Wellenausbreitung in Materie - Versionsgeschichte

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2010-09-12T22:24:28Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (12), ( → ( (10)

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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	( ohmsches Gesetz)		(ohmsches Gesetz)

	<u>'''Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:'''</u>		<u>'''Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:'''</u>
Zeile 17:		Zeile 17:
	<u>'''Das heißt:'''</u>		<u>'''Das heißt:'''</u>
	:<math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>		:<math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>
	nicht frequenzabhängig !		nicht frequenzabhängig!

	Sei		Sei
Zeile 39:		Zeile 39:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung !		Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung!

	<u>'''Spezielle Lösung dieses Problems:'''</u>		<u>'''Spezielle Lösung dieses Problems:'''</u>
Zeile 64:		Zeile 64:

	:<math>\tilde{n}=\left( n+i\gamma \right)</math>		:<math>\tilde{n}=\left( n+i\gamma \right)</math>
	komplexer Brechungsindex !		komplexer Brechungsindex!
	Somit:		Somit:

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	:<math>\phi </math>		:<math>\phi </math>
	=0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B		=0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B
	* kommt erst durch die Dämpfung !		* kommt erst durch die Dämpfung!
	* i m Isolator schwingen E und B in Phase !		* i m Isolator schwingen E und B in Phase!

	reeller Brechungsindex:		reeller Brechungsindex:
Zeile 160:		Zeile 160:
	:<math>d<<\frac{c}{\omega \gamma }\tilde{\ }cm</math>		:<math>d<<\frac{c}{\omega \gamma }\tilde{\ }cm</math>
	für 100 Hz		für 100 Hz
	( hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)		(hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)

	<u>'''Dielektrische Dispersion'''</u>		<u>'''Dielektrische Dispersion'''</u>
Zeile 231:		Zeile 231:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	'''Isolator ( dispersives Dielektrikum)'''		'''Isolator (dispersives Dielektrikum)'''

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	Als Absorptionskoeffizient		Als Absorptionskoeffizient
	:<math>\gamma </math>		:<math>\gamma </math>
	( reeller Brechungsindex n)		(reeller Brechungsindex n)

	'''Absorption'''		'''Absorption'''
Zeile 271:		Zeile 271:
	:<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0</math>		:<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0</math>

	* in jedem Fall gedämpfte Welle ( Energiedissipation).		* in jedem Fall gedämpfte Welle (Energiedissipation).

	Der Frequenzbereich mit		Der Frequenzbereich mit

	:<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }<<\varepsilon \acute{\ }</math>		:<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }<<\varepsilon \acute{\ }</math>
	heißt Transparenzgebiet der Substanz ( besonders wenig Absorption).		heißt Transparenzgebiet der Substanz (besonders wenig Absorption).

	'''Dispersion'''		'''Dispersion'''

	:<math>\operatorname{Re}k=k\acute{\ }=\frac{\omega }{c}n(\omega )</math>		:<math>\operatorname{Re}k=k\acute{\ }=\frac{\omega }{c}n(\omega )</math>
	nichtlineare Dispersion ( nur in erster Näherung ist n(w) linear !)		nichtlineare Dispersion (nur in erster Näherung ist n(w) linear!)

	* Definition der Gruppengeschwindigkeit:		* Definition der Gruppengeschwindigkeit:
Zeile 290:		Zeile 290:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	<u>'''Typische Frequenzabhängigkeit: ( sogenanntes Resonanzverhalten):'''</u>		<u>'''Typische Frequenzabhängigkeit: (sogenanntes Resonanzverhalten):'''</u>


Zeile 305:		Zeile 305:

	:<math>\frac{dn}{d\omega }<0</math>		:<math>\frac{dn}{d\omega }<0</math>
	bei Absorption !		bei Absorption!

	<u>'''Beziehung zwischen'''</u>		<u>'''Beziehung zwischen'''</u>
Zeile 316:		Zeile 316:
	* und Absorption		* und Absorption
	* <math>\gamma \left( \omega \right)</math>		* <math>\gamma \left( \omega \right)</math>
	* .		*.
	* erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt		* erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
	* Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip !		* Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip!

