Variationsverfahren - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (3)

2010-09-12T22:45:41Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (3)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:45 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:

	Dann gilt für einen beliebigen Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		Dann gilt für einen beliebigen Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
			,
	, im Allgemeinen kein Eigenzustand:		im Allgemeinen kein Eigenzustand:

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 45:		Zeile 45:

	mit verschiedenen Parametern, also <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math>		mit verschiedenen Parametern, also <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math>
			.

	.

	Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.		Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.
Zeile 63:		Zeile 63:

	Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie <math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math>		Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie <math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math>
			.

	.

	Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand		Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand
Zeile 112:		Zeile 112:

	mit <math>\left\langle \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...) \| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>		mit <math>\left\langle \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...) \| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>
			.
			Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten!

	~~. Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten !~~		Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen!)

	Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !)

	Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>		Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:48:10Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:48 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	Die zeitunabhängige Schrödingergleichung:		Die zeitunabhängige Schrödingergleichung:

	<math>\hat{H}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>		:<math>\hat{H}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>

	<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} \| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math>		:<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} \| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math>

	bilden ein vollständiges Orthonormalsystem		bilden ein vollständiges Orthonormalsystem
Zeile 15:		Zeile 15:
	Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet:		Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet:

	<math>{{E}_{0}}\le {{E}_{1}}\le {{E}_{2}}\le {{E}_{3}}.....</math>		:<math>{{E}_{0}}\le {{E}_{1}}\le {{E}_{2}}\le {{E}_{3}}.....</math>

	Dann gilt für einen beliebigen Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>		Dann gilt für einen beliebigen Zustand <math>\left\| \Psi \right\rangle </math>
Zeile 21:		Zeile 21:
	, im Allgemeinen kein Eigenzustand:		, im Allgemeinen kein Eigenzustand:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle \\		& \left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle \\
Zeile 33:		Zeile 33:
	Wodurch uns die Ungleichung geben ist:		Wodurch uns die Ungleichung geben ist:

	<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>		:<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>

	Also:		Also:

	<math>\frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>		:<math>\frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>

	als Extremal- Prinzip		als Extremal- Prinzip
Zeile 54:		Zeile 54:
	minimal wird:		minimal wird:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \frac{\partial }{\partial \alpha }E=\frac{\partial }{\partial \beta }E=...=!=0 \\		& \frac{\partial }{\partial \alpha }E=\frac{\partial }{\partial \beta }E=...=!=0 \\
Zeile 68:		Zeile 68:
	Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand		Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand

	<math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>		:<math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>

	<u>'''Bemerkung'''</u>		<u>'''Bemerkung'''</u>
Zeile 78:		Zeile 78:
	in folgendem Sinn:		in folgendem Sinn:

	<math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)={{\Psi }_{0}}+\lambda \phi </math>		:<math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)={{\Psi }_{0}}+\lambda \phi </math>

	Wobei die genäherte Funktion <math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>		Wobei die genäherte Funktion <math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>
Zeile 90:		Zeile 90:
	Mit		Mit

	<math>\left\langle \phi \| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>		:<math>\left\langle \phi \| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>

	Für kleine <math>\left\| \lambda \right\|</math>		Für kleine <math>\left\| \lambda \right\|</math>
Zeile 98:		Zeile 98:
	ein Minimum hat:		ein Minimum hat:

	<math>E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)={{E}_{0}}+{{\lambda }^{2}}A+...</math>		:<math>E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)={{E}_{0}}+{{\lambda }^{2}}A+...</math>

	Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert.		Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert.

