Verallgemeinerte kanonische Verteilung - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: , → , (16), ( → ( (7)

2010-09-12T22:57:29Z

Interpunktion, replaced: , → , (16), ( → ( (7)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:57 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:

	== Methode ==		== Methode ==
	Vorurteilsfreie Schätzung ( Jaynes , 1957):		Vorurteilsfreie Schätzung (Jaynes, 1957):
	(unbiased guess; Prinzip des maximalen Nichtwissens)		(unbiased guess; Prinzip des maximalen Nichtwissens)

	* Verallgemeinerung des Laplacschen Prinzips vom unzureichenden Grund.		* Verallgemeinerung des Laplacschen Prinzips vom unzureichenden Grund.
	** ( Minimum der Shannon- Information <math>I\left( \rho (x) \right)</math>= Maximum des Nichtwissens <math>S\left( \rho (x) \right)</math> liefert Gleichverteilung)		** (Minimum der Shannon- Information <math>I\left( \rho (x) \right)</math>= Maximum des Nichtwissens <math>S\left( \rho (x) \right)</math> liefert Gleichverteilung)
	* '''Jetzt: '''Zusätzlich zur Normierung der P<sub>i</sub> sind die Mittelwerte von m Zufallsvariablen:		* '''Jetzt: '''Zusätzlich zur Normierung der P<sub>i</sub> sind die Mittelwerte von m Zufallsvariablen:

Zeile 31:		Zeile 31:
	<u>'''Annahme:'''</u>		<u>'''Annahme:'''</u>

	Jedes Elementarereignis <math>{{A}_{i}}</math> hat gleiche '''a-priori'''- Wahrscheinlichkeit , das heißt OHNE zusätzliche Kenntnisse <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> gilt Gleichverteilung über den <math>{{A}_{i}}</math>.		Jedes Elementarereignis <math>{{A}_{i}}</math> hat gleiche '''a-priori'''- Wahrscheinlichkeit, das heißt OHNE zusätzliche Kenntnisse <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> gilt Gleichverteilung über den <math>{{A}_{i}}</math>.

	== Informationstheoretisches Prinzip==		== Informationstheoretisches Prinzip==
	(nach (Jaynes 1922-1998))		(nach (Jaynes 1922-1998))

	Suche die Wahrscheinlichkeitsverteilung , die unter der Erfüllung aller bekannten Angaben als Nebenbedingung die '''minimale Information''' enthält:		Suche die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die unter der Erfüllung aller bekannten Angaben als Nebenbedingung die '''minimale Information''' enthält:

	Also: <math>I(P)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=!=Minimum</math>		Also: <math>I(P)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}{{P}_{i}}\ln {{P}_{i}}=!=Minimum</math>
Zeile 50:		Zeile 50:


	Es gilt: von den N Variationen <math>\delta {{P}_{i}}</math> sind nur N-m-1 unabhängig voneinander !		Es gilt: von den N Variationen <math>\delta {{P}_{i}}</math> sind nur N-m-1 unabhängig voneinander!

	:<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\delta {{P}_{i}}=0</math>		:<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\delta {{P}_{i}}=0</math>
Zeile 61:		Zeile 61:
	Lagrange- Multiplikator <math>{{\lambda }_{n}}</math>		Lagrange- Multiplikator <math>{{\lambda }_{n}}</math>

	<u>Anleitung</u>: Wähle <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> so, dass die Koeffizienten von <math>\left( m+1 \right)\delta {{P}_{i}}</math>´s verschwinden, die übrigen N-(m+1) sind dann frei variierbar !		<u>Anleitung</u>: Wähle <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> so, dass die Koeffizienten von <math>\left( m+1 \right)\delta {{P}_{i}}</math>´s verschwinden, die übrigen N-(m+1) sind dann frei variierbar!

	Somit:		Somit:
Zeile 73:		Zeile 73:
	{{Def\|:<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> '''verallgemeinerte kanonische Verteilung'''\|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}		{{Def\|:<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> '''verallgemeinerte kanonische Verteilung'''\|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}

	Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt !		Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt!

	===Kontinuierliche Ereignismenge===		===Kontinuierliche Ereignismenge===
Zeile 117:		Zeile 117:
	{{FB\|Legendre- Transformation}}:		{{FB\|Legendre- Transformation}}:

	Sei <math>\Psi (t)</math> eine Bahn !		Sei <math>\Psi (t)</math> eine Bahn!