	<u>'''Beweis ( Funktionenthorie)'''</u>		<u>'''Beweis (Funktionenthorie)'''</u>

	Für kausale Funktion gilt:		Für kausale Funktion gilt:
Zeile 383:		Zeile 383:
	\end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>		\end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>

	= Hauptwertintegral ( principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle !		= Hauptwertintegral (principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle!

	:<math>\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>		:<math>\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>
Zeile 389:		Zeile 389:
	Integral längs des Halbkreis mit Radius		Integral längs des Halbkreis mit Radius
	:<math>\varepsilon </math>		:<math>\varepsilon </math>
	um den Pol !		um den Pol!

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Zeile 424:		Zeile 424:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander !		Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander!

	Titchmask- Theorem:		Titchmask- Theorem:

*>SchuBot: Pfeile einfügen, replaced: -> → → (2)

2010-09-12T19:59:08Z

Pfeile einfügen, replaced: -> → → (2)

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 21:59 Uhr
Zeile 195:		Zeile 195:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral -> Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.		Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral → Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.

	'''Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:'''		'''Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:'''
Zeile 267:		Zeile 267:
	Also: für		Also: für
	:<math>\varepsilon \acute{\ }>0</math>		:<math>\varepsilon \acute{\ }>0</math>
	-> ungedämpfte Welle		→ ungedämpfte Welle

	:<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0</math>		:<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:58:15Z

Einrückungen Mathematik

Änderungen zeigen

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|6}} Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern $\varepsilon ,\mu ,\…“$

2010-08-28T23:35:07Z

Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|6}}</noinclude> Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern <math>\varepsilon ,\mu ,\…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|6}}</noinclude>

Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern
<math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>
:

<math>\begin{align}
& \bar{D}=\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\quad \varepsilon >1 \\
& \bar{B}={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}\quad i.a.\mu \tilde{\ }1 \\
& \bar{j}=\sigma \bar{E} \\
\end{align}</math>

( ohmsches Gesetz)

'''Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:'''

'''Das heißt:'''
<math>\varepsilon ,\mu ,\sigma </math>
nicht frequenzabhängig !

Sei

<math>\begin{align}
& \rho =0 \\
& \nabla \times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}={{\mu }_{0}}\mu \bar{j}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \bar{E} \\
& \nabla \cdot \bar{E}=0 \\
& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\
& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{E} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{E} \right)-\Delta \bar{E}=-\Delta \bar{E}=-\nabla \times \dot{\bar{B}}=-{{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}-{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\
& \\
& \Delta \bar{E}={{\mu }_{0}}\mu \sigma \dot{\bar{E}}+{{\mu }_{0}}\mu \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\ddot{\bar{E}} \\
\end{align}</math>

Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle

<math>\begin{align}
& \Delta \bar{E}-\frac{1}{{{c}_{m}}^{2}}\left( \frac{\sigma }{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}\dot{\bar{E}}+\ddot{\bar{E}} \right)=0 \\
& {{c}_{m}}:=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\mu {{\mu }_{0}}}}=c\frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu }} \\
\end{align}</math>

Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung !

'''Spezielle Lösung dieses Problems:'''

homogene, ebene Welle:

<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \mu \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\
\end{align}</math>

Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter
Durch die Dämpfung
<math>\sigma </math>
ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.

<math>k\in C</math>

Setze:

<math>k=\frac{\omega }{c}\tilde{n}=\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma \right)</math>

mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit

<math>\tilde{n}=\left( n+i\gamma \right)</math>
komplexer Brechungsindex !
Somit:

<math>{{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}{{\tilde{n}}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right)</math>

Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:

<math>\begin{align}
& {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}=\varepsilon \mu \\
& n\gamma =\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau } \\
\end{align}</math>

* Bestimmung von
* <math>n,\gamma </math>
* :

o.B.d.A.:

<math>\bar{k}||{{\bar{x}}_{3}}</math>
:

Ausschreiben der Welle:

<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \bar{E}({{{\bar{x}}}_{3}},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{-\frac{{{x}_{3}}}{\lambda }}}{{e}^{-i\omega \left( t-\frac{n}{c}{{x}_{3}} \right)}} \\
\end{align}</math>

Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit
<math>\frac{c}{n}</math>
und dem Extinktionskoeffizienten

<math>\lambda =\frac{c}{\omega \gamma }</math>

'''Lineare Polarisation:'''

<math>{{\bar{E}}_{0}}||{{\bar{x}}_{1}}\Rightarrow {{\bar{B}}_{0}}||{{\bar{x}}_{2}}</math>

<math>\begin{align}
& {{\left( \nabla \times \bar{E} \right)}_{2}}=\frac{\partial {{E}_{1}}}{\partial {{x}_{3}}}=-{{{\dot{B}}}_{2}} \\
& \Leftrightarrow i\frac{\omega }{c}\left( n+i\gamma \right){{E}_{1}}=i\omega {{B}_{2}} \\
& \Leftrightarrow {{B}_{2}}=\frac{\left( n+i\gamma \right)}{c}{{E}_{1}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}{c}{{e}^{i\phi }}{{E}_{1}} \\
\end{align}</math>

Somit existiert eine Phasenverschiebung
<math>\phi </math>
zwischen E und B

'''Der Isolator'''

<math>\begin{align}
& \sigma =0 \\
& \tau \to \infty \\
\end{align}</math>

Folgen:

<math>\gamma =0</math>
keine Dämpfung

<math>\phi </math>
=0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B
* kommt erst durch die Dämpfung !
* i m Isolator schwingen E und B in Phase !

reeller Brechungsindex:

<math>n=\sqrt{\varepsilon \mu }\approx \sqrt{\varepsilon }>1</math>

* Phasengeschwindigkeit :
* <math>\frac{c}{n}<c</math>
*

Nebenbemerkung:
Nur OHNE DISPERSION ist
<math>\varepsilon </math>
reell

'''Metalle'''

<math>\tau =\frac{{{\varepsilon }_{0}}\varepsilon }{\sigma }<<\frac{1}{\omega }</math>
für alle Frequenzen bis UV
Somit:

<math>\begin{align}
& {{k}^{2}}=\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}+2in\gamma \right)\approx \frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\varepsilon \mu \frac{i}{\omega \tau } \\
& \Rightarrow {{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}}\approx 0 \\
& n\gamma \approx {{n}^{2}}\approx {{\gamma }^{2}}\approx \frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }\Rightarrow n=\gamma =\sqrt{\frac{\varepsilon \mu }{2\omega \tau }} \\
& \tan \phi =\frac{\gamma }{n}\approx 1\Rightarrow \phi \approx \frac{\pi }{4} \\
\end{align}</math>

Extinktionskoeffizient

<math>d<<\frac{c}{\omega \gamma }\tilde{\ }cm</math>
für 100 Hz
( hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)

'''Dielektrische Dispersion'''

Annahme:
<math>\mu =1</math>

Betrachte nun zeitliche Dispersion, also

<math>\begin{align}
& \hat{\chi }\left( \omega \right): \\
& \hat{\bar{P}}\left( \omega \right)={{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \omega \right) \\
\end{align}</math>

mit:

<math>\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}}</math>

dynamische elektrische Suszeptibilität

'''Fourier- Trafo:'''

<math>\begin{align}
& \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \hat{\bar{P}}\left( \bar{r},\omega \right){{e}^{-i\omega t}} \\
& \hat{\bar{E}}\left( \bar{r},\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\bar{E}\left( \bar{r},t \right){{e}^{+i\omega t}} \\
& \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}} \\
\end{align}</math>

Betrachte:

<math>\begin{align}
& \frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }{{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}:=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\chi \left( t-t\acute{\ } \right) \\
& \Rightarrow \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega {{\varepsilon }_{0}}\hat{\chi }\left( \omega \right)\int_{-\infty }^{\infty }{{}}dt\acute{\ }\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right){{e}^{+i\omega \left( t\acute{\ }-t \right)}}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty }^{t}{{}}dt\acute{\ }\chi \left( t-t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r},t\acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral -> Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.

