Symplektische Struktur - Versionsgeschichte

>SchuBot: / Eigenschaften der Trafo */Kategorie

2010-09-16T22:12:33Z

Eigenschaften der Trafo: Kategorie

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	& {{{\underline{H}}}_{\phi }}={{M}^{T}}{{\underline{H}}_{\psi }}		& {{{\underline{H}}}_{\phi }}={{M}^{T}}{{\underline{H}}_{\psi }}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			[[Kategorie:Mathematik]]

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T18:23:32Z

Einrückungen Mathematik

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	Vektor der Ableitungen		Vektor der Ableitungen
	<math>{{\underline{H}}_{\psi }}=\left( \begin{align}		:<math>{{\underline{H}}_{\psi }}=\left( \begin{align}
	& {{\partial }_{q}}H \\		& {{\partial }_{q}}H \\
	& {{\partial }_{p}}H \\		& {{\partial }_{p}}H \\
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	Metrik im Phasenraum		Metrik im Phasenraum
	<math>\underline{\underline{J}}=\left( \begin{matrix}		:<math>\underline{\underline{J}}=\left( \begin{matrix}
	0 & 1 \\		0 & 1 \\
	-1 & 0 \\		-1 & 0 \\
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	=symplektisches Skalarprodukt=		=symplektisches Skalarprodukt=

	<math>\left\langle \underline{x},\underline{y} \right\rangle ={{{\underline{x}}}^{T}}\underline{\underline{J}}\underline{y}</math>		:<math>\left\langle \underline{x},\underline{y} \right\rangle ={{{\underline{x}}}^{T}}\underline{\underline{J}}\underline{y}</math>
	Eigenschaften:		Eigenschaften:
	* schiefsymmetrisch		* schiefsymmetrisch
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	=erzeugende Kanonische Trafo=		=erzeugende Kanonische Trafo=

	<math>{{M}_{1}}\left( q,Q,t \right):p={{\partial }_{q}}{{M}_{1}},P={{\partial }_{Q}}{{M}_{1}}\Rightarrow \frac{\partial {{p}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{i}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{i}}}</math>		:<math>{{M}_{1}}\left( q,Q,t \right):p={{\partial }_{q}}{{M}_{1}},P={{\partial }_{Q}}{{M}_{1}}\Rightarrow \frac{\partial {{p}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{i}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{i}}}</math>

	analog		analog


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{M}_{2}}\left( q,P,t \right) \\		& {{M}_{2}}\left( q,P,t \right) \\
	& {{M}_{3}}\left( p,Q,t \right) \\		& {{M}_{3}}\left( p,Q,t \right) \\
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	also Insgesamt		also Insgesamt

	<math>\underline{\psi }\underbrace{\to }_{M}\underline{\phi }</math>		:<math>\underline{\psi }\underbrace{\to }_{M}\underline{\phi }</math>
	mit		mit

	<math>\underline{\phi }:=\left. \left( \begin{align}		:<math>\underline{\phi }:=\left. \left( \begin{align}
	& \underline{Q} \\		& \underline{Q} \\
	& \underline{P} \\		& \underline{P} \\
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	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{M}^{-1}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \\		& {{M}^{-1}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \\
	& J={{M}^{T}}JM \\		& J={{M}^{T}}JM \\
Zeile 56:		Zeile 56:
	aus LA folgt		aus LA folgt

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \underline{{\dot{\phi }}}={{M}^{-1}}\underline{{\dot{\psi }}} \\		& \underline{{\dot{\phi }}}={{M}^{-1}}\underline{{\dot{\psi }}} \\
	& {{{\underline{H}}}_{\phi }}={{M}^{T}}{{\underline{H}}_{\psi }}		& {{{\underline{H}}}_{\phi }}={{M}^{T}}{{\underline{H}}_{\psi }}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Schubotz am 18. Juli 2009 um 23:41 Uhr

