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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|4\|4}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Elektrodynamik\|4\|4}}</noinclude>
	Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen		Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen
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	Optik		Optik
	:<math>\lambda =400-800nm</math>		:<math>\lambda =400-800nm</math>
	-> Beugung		→ Beugung

	<u>'''Rückführung auf Randwertaufgabe'''</u>		<u>'''Rückführung auf Randwertaufgabe'''</u>
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	:<math>{{L}_{\alpha }}</math>		:<math>{{L}_{\alpha }}</math>

	und schließlich die Kausalitätsbedingung ( Ausstrahlungsbedingung) -> Retardierung, § 4.2		und schließlich die Kausalitätsbedingung ( Ausstrahlungsbedingung) → Retardierung, § 4.2

	'''Annahme:'''		'''Annahme:'''
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	beschreibt eine Überlagerung auslaufender ~~Kugelwellen->~~ Lösung als Entwicklung in Kugelwellen.		beschreibt eine Überlagerung auslaufender Kugelwellen→ Lösung als Entwicklung in Kugelwellen.
	( Ausstrahlbedingung, Konsequenz der Kausalität).		( Ausstrahlbedingung, Konsequenz der Kausalität).

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	:<math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right\|}_{B}}=\frac{{{e}^{ik{{R}^{Q}}}}}{{{R}^{Q}}}</math>		:<math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right\|}_{B}}=\frac{{{e}^{ik{{R}^{Q}}}}}{{{R}^{Q}}}</math>
	freie einfallende Welle -> Kugelwellen in der Blende		freie einfallende Welle → Kugelwellen in der Blende

	Ro rage dabei zum Schwerpunkt der Blende		Ro rage dabei zum Schwerpunkt der Blende
Zeile 407:		Zeile 405:
	* Motivation: Gittergeister an Gitterspektrographen		* Motivation: Gittergeister an Gitterspektrographen
	* Das Gitter kann als leeres Hologramm verstanden werden ( Überlagerung zweier ebener Wellen)		* Das Gitter kann als leeres Hologramm verstanden werden ( Überlagerung zweier ebener Wellen)
	* Die Hologrammfunktion / Aperturefunktion ( bei optischen Hologrammen eine Intensitätsfunktion -> reell) moduliert dabei die einfallende Rekonstruktionswelle:		* Die Hologrammfunktion / Aperturefunktion ( bei optischen Hologrammen eine Intensitätsfunktion → reell) moduliert dabei die einfallende Rekonstruktionswelle:


Zeile 486:		Zeile 484:

	* Breiter Spalt: Interferenz der Strahlen untereinander		* Breiter Spalt: Interferenz der Strahlen untereinander
	* 1. Strahl <-> n/2 +1 , 2. Stahl <-> N/2 + 2		* 1. Strahl <→ n/2 +1 , 2. Stahl <→ N/2 + 2

			à
	:<math>\sin \theta \cdot b=m\lambda </math>		:<math>\sin \theta \cdot b=m\lambda </math>
	als Minimabedingung		als Minimabedingung

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2010-08-28T23:28:47Z

Die Seite wurde neu angelegt: „ <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|4|4}}</noinclude> Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen <math>\rho \lef…“

Neue Seite

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|4|4}}</noinclude>
Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen
<math>\rho \left( \bar{r},t \right)</math>
und
<math>\bar{j}\left( \bar{r},t \right)</math>
und bei vorgegebenen Leitern
<math>{{L}_{\alpha }}</math>
im Vakuum:

'''Ziel'''

ist die Berechnung des Wellenfeldes im Außenraum V

Anwendung: Radiowellen
<math>\lambda =1-{{10}^{4}}</math>
m
Radar
Optik
<math>\lambda =400-800nm</math>
-> Beugung

'''Rückführung auf Randwertaufgabe'''

Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentzeichung ( Potenzialgleichungen) ( vergleiche dazu 1.6 in der Elektrostatik)

<math>\begin{align}
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
\end{align}</math>

Zu vorgegebenen Ladungen und Strömen.
Gleichzeitig haben wir Randbedingungen auf
<math>{{L}_{\alpha }}</math>

und schließlich die Kausalitätsbedingung ( Ausstrahlungsbedingung) -> Retardierung, § 4.2

'''Annahme:'''

<math>\begin{align}
& \rho \left( \bar{r},t \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
& \bar{j}\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}\left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
\end{align}</math>

Dies sollte wegen Fourier- Zerlegung bei periodischer Erregung beliebiger Art grundsätzlich möglich sein.