	====Näherung für angeregte Zustände:====		====Näherung für angeregte Zustände:====
	<math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math>		:<math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math>

	und <math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>		und <math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>
Zeile 127:		Zeile 127:
	'''Beweis:'''		'''Beweis:'''

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle \\		& \left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle \\

*>SchuBot am 11. September 2010 um 17:17 Uhr

2010-09-11T17:17:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:17 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	<math>\hat{H}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>		<math>\hat{H}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>

	<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math>		<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} \| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math>

	bilden ein vollständiges Orthonormalsystem		bilden ein vollständiges Orthonormalsystem
Zeile 23:		Zeile 23:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle \\		& \left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle \\

	& {{E}_{n}}\ge {{E}_{0}} \\		& {{E}_{n}}\ge {{E}_{0}} \\

	& \Rightarrow \sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle \ge {{E}_{0}}\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle ={{E}_{0}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle \\		& \Rightarrow \sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle \ge {{E}_{0}}\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle ={{E}_{0}}\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Zeile 33:		Zeile 33:
	Wodurch uns die Ungleichung geben ist:		Wodurch uns die Ungleichung geben ist:

	<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>		<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>

	Also:		Also:

	<math>\frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>		<math>\frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>

	als Extremal- Prinzip		als Extremal- Prinzip
Zeile 50:		Zeile 50:
	Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.		Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.

	Variiere dann die Parameter, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>		Variiere dann die Parameter, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>

	minimal wird:		minimal wird:
Zeile 90:		Zeile 90:
	Mit		Mit

	<math>\left\langle \phi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>		<math>\left\langle \phi \| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>

	Für kleine <math>\left\| \lambda \right\|</math>		Für kleine <math>\left\| \lambda \right\|</math>
Zeile 111:		Zeile 111:
	Nun wähle man eine Testfunktion <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math>		Nun wähle man eine Testfunktion <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math>

	mit <math>\left\langle \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...) ~~\right\|\left~~\| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>		mit <math>\left\langle \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...) \| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>

	. Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten !		. Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten !
Zeile 117:		Zeile 117:
	Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !)		Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !)

	Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>		Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>

	minimal wird.		minimal wird.
Zeile 129:		Zeile 129:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle \\		& \left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle \\

	& \left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{n}} \right\rangle =0,f\ddot{u}r\quad n=0 \\		& \left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle =0,f\ddot{u}r\quad n=0 \\

	& \Rightarrow \left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle \\		& \Rightarrow \left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle \\

	& \Rightarrow {{E}_{n}}\ge {{E}_{1}} \\		& \Rightarrow {{E}_{n}}\ge {{E}_{1}} \\

	& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle \ge {{E}_{1}}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle \\		& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle \ge {{E}_{1}}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle \\

	& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle \ge {{E}_{1}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} ~~\right\|\left~~\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle } \\		& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle \ge {{E}_{1}}\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle } \\

	& \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi ~~\right\|\left\|~~ \Psi \right\rangle } \\		& \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\left\langle \Psi \right\|\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \| \Psi \right\rangle } \\

	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Schubotz am 9. September 2010 um 14:37 Uhr

2010-09-09T14:37:00Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:37 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|7}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|7}}</noinclude>

	Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil und eine KLEINE Störung zerlegbar ist, was den Abbruch der Störungsreihe rechtfertigt.		Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil und eine KLEINE Störung zerlegbar ist, was den Abbruch der Störungsreihe rechtfertigt.

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|7}} Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil und eine K…“

2010-08-24T18:13:23Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|7}} Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil und eine K…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|7}}

Diese Näherungsmethode von W. Ritz ist nützlich, falls der Hamiltonoperator NICHT in einen ungestörten Anteil und eine KLEINE Störung zerlegbar ist, was den Abbruch der Störungsreihe rechtfertigt.

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung:

<math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>

<math>\left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{\delta }_{nk}}</math>

bilden ein vollständiges Orthonormalsystem

Dies sind die nötigen Vortaussetzungen zur Durchführung des Variationsprinzips:

Weiter seien die Energie- Eigenwert der Größe nach geordnet:

<math>{{E}_{0}}\le {{E}_{1}}\le {{E}_{2}}\le {{E}_{3}}.....</math>

Dann gilt für einen beliebigen Zustand <math>\left| \Psi \right\rangle </math>

, im Allgemeinen kein Eigenzustand:

<math>\begin{align}

& \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle \\

& {{E}_{n}}\ge {{E}_{0}} \\

& \Rightarrow \sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle \ge {{E}_{0}}\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle ={{E}_{0}}\left\langle \Psi \right|\left| \Psi \right\rangle \\

\end{align}</math>

Wodurch uns die Ungleichung geben ist:

<math>\frac{\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \right|\left| \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>

Also:

<math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \right|\left| \Psi \right\rangle }\ge {{E}_{0}}</math>

als Extremal- Prinzip

====Näherung für den Grundzustand:====
Mache einen geeigneten Ansatz für eine Testfunktion <math>\left| \Psi \right\rangle </math>

mit verschiedenen Parametern, also <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math>

.