	Dann ist <math>M:=\frac{d\Psi (t)}{dt}</math> die Geschwindigkeit.		Dann ist <math>M:=\frac{d\Psi (t)}{dt}</math> die Geschwindigkeit.
Zeile 152:		Zeile 152:

	heißt legendre- Transformierte von		heißt legendre- Transformierte von
	:<math>\Psi (t)</math>		:<math>\Psi (t)</math>.
	.

	=== Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung: ===		=== Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung: ===
Zeile 181:		Zeile 181:

	{{Beispiel\|'''Beispiel:'''		{{Beispiel\|'''Beispiel:'''
	:<math>x=\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{3N}},{{p}_{1}}....,{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> ( Phasenraumelement)		:<math>x=\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{3N}},{{p}_{1}}....,{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> (Phasenraumelement)

	mit <math>\Gamma </math> als Phasenraum der kanonisch konjugierten Variablen		mit <math>\Gamma </math> als Phasenraum der kanonisch konjugierten Variablen
Zeile 211:		Zeile 211:


	Damit können wir die Legendre- Transformation ( verallgemeinert auf mehrere Variablen) identifizieren:		Damit können wir die Legendre- Transformation (verallgemeinert auf mehrere Variablen) identifizieren:


Zeile 221:		Zeile 221:


	:<math>I\left( M \right)\to I=\Psi -{{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> Legendre- Transformierte von <math>\Psi </math> !		:<math>I\left( M \right)\to I=\Psi -{{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> Legendre- Transformierte von <math>\Psi </math>!

	Es folgt:		Es folgt:
Zeile 362:		Zeile 362:
	'''Nebenbemerkung:'''		'''Nebenbemerkung:'''

	Also sind <math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> und <math>-\Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)</math> konvex !		Also sind <math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> und <math>-\Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)</math> konvex!

	== Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix ==		== Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix ==

	:<math>{{Q}^{mn}}:=\left\langle \Delta {{M}^{m}}\Delta {{M}^{n}} \right\rangle </math> ist Korrelationsmatrix ( siehe oben)		:<math>{{Q}^{mn}}:=\left\langle \Delta {{M}^{m}}\Delta {{M}^{n}} \right\rangle </math> ist Korrelationsmatrix (siehe oben)

	:<math>={{\left\langle {{M}^{m}}{{M}^{n}} \right\rangle }_{c}}</math> 2. Kumulante		:<math>={{\left\langle {{M}^{m}}{{M}^{n}} \right\rangle }_{c}}</math> 2. Kumulante
Zeile 383:		Zeile 383:


	Suszeptibilität !		Suszeptibilität!

	Also: Die Korrelationsmatrix ist das Negative der Suszeptibilität !!		Also: Die Korrelationsmatrix ist das Negative der Suszeptibilität!!

	Also:		Also:
Zeile 397:		Zeile 397:
	;{{FB\|Fluktuationen}}: Zufällige Schwankungen um den Mittelwert		;{{FB\|Fluktuationen}}: Zufällige Schwankungen um den Mittelwert

	;{{FB\|Dissipation}}: Systematische Änderung der Mittelwerte !		;{{FB\|Dissipation}}: Systematische Änderung der Mittelwerte!

	== Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen ==		== Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen ==
Zeile 408:		Zeile 408:
	& m=1,...,m \\		& m=1,...,m \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	: minimalisiert ( Vorsicht: Index und Laufende sind ungünstigerweise gleich bezeichnet !)		: minimalisiert (Vorsicht: Index und Laufende sind ungünstigerweise gleich bezeichnet!)

	'''Jetzt:'''		'''Jetzt:'''

	Zusatzinformationen ( zusätzliche Mittelwerte beobachtet):		Zusatzinformationen (zusätzliche Mittelwerte beobachtet):

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 428:		Zeile 428:


	unter dieser Nebenbedingung !!		unter dieser Nebenbedingung!!

	Also:		Also:
Zeile 481:		Zeile 481:


	da diese Mittelwerte nicht durch die Zusatzinfo geändert werden !		da diese Mittelwerte nicht durch die Zusatzinfo geändert werden!


Zeile 490:		Zeile 490:


	Das heißt: Der Informationsgewinn entspricht gerade der Änderung der Shannon- Info !		Das heißt: Der Informationsgewinn entspricht gerade der Änderung der Shannon- Info!

