Ununterscheidbarkeit quantenmechanischer Teilchen - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:57:09Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (11), ( → ( (3)

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	:<math>{{\left\| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right\|}^{2}}={{\left\| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right\|}^{2}}</math>		:<math>{{\left\| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right\|}^{2}}={{\left\| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right\|}^{2}}</math>

	Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar !		Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar!
	Also:		Also:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Charakteristikum des Zustandes, bzw. der '''Teilchensorte !'''		Charakteristikum des Zustandes, bzw. der '''Teilchensorte!'''
	{{Beispiel\|Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:		{{Beispiel\|Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:
	Sei		Sei
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	:<math>{{\left\| a,b \right\rangle }_{s}}=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left\| a,b \right\rangle </math>		:<math>{{\left\| a,b \right\rangle }_{s}}=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left\| a,b \right\rangle </math>

	ein Eigenzustand von <math>{{\hat{P}}_{12}}</math> zum Eigenwert '''+1''', der '''symmetrische Zustand''' !		ein Eigenzustand von <math>{{\hat{P}}_{12}}</math> zum Eigenwert '''+1''', der '''symmetrische Zustand'''!

	denn:		denn:
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	==N- Teilchensystem==		==N- Teilchensystem==

	Alle <math>{{\hat{P}}_{\left( ij \right)}}</math> kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch '''nicht''' untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind <u>scheinbar nur die Zustände realisiert</u>, die bei Vertauschung '''beliebiger ''' ununterscheidbarer Teilchen '''symmetrisch''' (<math>{{\lambda }_{ij}}=+1</math>)oder '''antisymmetrisch''' <math>{{\lambda }_{ij}}=-1</math> sind !		Alle <math>{{\hat{P}}_{\left( ij \right)}}</math> kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch '''nicht''' untereinander! Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind <u>scheinbar nur die Zustände realisiert</u>, die bei Vertauschung '''beliebiger ''' ununterscheidbarer Teilchen '''symmetrisch''' (<math>{{\lambda }_{ij}}=+1</math>)oder '''antisymmetrisch''' <math>{{\lambda }_{ij}}=-1</math> sind!

	Reduktion des Hilbertraumes <math>H\times H\times ...\times H</math>( N- mal) auf einen {{FB\|symmetrischen Hilbertraumteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{+}</math>) und einen {{FB\|antisymmetrischen Himbertteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{-}</math>) erlaubter Zustände !		Reduktion des Hilbertraumes <math>H\times H\times ...\times H</math>(N- mal) auf einen {{FB\|symmetrischen Hilbertraumteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{+}</math>) und einen {{FB\|antisymmetrischen Himbertteilraum}} (also <math>{{H}_{N}}^{-}</math>) erlaubter Zustände!

	{{Def\|'''Bosonen ''' ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin: s=0,1,2,....,\|Bosonen}}		{{Def\|'''Bosonen ''' (Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin: s=0,1,2,....,\|Bosonen}}

	: wie Photonen, Phononen oder <math>^{4}{{H}_{e}}</math> →{{FB\|Bose-Einstein-Statistik}}		: wie Photonen, Phononen oder <math>^{4}{{H}_{e}}</math> →{{FB\|Bose-Einstein-Statistik}}
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	:wie Elektronen, Proton, Neutron, <math>^{3}{{H}_{e}}</math> →{{FB\|Fermi-Dirac-Statistik}}		:wie Elektronen, Proton, Neutron, <math>^{3}{{H}_{e}}</math> →{{FB\|Fermi-Dirac-Statistik}}

	Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !		Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie!

	{{FB\|Bosonen- Hilbertraum}}:		{{FB\|Bosonen- Hilbertraum}}:
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	:<math>\hat{S}</math> ist der sogenannte {{FB\|Symmetrisierungsoperator}}		:<math>\hat{S}</math> ist der sogenannte {{FB\|Symmetrisierungsoperator}}
	:<math>{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math> → <math>\hat{S}</math> ist ein {{FB\|Projektor}} er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !		:<math>{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math> → <math>\hat{S}</math> ist ein {{FB\|Projektor}} er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

	{{FB\|Fermionen- Hilbertraum}}:		{{FB\|Fermionen- Hilbertraum}}:
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	:<math>\hat{A}</math> ist der sogenannte {{FB\|Antisymmetrisierungsoperator}}		:<math>\hat{A}</math> ist der sogenannte {{FB\|Antisymmetrisierungsoperator}}
	:<math>{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}</math>→<math>\hat{A}</math> ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !		:<math>{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}</math>→<math>\hat{A}</math> ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums!