2009-07-18T23:41:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 19. Juli 2009, 01:41 Uhr
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	<math>\underline{\psi }:=\left. \left( \begin{align}		<math>\underline{\psi }:=\left. \left( \begin{align}
	& \underline{q} \\		& \underline{q} \\
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	=symplektisches Skalarprodukt=		=symplektisches Skalarprodukt=

	<math>\left\langle \underline{x},\underline{y} \right\rangle ={{{\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{x}}}^{T}}\underline{\underline{J}}\underline{y}</math>		<math>\left\langle \underline{x},\underline{y} \right\rangle ={{{\underline{x}}}^{T}}\underline{\underline{J}}\underline{y}</math>
	Eigenschaften:		Eigenschaften:
	* schiefsymmetrisch		* schiefsymmetrisch
Zeile 59:		Zeile 58:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \underline{{\dot{\phi }}}={{M}^{-1}}\underline{{\dot{\psi }}} \\		& \underline{{\dot{\phi }}}={{M}^{-1}}\underline{{\dot{\psi }}} \\
	& {{{\~~underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}~~{H}}}_{\phi }}={{M}^{T}}{{\underline{H}}_{\psi }}		& {{{\underline{H}}}_{\phi }}={{M}^{T}}{{\underline{H}}_{\psi }}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „ $\underline{\psi }:=\left. \left( \begin{align} & \underline{q} \\ & \underline{p} \\ \end{align} \right) \right\}2f$ Vektor der Ableitungen
2009-07-18T23:39:43Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ <math>\underline{\psi }:=\left. \left( \begin{align} & \underline{q} \\ & \underline{p} \\ \end{align} \right) \right\}2f</math> Vektor der Ableitungen <ma…“

Neue Seite

<math>\underline{\psi }:=\left. \left( \begin{align}
& \underline{q} \\
& \underline{p} \\
\end{align} \right) \right\}2f</math>

Vektor der Ableitungen
<math>{{\underline{H}}_{\psi }}=\left( \begin{align}
& {{\partial }_{q}}H \\
& {{\partial }_{p}}H \\
\end{align} \right)</math>

Metrik im Phasenraum
<math>\underline{\underline{J}}=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{matrix} \right)</math>
=symplektisches Skalarprodukt=

<math>\left\langle \underline{x},\underline{y} \right\rangle ={{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{x}}}^{T}}\underline{\underline{J}}\underline{y}</math>
Eigenschaften:
* schiefsymmetrisch
* bilinear
* nicht entartet
=erzeugende Kanonische Trafo=

<math>{{M}_{1}}\left( q,Q,t \right):p={{\partial }_{q}}{{M}_{1}},P={{\partial }_{Q}}{{M}_{1}}\Rightarrow \frac{\partial {{p}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{i}}}=-\frac{\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{i}}}</math>

analog

<math>\begin{align}
& {{M}_{2}}\left( q,P,t \right) \\
& {{M}_{3}}\left( p,Q,t \right) \\
& {{M}_{4}}\left( p,P,t \right)
\end{align}</math>

also Insgesamt

<math>\underline{\psi }\underbrace{\to }_{M}\underline{\phi }</math>
mit

<math>\underline{\phi }:=\left. \left( \begin{align}
& \underline{Q} \\
& \underline{P} \\
\end{align} \right) \right\}2f</math>

==Eigenschaften der Trafo==

<math>\begin{align}
& {{M}^{-1}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J \\
& J={{M}^{T}}JM \\
& \det \left( M \right)=1
\end{align}</math>

aus LA folgt

<math>\begin{align}
& \underline{{\dot{\phi }}}={{M}^{-1}}\underline{{\dot{\psi }}} \\
& {{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{H}}}_{\phi }}={{M}^{T}}{{\underline{H}}_{\psi }}
\end{align}</math>

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Schubotz am 18. Juli 2009 um 23:41 Uhr

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