'''Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:'''

<math>\begin{align}
& \chi \left( t-t\acute{\ } \right)=0 \\
& f\ddot{u}r \\
& t\acute{\ }>t \\
\end{align}</math>

Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes
<math>\hat{\chi }\left( \omega \right)\in C</math>

* Komplexe dielektrische Funktion:

<math>\begin{align}
& \varepsilon \left( \omega \right)=1+\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right) \\
& \varepsilon \acute{\ },\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\in R \\
\end{align}</math>

Aus:

<math>\begin{align}
& \varepsilon \left( \omega \right)=1+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{{}}dt\chi \left( t \right){{e}^{i\omega t}} \\
& \Rightarrow \varepsilon *(\omega )=\varepsilon (-\omega ) \\
& \varepsilon \acute{\ }(\omega )=\varepsilon \acute{\ }(-\omega ) \\
& \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(\omega )=-\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }(-\omega ) \\
\end{align}</math>

Monochromatische ebene Welle:

<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}}\left( 1+i\frac{1}{\omega \tau } \right) \\
\end{align}</math>

'''Isolator ( dispersives Dielektrikum)'''

<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)={{{\bar{E}}}_{0}}{{e}^{i\left( \bar{k}\bar{r}-\omega t \right)}} \\
& \Rightarrow {{k}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\frac{{{\omega }^{2}}}{{{c}^{2}}} \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& \tilde{n}\left( \omega \right)=n\left( \omega \right)+i\gamma \left( \omega \right) \\
& \tilde{n}{{\left( \omega \right)}^{2}}=\varepsilon \left( \omega \right)\equiv \varepsilon \acute{\ }+i\varepsilon \acute{\ }\acute{\ } \\
& \varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)={{n}^{2}}-{{\gamma }^{2}} \\
& \varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)=2n\gamma \\
& \Rightarrow \left. \begin{matrix}
\gamma \\
n \\
\end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}} \\
\end{align}</math>

Dabei

<math>\left. \begin{matrix}
\gamma \\
n \\
\end{matrix} \right\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{{\left( \sqrt{\varepsilon {{\acute{\ }}^{2}}+\varepsilon \acute{\ }{{\acute{\ }}^{2}}}\mp \varepsilon \acute{\ } \right)}^{\frac{1}{2}}}</math>

Als Absorptionskoeffizient
<math>\gamma </math>
( reeller Brechungsindex n)

'''Absorption'''

<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }=0\Rightarrow \gamma =0,n=\sqrt{\varepsilon \acute{\ }}</math>

Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon
Also: für
<math>\varepsilon \acute{\ }>0</math>
-> ungedämpfte Welle

<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }>0\Rightarrow \gamma >0</math>

* in jedem Fall gedämpfte Welle ( Energiedissipation).

Der Frequenzbereich mit

<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }<<\varepsilon \acute{\ }</math>
heißt Transparenzgebiet der Substanz ( besonders wenig Absorption).

'''Dispersion'''

<math>\operatorname{Re}k=k\acute{\ }=\frac{\omega }{c}n(\omega )</math>
nichtlineare Dispersion ( nur in erster Näherung ist n(w) linear !)

* Definition der Gruppengeschwindigkeit:

<math>\begin{align}
& {{v}_{g}}:=\frac{d\omega }{dk\acute{\ }}=\frac{1}{\frac{dk\acute{\ }}{d\omega }}=\frac{c}{\frac{d\left( \omega n \right)}{d\omega }} \\
& {{v}_{g}}=\frac{c}{n+\omega \frac{dn}{d\omega }}\ne \frac{c}{n\left( \omega \right)}={{v}_{ph.}} \\
\end{align}</math>

'''Typische Frequenzabhängigkeit: ( sogenanntes Resonanzverhalten):'''

'''Normale Dispersion'''

<math>\frac{dn}{d\omega }>0</math>

Stets im Transparenzgebiet, also wenn
<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\tilde{\ }0</math>

<math>{{v}_{g}}<{{v}_{ph.}}</math>

'''Anormale Dispersion'''

<math>\frac{dn}{d\omega }<0</math>
bei Absorption !