<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( {\bar{r}} \right){{e}^{-i\omega t}} \\
\end{align}</math>

eingesetzt in die Wellengleichung

<math>\begin{align}
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=\left( \Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\Phi \left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)\Phi \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& k:=\frac{\omega }{c} \\
\end{align}</math>

Mit der Greenschen Funktion der Wellengleichung
<math>\#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
:

<math>\#G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\delta \left( t-t\acute{\ } \right)</math>

Haben wir formal sofort die allgemeine Lösung:

<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right) \\
& t-t\acute{\ }:=\tau \\
& \Rightarrow \int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },t-t\acute{\ } \right)=\int_{-\infty }^{t}{dt\acute{\ }}{{e}^{-i\omega t\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\
& =\left[ \int_{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right]{{e}^{-i\omega t}}:=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{e}^{-i\omega t}} \\
& \int_{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right):=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

Somit kann die periodische Zeitabhängigkeit absepariert werden:

<math>\begin{align}
& \Phi \left( {\bar{r}} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}} \\
& mit \\
& \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

Problem:
Die Randbedingungen für
<math>\Phi \left( {\bar{r}} \right),\bar{A}</math>
sind im stationären Fall nicht bekannt, sondern müssen selbstkonsistent bestimmt werden.
Man kann das Problem jedoch mit Hilfe des Greenschen Satzes umformulieren:

'''Skalare Kirchhoff- Identität'''

( eine notwendige, nicht hinreichende Bedingung für Lösung):

Skalar: Wir beschreiben keine Polarisationseffekte !!! Alle Polarisationseffekte sind vernachlässigt. Das hat man unter dem Begriff Skalar an dieser Stelle zu verstehen !

Weiter: Greenscher Satz:

<math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \phi \nabla \Psi -\Psi \nabla \phi \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \phi \Delta \Psi -\Psi \Delta \phi \right)</math>

Setze:

<math>\begin{align}
& \Psi (\bar{r})=\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
& \phi (\bar{r})=\Phi \left( {\bar{r}} \right) \\
\end{align}</math>

Dabei sei das Potenzial als Lösung angenommen:

<math>\begin{align}
& \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right) \\
& \Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-{{k}^{2}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
& \Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right)=\frac{-\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}-{{k}^{2}}\Phi \left( {\bar{r}} \right) \\
& \Rightarrow \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left( \Phi \left( {\bar{r}} \right)\Delta \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\Delta \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right)=-\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right) \\
& \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right)=\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right) \\
\end{align}</math>

Also:

<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\left( \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\nabla \Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right)\nabla \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right) \\
& \bar{r}\acute{\ }\in V \\
\end{align}</math>

Dabei ist
<math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
im inneren von V durch
<math>\Phi </math>
und
<math>\nabla \Phi </math>
auf dem Rand festgelegt, falls die Greensfunktion

<math>\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
bekannt ist

'''Freier Raum: Greensfunktion des unendlichen Raumes:'''

Randbedingung
<math>\begin{matrix}
\lim \\
r\to \infty \\
\end{matrix}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0</math>

* Retardierte Potenziale ( Vergl. § 4.2):

<math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right)=\left\{ \begin{matrix}
\frac{1}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\delta \left( \tau -\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\quad \tau >0 \\
0\quad \quad \quad \quad \tau <0 \\
\end{matrix} \right.</math>

Somit:

<math>\begin{align}
& \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\int_{0}^{\infty }{d}\tau G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ },\tau \right){{e}^{i\omega \tau }}=\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
& k:=\frac{\omega }{c} \\
\end{align}</math>

Es folgt für das Potenzial:

<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{e}^{-i\omega t}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{e}^{-i\omega t}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}} \\
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{e}^{i\left( k\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|-\omega t \right)}}}{4\pi \left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}} \\
\end{align}</math>

beschreibt eine Überlagerung auslaufender Kugelwellen-> Lösung als Entwicklung in Kugelwellen.
( Ausstrahlbedingung, Konsequenz der Kausalität).

Mit

<math>\bar{R}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }</math>

lautet die Kirchhoff- Identität:

<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r}\acute{\ },t \right)=\frac{1}{4\pi }\int_{\partial V}^{{}}{d{{{\bar{f}}}_{R}}}\left[ \frac{{{e}^{ikR}}}{R}{{\nabla }_{r}}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R} \right] \\
& {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}=\frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
\end{align}</math>

Dazu eine Grafik:

Mittels
<math>d\bar{f}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=df\cos \vartheta </math>

und über Beschränkung auf Fernzone von
<math>\partial V</math>
, also R >> 1/k gilt:

<math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ },t \right)=\frac{1}{4\pi }\int_{\partial V}^{{}}{d{{f}_{R}}}\left[ \frac{\partial }{\partial n}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-ik\Phi \left( {\bar{r}} \right)\cos \vartheta \right]\frac{{{e}^{ikR}}}{R}</math>

Mit der richtungsabhängigen Amplitude
<math>\left[ \frac{\partial }{\partial n}\Phi \left( {\bar{r}} \right)-ik\Phi \left( {\bar{r}} \right)\cos \vartheta \right]</math>
und der Kugelwelle
<math>\frac{{{e}^{ikR}}}{R}</math>
.
Beides zusammen ergeben sogenannte Sekundärwellen.

Insgesamt ist dies die exakte ( mathematische) Formulierung des Huygensschen Prinzips
( jeder Punkt an der Oberfläche des Hindernisses ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle).
deren phasengerechte Überlagerung ergibt dann das Wellenfeld in r´

'''b) Greensfunktion zu Randbedingungen'''

<math>\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\begin{smallmatrix}
\bar{r}\in \partial V \\
\bar{r}\acute{\ }\in V
\end{smallmatrix}}}=0</math>

<math>\Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>

Die neue Greensfunktion unterscheidet sich von der alten nur durch eine additive Lösung g der homogenen Wellengleichung:

<math>\begin{align}
& \tilde{G}\left( {\bar{R}} \right)=g\left( {\bar{R}} \right)+\frac{1}{4\pi }\frac{{{e}^{ikR}}}{R} \\
& \left( \Delta +{{k}^{2}} \right)g=0 \\
\end{align}</math>

Mit Randbedingung

<math>g{{\left. {} \right|}_{\partial V}}=-\frac{1}{4\pi }{{\left. \frac{{{e}^{ikR}}}{R} \right|}_{\partial V}}</math>

Beispiel für die Konstruktion von
<math>\tilde{G}\left( {\bar{R}} \right)</math>
:

'''Ebener Schirm:'''

Spiegelladungsmethode:

Hinter dem Schirm wird die Halbkugel im UNENDLICHEN geschlossen.