	{{FB\|Pauli- Prinzip}}		{{FB\|Pauli- Prinzip}}

	Wellenfunktionen total antisymmetrisch → 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !		Wellenfunktionen total antisymmetrisch → 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden!

	==Hilbertraum variabler Teilchenzahl==		==Hilbertraum variabler Teilchenzahl==
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	:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math>		:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math>

	* Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum !		* Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum!

	:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math> ist der sogenannte {{FB\|Fock-Raum}} !		:<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math> ist der sogenannte {{FB\|Fock-Raum}}!

	'''Ideales Gas''' (WW- freie, identische Teilchen):		'''Ideales Gas''' (WW- freie, identische Teilchen):
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	links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand a<sub>i</sub>		links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand a<sub>i</sub>

	rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes <math>\left\| j \right\rangle </math> durch <math>\left\| {{N}_{j}} \right\rangle </math> charakterisiert ( inkl. Spin!)		rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes <math>\left\| j \right\rangle </math> durch <math>\left\| {{N}_{j}} \right\rangle </math> charakterisiert (inkl. Spin!)

	Bosonen:		Bosonen:

>SchuBot: / N- Teilchensystem */Pfeile einfügen, replaced: --> → → (2), -> → → (3)

2010-09-12T20:21:51Z

N- Teilchensystem: Pfeile einfügen, replaced: --> → → (2), -> → → (3)

Schubotz am 12. September 2010 um 20:03 Uhr

2010-09-12T20:03:36Z

Änderungen zeigen

*>SchuBot am 12. September 2010 um 14:32 Uhr

2010-09-12T14:32:36Z

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Schubotz am 31. August 2010 um 22:07 Uhr

2010-08-31T22:07:09Z

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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|6\|1}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Thermodynamik\|5\|1}}</noinclude>

	Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:		Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Thermodynamik|6|1}} Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen: N- Teilchenzustand: $\left| {{a}_{1}},{{a}…“$

2010-08-31T21:42:51Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|6|1}}</noinclude> Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen: N- Teilchenzustand: <math>\left| {{a}_{1}},{{a}…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|6|1}}</noinclude>

Betrachte N ununterscheidbare / identische Teilchen:

N- Teilchenzustand:

<math>\left| {{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{i}},...,{{a}_{N}} \right\rangle </math>

dabei ist ai der Satz der 1- Teilchen - Quantenzahlen

Die Teilchennummer ist lediglich ein Platzhalter für die Stellung im Ket:

Führe ein: Permutationsoperator:

<math>{{\hat{P}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right):=\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},.... \right)</math>

Ununterscheidbarkeit verlangt:

<math>\begin{align}

& {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right):=\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},.... \right)={{e}^{i\nu }}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}},...,{{{\bar{x}}}_{i}},...,{{{\bar{x}}}_{j}},.... \right) \\

& {{{\hat{P}}}_{ij}}^{2}=\bar{\bar{1}} \\

\end{align}</math>

Wegen der Ununterscheidbarkeit müssen alle Observablen mit <math>{{\hat{P}}_{ij}}</math>

vertauschen, insbesondere

<math>\left[ \hat{H},{{{\hat{P}}}_{ij}} \right]=0\Rightarrow {{\hat{P}}_{ij}}</math>

ist Erhaltungsgröße !

Es gilt:

<math>{{\hat{P}}_{ij}}^{2}=\bar{\bar{1}}</math>

Somit folgt:

<math>\begin{align}

& \Rightarrow {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi ={{\lambda }_{ij}}\Psi \\

& {{\lambda }_{ij}}^{2}=1 \\

\end{align}</math>

Wichtig:

<math>{{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}</math>

Ansonsten wären die Teilchen unterscheidbar !
Also:
<math>\begin{align}
& {{\left| {{{\hat{P}}}_{ij}}\Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{2}},{{{\bar{x}}}_{1}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{{\bar{x}}}_{1}},{{{\bar{x}}}_{2}} \right) \right|}^{2}}\Rightarrow {{\left| {{\lambda }_{ij}} \right|}^{2}}=1 \\
& \Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1 \\
\end{align}</math>

Charakteristikum des Zustandes, bzw. der '''Teilchensorte !'''