	==Siehe auch==		==Siehe auch==

	<references />		<references />

*>SchuBot: Pfeile einfügen

2010-09-12T20:22:18Z

Pfeile einfügen

Änderungen zeigen

Schubotz: /* Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen */

2010-09-11T13:59:03Z

Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 15:59 Uhr
Zeile 401:		Zeile 401:
	== Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen ==		== Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen ==

	Sei		Sei <math>{{P}^{0}}</math> die Verteilung, die <math>I\left( P \right)</math> unter Kenntnis der '''Nebenbedingungen'''

			:<math>\begin{align}
	~~<math>{{P}^{0}}</math>~~
	~~die Verteilung, die~~
	~~<math>I\left( P \right)</math>~~
	~~unter Kenntnis der Nebenbedingungen~~


	<math>\begin{align}
	& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}^{0}=1 \\		& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}^{0}=1 \\
	& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{m}=\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \\		& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}^{0}{{M}_{i}}^{m}=\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \\
	& m=1,...,m \\		& m=1,...,m \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			: minimalisiert ( Vorsicht: Index und Laufende sind ungünstigerweise gleich bezeichnet !)

	minimalisiert ( Vorsicht: Index und Laufende sind ungünstigerweise gleich bezeichnet !)

	'''Jetzt:'''		'''Jetzt:'''
Zeile 423:		Zeile 414:
	Zusatzinformationen ( zusätzliche Mittelwerte beobachtet):		Zusatzinformationen ( zusätzliche Mittelwerte beobachtet):

			:<math>\begin{align}
	<math>\begin{align}
	& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}{{V}_{i}}^{\sigma }=\left\langle {{V}_{i}}^{\sigma } \right\rangle \\		& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}{{V}_{i}}^{\sigma }=\left\langle {{V}_{i}}^{\sigma } \right\rangle \\
	& \sigma =1,...,s \\		& \sigma =1,...,s \\
	& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}=1 \\		& \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}=1 \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>


	== Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung ==		== Prinzip der vorurteilsfreien Schätzung ==

Schubotz: /* Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix */

2010-09-11T13:50:54Z

Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 15:50 Uhr
Zeile 366:		Zeile 366:
	== Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix ==		== Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix ==

	<math>{{Q}^{mn}}:=\left\langle \Delta {{M}^{m}}\Delta {{M}^{n}} \right\rangle </math>		<math>{{Q}^{mn}}:=\left\langle \Delta {{M}^{m}}\Delta {{M}^{n}} \right\rangle </math> ist Korrelationsmatrix ( siehe oben)
	ist Korrelationsmatrix ( siehe oben)

			<math>={{\left\langle {{M}^{m}}{{M}^{n}} \right\rangle }_{c}}</math> 2. Kumulante

	~~<math>={{\left\langle {{M}^{m}}{{M}^{n}} \right\rangle }_{c}}</math>~~
	~~2. Kumulante~~

			<math>={{\left. \frac{{{\partial }^{2}}\Gamma \left( \alpha \right)}{\partial {{\alpha }_{m}}\partial {{\alpha }_{n}}} \right\|}_{\alpha =0}}</math> mit Kumulantenerzeugender
	<math>={{\left. \frac{{{\partial }^{2}}\Gamma \left( \alpha \right)}{\partial {{\alpha }_{m}}\partial {{\alpha }_{n}}} \right\|}_{\alpha =0}}</math>
	mit Kumulantenerzeugender


Zeile 392:		Zeile 388:

	Also:		Also:
			{{Gln\|

			<math>{{Q}^{mn}}:=\left\langle \Delta {{M}^{m}}\Delta {{M}^{n}} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle {{M}^{m}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}}</math> \|Fluktuations-Dissipations-Theorem}}
	<math>{{Q}^{mn}}:=\left\langle \Delta {{M}^{m}}\Delta {{M}^{n}} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle {{M}^{m}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{m}}}</math>


	Fluktuations/ Dissipations- Theorem:		Fluktuations/ Dissipations- Theorem:

	Fluktuationen: Zufällige Schwankungen um den Mittelwert		;{{FB\|Fluktuationen}}: Zufällige Schwankungen um den Mittelwert

	Dissipation: Systematische Änderung der Mittelwerte !		;{{FB\|Dissipation}}: Systematische Änderung der Mittelwerte !

	== Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen ==		== Korrektur einer Verteilung durch Zusatzinformationen ==

Schubotz: /* Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung: */

2010-09-11T13:47:59Z

Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung:

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 15:47 Uhr
Zeile 241:		Zeile 241:
	Zusammengefasst:		Zusammengefasst:

			{{Gln\|
	<math>dI=-{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>		<math>dI=-{{\lambda }_{n}}d\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>

			Dies ist in der Thermodynamik die '''Gibbsche Fundamentalgleichung'''!\|Gibbsche Fundamentalgleichung}}
	Dies ist in der Thermodynamik die ~~{{FB~~\|Gibbsche Fundamentalgleichung}} !!

	Betachte Variation:		Betachte Variation:

Schubotz: /* Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung: */

2010-09-11T13:32:03Z

Anwendung auf die verallgemeinerte kanonische Verteilung:

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 15:32 Uhr
Zeile 162:		Zeile 162:
	Normierung:		Normierung:

			{{Gln\|
	<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}=1\Rightarrow {{e}^{-\Psi }}=\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)\equiv Z</math>		<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{P}_{i}}=1\Rightarrow {{e}^{-\Psi }}=\sum_i \exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)\equiv Z</math>}}


Zeile 186:		Zeile 186:


	<math>M\left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right)</math>		<math>M\left( x \right)=\sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right)</math> mikrokanonisch Verteilungsfunktion
	mikrokanonisch Verteilungsfunktion


Zeile 201:		Zeile 200:


	Aus		Aus <math>\begin{align}


	<math>\begin{align}
	& \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)=-\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right) \\		& \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)=-\ln \sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right) \\
	& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\Psi =-\frac{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( -{{M}_{i}}^{n} \right)\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)}{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)} \\		& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{\lambda }_{n}}}\Psi =-\frac{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\left( -{{M}_{i}}^{n} \right)\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)}{\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\exp \left( -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)} \\
Zeile 218:		Zeile 214:


	<math>\Psi (t)\to \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)</math>		<math>\Psi (t)\to \Psi \left( {{\lambda }_{1}},...{{\lambda }_{m}} \right)</math> '''Variable''' <math>{{\lambda }_{n}}</math>
	'''Variable
	<math>{{\lambda }_{n}}</math>
	~~'''~~


	<math>M\to \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}</math>		<math>M\to \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =\frac{\partial \Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}}</math> neue Variable <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>
	neue Variable
	<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>



	<math>I\left( M \right)\to I=\Psi -{{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>		<math>I\left( M \right)\to I=\Psi -{{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> Legendre- Transformierte von <math>\Psi </math> !
	Legendre- Transformierte von
	<math>\Psi </math>
	!

	Es folgt:		Es folgt:
Zeile 257:		Zeile 245:


	Dies ist in der Thermodynamik die Gibbsche Fundamentalgleichung !!		Dies ist in der Thermodynamik die {{FB\|Gibbsche Fundamentalgleichung}} !!

	Betachte Variation:		Betachte Variation:
Zeile 315:		Zeile 303:


	negativ semidefinit, für alle		negativ semidefinit, für alle <math>\delta {{\lambda }_{m}}</math>
	<math>\delta {{\lambda }_{m}}</math>


	Definiere Suszeptibilitätsmatrix:		Definiere {{FB\|Suszeptibilitätsmatrix}}:


Zeile 325:		Zeile 312:


	Diese Matrix beschreibt die Änderung von		Diese Matrix beschreibt die Änderung von <math>\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle </math> bei Variation von <math>{{\lambda }_{n}}</math>:
	<math>\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle </math>


	bei Variation von
	<math>{{\lambda }_{n}}</math>
	:


	<math>\delta \left\langle {\bar{M}} \right\rangle =\bar{\bar{\eta }}\delta \bar{\lambda }</math>		:<math>\delta \left\langle {\bar{M}} \right\rangle =\bar{\bar{\eta }}\delta \bar{\lambda }</math>


Zeile 363:		Zeile 344:

	Somit:		Somit:
			<math>{{\eta }^{nm}}</math> ist symmetrisch

			Aus<math>K\left( P+\delta P,P \right)\ge 0</math> folgt:

	~~<math>{{\eta }^{nm}}</math>~~
	~~ist symmetrisch~~

	~~Aus~~


	~~<math>K\left( P+\delta P,P \right)\ge 0</math>~~


	~~folgt:~~

			:<math>{{\eta }^{mn}}\delta {{\lambda }_{m}}\delta {{\lambda }_{n}}=\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta {{\lambda }_{n}}={{\tilde{\eta }}_{nm}}\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta \left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \le 0</math>
	<math>{{\eta }^{mn}}\delta {{\lambda }_{m}}\delta {{\lambda }_{n}}=\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta {{\lambda }_{n}}={{\tilde{\eta }}_{nm}}\delta \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \delta \left\langle {{M}^{m}} \right\rangle \le 0</math>


Zeile 391:		Zeile 363:
	'''Nebenbemerkung:'''		'''Nebenbemerkung:'''

	Also sind		Also sind <math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math> und <math>-\Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)</math> konvex !