Dabei sollten Symmetrien und Asymptotik beachtet werden.

Variiere dann die Parameter, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \right|\left| \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>

minimal wird:

<math>\begin{align}

& \frac{\partial }{\partial \alpha }E=\frac{\partial }{\partial \beta }E=...=!=0 \\

& \Rightarrow {{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},... \\

\end{align}</math>

Damit ist eine Näherung für die Grundzustandsenergie <math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math>

.

Die Parameter in der Testfunktion setzen dann gleichzeitig eine Näherung für den Grundzustands- Eigenzustand

<math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>

<u>'''Bemerkung'''</u>

Die Näherung von <math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math>

ist besser als die Näherung <math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>

in folgendem Sinn:

<math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)={{\Psi }_{0}}+\lambda \phi </math>

Wobei die genäherte Funktion <math>\Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>

die exakte, also <math>{{\Psi }_{0}}</math>

um den Term <math>\lambda \phi </math>

verfehle:

Mit

<math>\left\langle \phi \right|\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>

Für kleine <math>\left| \lambda \right|</math>

gilt, da E bei <math>{{E}_{0}}</math>

ein Minimum hat:

<math>E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)={{E}_{0}}+{{\lambda }^{2}}A+...</math>

Der Fehler geht also nur quadratisch ein. Die Energie ist besser genähert.

====Näherung für angeregte Zustände:====
<math>{{E}_{0}}\approx E({{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},....)</math>

und <math>{{\Psi }_{0}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{0}},{{\beta }_{0}},...)</math>

sind also näherungsweise bekannt.

Nun wähle man eine Testfunktion <math>\Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...)</math>

mit <math>\left\langle \Psi (\bar{r},\alpha ,\beta ,...) \right|\left| {{\Psi }_{0}} \right\rangle =0</math>

. Dies muss natürlich für beliebige Belegung der Parameter gelten !

Also: Man wähle einen neuen, beliebigen Zustand, der nur orthogonal zum bestehenden sein muss ! (und zwar für beliebige Parameterbelegungen !)

Nun kann man die Parameter erneut variieren, bis <math>\frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \right|\left| \Psi \right\rangle }={{E}_{{}}}</math>

minimal wird.

Dann hat man eine Näherung <math>{{E}_{1}}\approx {{E}_{{}}}</math>

und <math>{{\Psi }_{1}}\approx \Psi (\bar{r},{{\alpha }_{1}},{{\beta }_{1}},...)</math>

'''Beweis:'''

<math>\begin{align}

& \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle \\

& \left\langle \Psi \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle =0,f\ddot{u}r\quad n=0 \\

& \Rightarrow \left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle \\

& \Rightarrow {{E}_{n}}\ge {{E}_{1}} \\

& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle \ge {{E}_{1}}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\left\langle \Psi \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle \\

& \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle \ge {{E}_{1}}\left\langle \Psi \right|\left| \Psi \right\rangle \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}{{E}_{n}}\left\langle \Psi \right|\left| {{\Psi }_{n}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{n}} \right|\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \right|\left| \Psi \right\rangle } \\

& \Rightarrow {{E}_{1}}\le \frac{\left\langle \Psi \right|\hat{H}\left| \Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi \right|\left| \Psi \right\rangle } \\

\end{align}</math>

====Weitere Näherungsmethoden====
beispielsweise WKB- Näherung (, Wentzel, Kramer, Brillouin (1926)

sogenannte "quasiklassische Näherung":

Gut, falls die De- Broglie Wellenlänge viel kleiner ist als die Länge, auf der sich das Potenzial wesentlich ändert.

Fließbach, S. 155 ff.