Betrachte speziell: 2- Teilchen- System:
Sei
<math>\left| a,b \right\rangle ={{\left| a \right\rangle }_{1}}{{\left| b \right\rangle }_{2}}\in H\times H</math>

Dann ist
<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}=\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math>

ein Eigenzustand von
<math>{{\hat{P}}_{12}}</math>
zum Eigenwert +1, der symmetrische Zustand !

denn:

<math>{{\hat{P}}_{12}}{{\left| a,b \right\rangle }_{s}}={{\hat{P}}_{12}}\frac{1}{2}\left( 1+{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle =\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}+{{{\hat{P}}}_{12}}^{2} \right)\left| a,b \right\rangle =\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}+1 \right)\left| a,b \right\rangle ={{\left| a,b \right\rangle }_{s}}</math>

und

<math>{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( 1-{{{\hat{P}}}_{12}} \right)\left| a,b \right\rangle </math>

ist der antisymmetrische Zustand von <math>{{\hat{P}}_{12}}</math>
zum Eigenwert -1, denn:
<math>{{\hat{P}}_{12}}{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}=\frac{1}{2}\left( {{{\hat{P}}}_{12}}-1 \right)\left| a,b \right\rangle =-{{\left| a,b \right\rangle }_{a}}</math>

====N- Teilchensystem====

Alle <math>{{\hat{P}}_{\left( ij \right)}}</math>
kommutieren mit dem Hamiltonoperator H, im Allgemeinen jedoch nicht untereinander !. Daher wären an sich komplizierte Symmetrieeigenschaften denkbar. Aber: In der Natur sind scheinbar nur die Zustände realisiert, die bei Vertauschung '''beliebiger ''' ununterscheidbarer Teilchen symmetrisch
<math>{{\lambda }_{ij}}=+1</math>
oder antisymmetrisch <math>{{\lambda }_{ij}}=-1</math>

sind !

* Reduktion des Hilbertraumes <math>H\times H\times ...\times H</math>
* ( N- mal) auf einen symmetrischen, also <math>{{H}_{N}}^{+}</math>
* und einen antisymmetrischen , also <math>{{H}_{N}}^{-}</math>
* Teilraum erlaubter Zustände !

'''Bosonen ''' ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin: s=0,1,2,...., wie Photonen, Phononen oder <math>^{4}{{H}_{e}}</math>

* '''Bose- Einstein- Statistik'''

'''Fermionen ''' = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand sind alle Teilchen mit '''halbzahligem Spin: '''s= 1/2, 3/2, etc..., wie
Elektronen, Proton, Neutron, <math>^{3}{{H}_{e}}</math>

* '''Fermi - Dirac- Statistik'''

Erfahrungstatsache ! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !

'''Bosonen- Hilbertraum:'''
<math>{{H}_{N}}^{+}=\hat{S}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\hat{P}}_{\left( \rho \right)}}{{H}_{N}}</math>

Dabei charakterisiert der Index <math>\rho </math>
die <math>\rho </math>
- te Permutation von (123...N)

<math>\hat{S}</math>
ist der sogenannte Symmetrisierungsoperator
<math>{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math>
-><math>\hat{S}</math>
ist ein Projektor
* er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

'''Fermionen- Hilbertraum:'''
<math>{{H}_{N}}^{-}=\hat{A}{{H}_{N}}=\frac{1}{N!}\sum\limits_{\rho =1}^{N!}{{}}{{\left( -1 \right)}^{\rho }}{{\hat{P}}_{\left( \rho \right)}}{{H}_{N}}</math>

Dabei charakterisiert der Index <math>\rho </math>
die <math>\rho </math>
- te Permutation von (123...N)

<math>\hat{A}</math>
ist der sogenannte Antisymmetrisierungsoperator
<math>{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}</math>
-><math>\hat{A}</math>
ist ein Projektor
* er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

'''Pauli- Prinzip'''

Wellenfunktionen total antisymmetrisch -> 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !

====Hilbertraum variabler Teilchenzahl ( großkanonisches Ensemble)====

<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math>

* Die Summe aller Hilberträume aller denkbaren N- Teilchenzustände und zwar jeweils einmal des symmetrisierten Hilbertraums und je einmal antisymmetrisierter Hilbertraum !

<math>H=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}{{H}_{N}}^{+}</math>
ist der sogenannte Fock- Raum !

'''Ideales Gas'''
( WW- freie, identische Teilchen):

Übergang zur Besetzungszahldarstellung:
<math>\left| {{a}_{1}},...,{{a}_{N}} \right\rangle \to \left| {{N}_{1}},...,{{N}_{j}},...,{{N}_{l}} \right\rangle </math>

links: Teilchen Nr. 1...N im Einteilchenzustand ai

rechts: Besetzungzahl des 1- Teilchenzustandes <math>\left| j \right\rangle </math>
durch <math>\left| {{N}_{j}} \right\rangle </math>
charakterisiert ( inkl. Spin!)

Bosonen:
<math>{{N}_{j}}=0,1,2,...</math>

Fermionen
<math>{{N}_{j}}=0,1</math>

dabei sind die Nj die Eigenwerte des Besetzungszahloperators <math>{{\hat{N}}_{j}}={{a}_{j}}^{+}{{a}_{j}}</math>

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	{{Def\|'''Bosonen ''' ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin: s=0,1,2,....,\|Bosonen}}		{{Def\|'''Bosonen ''' ( Teilchen mit symmetrischem Zustand), sind alle Teilchen mit ganzzahligem Spin: s=0,1,2,....,\|Bosonen}}

	: wie Photonen, Phononen oder <math>^{4}{{H}_{e}}</math> ~~-->~~{{FB\|Bose-Einstein-Statistik}}		: wie Photonen, Phononen oder <math>^{4}{{H}_{e}}</math> →{{FB\|Bose-Einstein-Statistik}}

	{{Def\|'''Fermionen ''' = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand sind alle Teilchen mit '''halbzahligem Spin: '''s= 1/2, 3/2, etc...,\|Fermionen}}		{{Def\|'''Fermionen ''' = Teilchen mit antisymmetrischem Zustand sind alle Teilchen mit '''halbzahligem Spin: '''s= 1/2, 3/2, etc...,\|Fermionen}}

	:wie Elektronen, Proton, Neutron, <math>^{3}{{H}_{e}}</math> ~~-->~~{{FB\|Fermi-Dirac-Statistik}}		:wie Elektronen, Proton, Neutron, <math>^{3}{{H}_{e}}</math> →{{FB\|Fermi-Dirac-Statistik}}

	Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !		Erfahrungstatsache! Beweis folgt erst aus der relativistischen Quantenfeldtheorie !
Zeile 97:		Zeile 97:

	:<math>\hat{S}</math> ist der sogenannte {{FB\|Symmetrisierungsoperator}}		:<math>\hat{S}</math> ist der sogenannte {{FB\|Symmetrisierungsoperator}}
	:<math>{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math> -> <math>\hat{S}</math> ist ein {{FB\|Projektor}} er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !		:<math>{{\hat{S}}^{2}}=\hat{S}</math> → <math>\hat{S}</math> ist ein {{FB\|Projektor}} er projiziert auf den symmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

	{{FB\|Fermionen- Hilbertraum}}:		{{FB\|Fermionen- Hilbertraum}}:
Zeile 105:		Zeile 105:

	:<math>\hat{A}</math> ist der sogenannte {{FB\|Antisymmetrisierungsoperator}}		:<math>\hat{A}</math> ist der sogenannte {{FB\|Antisymmetrisierungsoperator}}
	:<math>{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}</math>-><math>\hat{A}</math> ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !		:<math>{{\hat{A}}^{2}}=\hat{A}</math>→<math>\hat{A}</math> ist ein Projektor er projiziert auf den antisymmetrisierten Unterraum des Hilbertraums !

	{{FB\|Pauli- Prinzip}}		{{FB\|Pauli- Prinzip}}

	Wellenfunktionen total antisymmetrisch -> 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !		Wellenfunktionen total antisymmetrisch → 2 identische Fermionen können sich nicht im identischen Einteilchenzustand befinden !

	==Hilbertraum variabler Teilchenzahl==		==Hilbertraum variabler Teilchenzahl==