	<math>I\left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \right)</math>


	und


	<math>-\Psi \left( {{\lambda }_{n}} \right)</math>


	konvex !

	== Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix ==		== Zusammenhang mit der Korrelationsmatrix ==

Schubotz: Unicodifying

2010-09-11T13:03:27Z

Unicodifying

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 15:03 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:


	:<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> ~~Die {{FB~~\|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}		{{Def\|:<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> '''verallgemeinerte kanonische Verteilung'''\|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}

	Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt !		Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt !
Zeile 169:		Zeile 169:


	<math>\Psi =\Psi \left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math>		<math>\Psi =\Psi \left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> und <math>{{P}_{i}}</math> sind durch <math>\left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> vollständig parametrisiert.
	~~und~~
	<math>{{P}_{i}}</math>
	sind durch
	<math>\left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math>
	vollständig parametrisiert.

	'''Nebenbemerkung'''		'''Nebenbemerkung'''

	Die Verteilung		Die Verteilung <math>{{P}_{i}}</math> bzw. <math>\rho \left( x \right)</math> wirkt auf dem Raum der Zufallsvariablen <math>{{M}_{i}}^{n}</math> (diskret) bzw. <math>x\in {{R}^{d}}</math>(kontinuierlich).
	<math>{{P}_{i}}</math>		:<math>\left( {{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{m}} \right)</math> sind Parameter.
	bzw.
	<math>\rho \left( x \right)</math>
	wirkt auf dem Raum der Zufallsvariablen
	<math>{{M}_{i}}^{n}</math>
	(diskret) bzw.
	<math>x\in {{R}^{d}}</math>
	(~~kontinuierlich~~).


	<math>\left( {{~~\lambda~~ }_{1}}~~,...,~~{{~~\lambda~~ }_{m}} \right)</math>		:<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> sind Erwartungswerte <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \in R</math>
	~~sind Parameter.~~


	<math>\left~~\langle~~ {{M}^{n}} ~~\right\rangle </math>~~		{{Beispiel\|'''Beispiel:'''
	~~sind Erwartungswerte~~		<math>x=\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{3N}},{{p}_{1}}....,{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math> ( Phasenraumelement)
	~~<math>\left\langle~~ {{M}^{n}} \right\~~rangle~~ \~~in R~~</math>

			mit <math>\Gamma </math> als Phasenraum der kanonisch konjugierten Variablen
	~~'''Beispiel:'''~~


	~~<math>x=\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{3N}},{{p}_{1}}....,{{p}_{3N}} \right)\in \Gamma </math>~~
	~~( Phasenraumelement)~~

	mit
	<math>\Gamma </math>
	als Phasenraum der kanonisch konjugierten Variablen


Zeile 213:		Zeile 190:


	<math>\left\langle M\left( x \right) \right\rangle =\left\langle \sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right) \right\rangle </math>		<math>\left\langle M\left( x \right) \right\rangle =\left\langle \sum\limits_{i=1}^{3N}{{}}\left( \frac{{{p}_{i}}^{2}}{2m}+V\left( {{q}_{i}} \right) \right) \right\rangle </math> als mittlere Energie
	als mittlere Energie		}}

	'''Shannon- Information:'''		'''Shannon- Information:'''

Schubotz: /* Informationstheoretisches Prinzip */

2010-09-01T13:14:57Z

Informationstheoretisches Prinzip

← Nächstältere Version		Version vom 1. September 2010, 15:14 Uhr
Zeile 71:		Zeile 71:


	:<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> Die {{~~FBverallgemeinerte~~ kanonische Verteilung}}		:<math>\Rightarrow {{P}_{i}}=\exp \left( \Psi -{{\lambda }_{n}}{{M}_{i}}^{n} \right)</math> Die {{FB\|verallgemeinerte kanonische Verteilung}}

	Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt !		Die Lagrange- Multiplikatoren <math>\Psi ,{{\lambda }_{n}}</math> sind dann durch die m+1 Nebenbedingungen eindeutig bestimmt !