'''Beziehung zwischen'''
<math>\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)</math>
und
<math>\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)</math>

'''Kramers- Kronig- Relation'''

* Allgemein gültiger Zusammenhang zwischen Dispersion
* <math>n\left( \omega \right)</math>
* und Absorption
* <math>\gamma \left( \omega \right)</math>
* .
* erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
* Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip !

'''Beweis ( Funktionenthorie)'''

Für kausale Funktion gilt:

<math>\begin{align}
& \chi \left( t \right)=\Theta \left( t \right)\chi \left( t \right) \\
& \Theta \left( t \right)=\left\{ \begin{matrix}
\begin{align}
& 0t<0 \\
& 1t\ge 0 \\
\end{align} \\
{} \\
\end{matrix} \right. \\
\end{align}</math>
Heavyside

'''Fourier- Trafo:'''

<math>\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{{}}^{{}}{{}}d\omega \acute{\ }\Theta \left( \omega -\omega \acute{\ } \right)\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>

<math>\begin{align}
& \hat{\Theta }\left( \omega \right):=\begin{matrix}
\lim \\
\sigma ->0+ \\
\end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{\infty }{dt{{e}^{i\omega t-\sigma t}}}=\begin{matrix}
\lim \\
\sigma ->0+ \\
\end{matrix}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{i\omega -\sigma } \\
& \\
\end{align}</math>

Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor
<math>\sigma </math>
:
Also:

<math>\hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix}
\lim \\
\sigma ->0+ \\
\end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>

'''Der Integrand hat einen Pol für'''

<math>\omega \acute{\ }=\omega +i\sigma </math>

Also:

'''Äquivalenter Integrationsweg:'''

'''Zerlegung:'''

<math>\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=\begin{matrix}
\lim \\
\varepsilon ->{{0}^{+}} \\
\end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>

Man sagt:

<math>\begin{matrix}
\lim \\
\varepsilon ->{{0}^{+}} \\
\end{matrix}\left[ \int_{-\infty }^{\omega -\varepsilon }{+\int_{\omega +\varepsilon }^{\infty }{{}}} \right]d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)=P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>

= Hauptwertintegral ( principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle !

<math>\int\limits_{Kreisbogen}{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)</math>

Integral längs des Halbkreis mit Radius
<math>\varepsilon </math>
um den Pol !

<math>\begin{align}
& \int\limits_{Kreisbogen}{{}}ds\frac{f(s)}{s}=f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s} \\
& s=\varepsilon {{e}^{i\phi }}\Rightarrow ds=isd\phi \\
& f(0)\int\limits_{Kreisbogen}{{}}\frac{ds}{s}=f(0)i\int\limits_{0}^{\pi }{{}}d\phi =i\pi f(0) \\
\end{align}</math>

sogenanntes " Halbes Residuum!"

Also:

<math>\begin{align}
& \hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{matrix}
\lim \\
\sigma ->0+ \\
\end{matrix}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
& =\frac{1}{2\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right)+\frac{1}{2}\hat{\chi }\left( \omega \right) \\
& \Rightarrow \hat{\chi }\left( \omega \right)=\frac{1}{\pi i}P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\hat{\chi }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

Nun: Zerlegung in Re und Im mit

<math>\begin{align}
& \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)-1 \\
& \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right) \\
\end{align}</math>

Also:

<math>\begin{align}
& \operatorname{Re}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\left( \omega \right)-1=\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right) \\
& \operatorname{Im}\hat{\chi }\left( \omega \right)=\varepsilon \acute{\ }\acute{\ }\left( \omega \right)=-\frac{1}{\pi }P\int_{-\infty }^{\infty }{{}}d\omega \acute{\ }\frac{1}{\omega \acute{\ }-\omega }\left( \varepsilon \acute{\ }\left( \omega \acute{\ } \right)-1 \right) \\
\end{align}</math>

Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander !

Titchmask- Theorem:

<math>\hat{\chi }\left( z \right)</math>
sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene
Somit:

<math>\hat{\chi }\left( z \right)\to 0</math>
für
<math>\operatorname{Im}z\to \infty </math>

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