ist)~~

	* es sind in diesem Fall auch qualitative Änderungen im Verhalten des Flusses möglich (Bifurkationen = Verzweigungen der Lösungsmannigfaltigkeit)

	~~'''Speziell: Hamiltonsche Vektorfelder:'''~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \dot{\bar{x}}:=J{{{\bar{H}}}_{,x}} \\~~
	~~& \Leftrightarrow {{{\dot{q}}}_{k}}=\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}},{{{\dot{p}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~'''Linearisierung zum Fixpunkt '''~~
	~~:<math>\bar{x}*</math>~~
	:


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \delta \bar{x}:=\bar{x}-\bar{x}* \\~~
	~~& \delta \dot{\bar{x}}=A\delta \bar{x} \\~~
	& mit:\ \delta {{{\dot{x}}}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{2f}{{{\left( \frac{\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}} \right)}_{x*}}\delta {{x}_{k}}=}\sum\limits_{k,j=1}^{2f}{\left( {{J}_{ij}}\frac{{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}} \right)\delta {{x}_{k}}} \\
	~~& \sum\limits_{j=1}^{2f}{{}}\left( {{J}_{ij}}\frac{{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}} \right)={{A}_{ik}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~



	~~:<math>\begin{align}~~
	& trA=div\bar{F}=\sum\limits_{k=1}^{f}{\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}-\frac{\partial }{\partial {{p}_{k}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}} \right)=}0 \\
	~~& trA=0=\sum\limits_{i=1}^{2f}{{{\lambda }_{i}}} \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	====Möglichkeit zur asymptotischen Stabilität====		====Möglichkeit zur asymptotischen Stabilität====

173.236.133.45: /* Beispiel fÃ¼r ein dissipatives System: LORENZMODELL (1963) */

2011-07-01T16:08:49Z

Beispiel fÃ¼r ein dissipatives System: LORENZMODELL (1963)

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2011, 18:08 Uhr
Zeile 297:		Zeile 297:
	Touchdown! That's a rlaley cool way of putting it!		Touchdown! That's a rlaley cool way of putting it!

	~~====Beispiel für ein dissipatives System: LORENZMODELL (1963)====~~		RXMz7l <a href="http://nishkgdlbwki.com/">nishkgdlbwki</a>


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \dot{x}=-\sigma x+\sigma y \\~~
	~~& \dot{y}=-zx-xz+rz-y \\~~
	~~& \dot{z}=yx+xy-bz \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Dies leitet sich ab aus der Temperatur- und Strömungsverteilung einer inkompressiblen Flüssigkeit: Das Rayleigh - Bénard- System~~

	~~Linearisierung:~~


	:<~~math>\begin{align}~~
	~~& A~~=~~\left( \begin{matrix}~~
	~~-\sigma & \sigma & 0 \\~~
	~~-z & -1 & r-x \\~~
	~~y & x & -b \\~~
	~~\end{matrix} \right) \\~~
	~~& \Rightarrow \Lambda =trA=-\left( \sigma +1+b \right) \\~~
	~~& \Rightarrow V(t)={{e}^{-\left( \sigma +1+b \right)t}}{{V}_{0}}-t->\infty \to 0 \\~~
	~~\end{align}</math>~~


	~~Phasenraumvolumina schrumpfen also monoton!~~

	~~Das Lorenzmodell produziert weiterhin chaotisch Lösungen:~~

	~~Der Stereoplot eines numerisch bestimmten Attraktors im Phasenraum liefert folgendes Bild:~~



	~~Dies ist so zu verstehen, dass sich die Phasenraumkurven, die sich übrigens nie schneiden! im Raum dieses Attraktors konzentrieren:~~

	~~Insbesondere enden gleich Anfangszustände immer wieder am selben Attraktor.~~

	~~Das Langzeitverhalten dissipativer Systeme wird durch Attraktoren bestimmt:~~

	~~'''Def.~~:~~'''~~

	~~Sei~~
	~~:<math>\bar{F}<~~/~~math>~~
	~~ein vektorfeld auf~~
	~~:<math>M={{R}^{n}}<~~/~~math>~~.
	~~Eine abgeschlossene, unter dem Fluß~~
	~~:<math>{{\Phi }_{t}}</math> invariante <math>{{\Phi }_{t}}(A)\subseteq A<~~/~~math>,~~
	~~unzerlegbare Teilmenge~~
	~~:<math>A\subset M</math>~~
	~~heißt Attraktor, falls:~~

	#
	~~:<math>A\subset {{U}_{0}}</math>~~
	~~(offene Umgebung von A) mit~~
	~~:<math>{{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subseteq {{U}_{0}}</math>~~
	~~(t>0)~~
	#
	~~:<math>\forall V</math> mit <math>A\subset V\subset {{U}_{0}}</math>~~