Schubotz: /* Methode */

2010-09-01T13:13:33Z

Methode

← Nächstältere Version		Version vom 1. September 2010, 15:13 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	== Methode ==		== Methode ==
	Vorurteilsfreie Schätzung ( Jaynes , 1957):		Vorurteilsfreie Schätzung ( Jaynes , 1957):
			(unbiased guess; Prinzip des maximalen Nichtwissens)
	unbiased guess; Prinzip des maximalen Nichtwissens:

	* Verallgemeinerung des Laplacschen Prinzips vom unzureichenden Grund.		* Verallgemeinerung des Laplacschen Prinzips vom unzureichenden Grund.
	* ( Minimum der Shannon- Information		** ( Minimum der Shannon- Information <math>I\left( \rho (x) \right)</math>= Maximum des Nichtwissens <math>S\left( \rho (x) \right)</math> liefert Gleichverteilung)
	<math>I\left( \rho (x) \right)</math>		* '''Jetzt: '''Zusätzlich zur Normierung der P<sub>i</sub> sind die Mittelwerte von m Zufallsvariablen:
	= Maximum des Nichtwissens
	<math>S\left( \rho (x) \right)</math>
	liefert Gleichverteilung
	* '''Jetzt: '''Zusätzlich zur Normierung der Pi sind die Mittelwerte von m Zufallsvariablen:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& {{M}_{i}}^{n} \\		& {{M}_{i}}^{n} \\
	& n=1,2,...,m \\		& n=1,2,...,m \\
Zeile 37:		Zeile 31:
	<u>'''Annahme:'''</u>		<u>'''Annahme:'''</u>

	Jedes Elementarereignis		Jedes Elementarereignis <math>{{A}_{i}}</math> hat gleiche '''a-priori'''- Wahrscheinlichkeit , das heißt OHNE zusätzliche Kenntnisse <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> gilt Gleichverteilung über den <math>{{A}_{i}}</math>.
	<math>{{A}_{i}}</math>
	hat gleiche '''a-priori'''- Wahrscheinlichkeit , das heißt OHNE zusätzliche Kenntnisse


	<math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>
	gilt Gleichverteilung über den
	<math>{{A}_{i}}</math>
	.

	== Informationstheoretisches Prinzip==		== Informationstheoretisches Prinzip==

Schubotz: /* Kontinuierliche Ereignismenge */

2010-09-01T13:01:35Z

Kontinuierliche Ereignismenge

← Nächstältere Version		Version vom 1. September 2010, 15:01 Uhr
Zeile 92:		Zeile 92:


	<math>I(\rho )=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)\ln \rho (x)}=!=Minimum</math>		:<math>I(\rho )=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)\ln \rho (x)}=!=Minimum</math>


Zeile 98:		Zeile 98:


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}=1 \\		& \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}=1 \\
	& \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}{{M}^{n}}(x)=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\		& \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\rho (x)}{{M}^{n}}(x)=\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \\
Zeile 106:		Zeile 106:

	Durchführung einer Funktionalvariation:		Durchführung einer Funktionalvariation:
	<math>\delta \rho (x)</math>		:<math>\delta \rho (x)</math>
	:


	<math>\begin{align}
			:<math>\begin{align}
	& \delta I(\rho )=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\left( \ln \rho (x)+1 \right)\delta \rho (x)}=0 \\		& \delta I(\rho )=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\left( \ln \rho (x)+1 \right)\delta \rho (x)}=0 \\
	& \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\delta \rho (x)}=0 \\		& \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{d}}x\delta \rho (x)}=0 \\
Zeile 120:		Zeile 120:

	'''Vergleiche: A. Katz, Principles of Statistial Mechanics'''		'''Vergleiche: A. Katz, Principles of Statistial Mechanics'''
	{{AnMS\|Siehe auch {{Quelle\|~~ST7~~\|5.4.13\|Kap 5.4.3 S46}}}}
			{{AnMS\|Siehe auch {{Quelle\|St7B\|5.4.13\|Kap 5.4.3 S46}}}}

	==Eigenschaften der verallgemeinerten kanonischen Verteilung==		==Eigenschaften der verallgemeinerten kanonischen Verteilung==