	~~:<math>\exists T>0</math>,~~
	~~so dass~~
	~~:<math>{{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subset V</math>~~
	~~(t>T)~~
	~~Das heißt, es existiert ein Attraktorbecken Uo, aus dem der Fluß asymptotisch in den Attraktor A läuft :~~

	~~'''Nebenbemerkung: Es kann grundsätzlich mehrere koexistierende Attraktoren auf M geben!'''~~

	~~Ein Attraktor von heißt <font color="#800000~~">~~fraktal~~ </font>, wenn er weder eine endliche Anzahl von Punkten, eine stückweise differenzierbare Kurve oder Fläche noch eine Menge, die von einer geschlossenen stückweise differenzierbaren Fläche umgeben wird, darstellt. Ein Attraktor heißt <font color="#800000">seltsam </font>, wenn er chaotisch, fraktal oder beides ist. Die Begriffe chaotisch, fraktal und seltsam werden für kompakte invariante Mengen, die keine Attraktoren sind, analog benutzt. Ein dynamisches System heißt <font color="#800000">chaotisch </font>, wenn es eine kompakte invariante chaotische Menge besitzt.

	~~'''Beispiele für Attraktoren:'''~~

	~~'''Stabiler Fixpunkt:'''~~

	~~Mindestdimension des Phasenraumes: 1~~

	~~Dimension des Attraktors: 0~~


	~~'''Stabiler Grenzzyklus:'''~~

	~~Mindestdimension des Phasenraumes: 2~~

	~~Dimension des Attraktors: 1~~

	~~periodische Bewegung im Phasenraum~~

	~~'''Stabiler Torus T²'''~~

	~~Mindestdimension des Phasenraumes: 3~~

	~~Dimension des Attraktors: 2~~

	~~quasiperiodische Bewegung im Phasenraum~~


	~~'''Seltsamer Attraktor'''~~

	~~Mindestdimension des Phasenraumes: 3~~

	~~Dimension des Attraktors: 2<D<3 (fraktaldimensional)~~

	~~chaotische Bewegung im Phasenraum~~

69.194.20.37: /* Der krÃ¤ftefreie unsymmetrische Kreisel */

2011-07-01T08:42:58Z

Der krÃ¤ftefreie unsymmetrische Kreisel

Änderungen zeigen

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (7), ( → ( (19)

2010-09-12T22:31:47Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (7), ( → ( (19)

Änderungen zeigen

>SchuBot: / Nicht asymptotisch Stabilität */Pfeile einfügen, replaced: -> → → (3)

2010-09-12T19:53:04Z

Nicht asymptotisch Stabilität: Pfeile einfügen, replaced: -> → → (3)

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 21:53 Uhr
Zeile 283:		Zeile 283:
	Also: Zentrum, reine Oszillationen, keine Dämpfung oder Unterdämpfung		Also: Zentrum, reine Oszillationen, keine Dämpfung oder Unterdämpfung

	<u>'''Fall f=1 -> n=2'''</u>		<u>'''Fall f=1 → n=2'''</u>

	In diesem Fall können die Fixpunkte nur Zentren ( falls det A > 0 ->		In diesem Fall können die Fixpunkte nur Zentren ( falls det A > 0 →
	:<math>{{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}</math>		:<math>{{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}</math>
	) oder Sattelpunkte		) oder Sattelpunkte

	( falls detA <0 ->		( falls detA <0 →
	:<math>{{\lambda }_{1}}>0,{{\lambda }_{2}}<0,{{\lambda }_{i}}\in R</math>		:<math>{{\lambda }_{1}}>0,{{\lambda }_{2}}<0,{{\lambda }_{i}}\in R</math>
	) sein !		) sein !

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:28:21Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Stabilität und Langzeitverhalten - Versionsgeschichte

Schubotz am 7. Juli 2011 um 23:31 Uhr

79.168.153.231: /* Sattelpunkt */

4.71.200.50: /* Nicht asymptotisch StabilitÃ¤t */

208.125.235.51: /* Instabiler Knoten */

122.248.137.28: /* Summary: */

173.236.133.45: /* Beispiel fÃ¼r ein dissipatives System: LORENZMODELL (1963) */

69.194.20.37: /* Der krÃ¤ftefreie unsymmetrische Kreisel */

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (7), ( → ( (19)

*>SchuBot: /* Nicht asymptotisch Stabilität */Pfeile einfügen, replaced: -> → → (3)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

>SchuBot: / Nicht asymptotisch Stabilität */Pfeile einfügen, replaced: -> → → (3)