Hinter dem ebenen Schirm wenden wir die Spiegelladungsmethode an:

<math>\begin{align}
& \tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( \frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right) \\
& \Rightarrow {{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right):=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right) \\
\end{align}</math>

Dieser Gradient wurde einige Seiten vorher bereits gelöst:

<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right):=\frac{1}{4\pi }\left( {{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR}}}{R}-{{\nabla }_{r}}\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right) \\
& =\frac{1}{4\pi }\left( \frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}-\frac{{{e}^{ikR\acute{\ }\acute{\ }}}}{R\acute{\ }\acute{\ }}\left( ik-\frac{1}{R\acute{\ }\acute{\ }} \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right) \\
\end{align}</math>

Mit

<math>\begin{align}
& R=R\acute{\ }\acute{\ } \\
& d\bar{f}\cdot \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-d\bar{f}\cdot \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}=+df\cos \vartheta \\
& \Rightarrow d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\tilde{G}=df\frac{1}{2\pi }\frac{{{e}^{ikR}}}{R}\left( ik-\frac{1}{R} \right)\cos \vartheta \\
\end{align}</math>

Für
<math>\lambda <<R</math>
( Fernzone):

<math>\Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\Phi \left( {\bar{r}} \right){{\nabla }_{r}}\tilde{G}\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}=-\frac{i}{\lambda }\int_{F}^{{}}{df\Phi \left( {\bar{r}} \right)\frac{{{e}^{ik\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}}\cos \vartheta </math>

Zur Konstruktion der Lösung müssen die Randwerte
<math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{F}}</math>
erraten werden.

'''Kirchhoffsche Näherung'''

Beugung an Blenden B in einem ebenen Schirm:

Annahme:

<math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{S}}=0</math>
Das Potenzial verschwindet auf dem Schirm ( leitender Schirm)

<math>{{\left. \Phi \left( {\bar{r}} \right) \right|}_{B}}=\frac{{{e}^{ik{{R}^{Q}}}}}{{{R}^{Q}}}</math>
freie einfallende Welle -> Kugelwellen in der Blende

Ro rage dabei zum Schwerpunkt der Blende

<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{i}{\lambda }\int_{B}^{{}}{df\frac{{{e}^{ik\left| R+{{R}^{Q}} \right|}}}{R{{R}^{Q}}}}\cos \vartheta \\
& \cos \vartheta \approx const. \\
\end{align}</math>

Der Winkel ist näherungsweise konstant für kleine Blenden:

<math>\lambda <<d</math>

<math>\begin{align}
& \bar{R}=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\
& {{{\bar{R}}}^{Q}}=\bar{r}-{{{\bar{r}}}^{Q}} \\
& df={{d}^{2}}r \\
\end{align}</math>

Somit:

<math>\begin{align}
& \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{i}{\lambda }\frac{\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}\int_{B}^{{}}{df}{{e}^{ik\left| R+{{R}^{Q}} \right|}} \\
& \cos \vartheta \approx const. \\
\end{align}</math>

im schnell oszillierenden Exponenten darf man R und RQ nicht so ohne weiteres durch Ro / RQo ersetzen !

* typisches Näherungsverfahren in Fernfeldoptik

'''Grenzfälle'''

# '''Fraunhofersche Beugung ( Fernzone:'''
# <math>\lambda <<d<<R</math>
# )

Setze
<math>\bar{R}={{\bar{R}}_{0}}+\bar{s}</math>

<math>{{R}^{2}}\approx {{R}_{0}}^{2}+2{{\bar{R}}_{0}}\bar{s}</math>

<math>\begin{align}
& \Rightarrow R\approx {{R}_{0}}+\bar{\alpha }\bar{s} \\
& \bar{\alpha }:=\frac{{{{\bar{R}}}_{0}}}{{{R}_{0}}} \\
\end{align}</math>

Analog:

<math>\begin{align}
& \Rightarrow {{R}^{Q}}\approx {{R}_{0}}^{Q}+{{{\bar{\alpha }}}_{0}}\bar{s} \\
& {{{\bar{\alpha }}}_{0}}:=\frac{{{{\bar{R}}}_{0}}^{Q}}{{{R}_{0}}^{Q}} \\
\end{align}</math>

<math>\Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\approx -\frac{i}{\lambda }{{e}^{ik\left( {{R}_{0}}+{{R}_{0}}^{Q} \right)}}\frac{\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}\int_{B}^{{}}{{{d}^{2}}s}{{e}^{ik\left( \bar{\alpha }+{{{\bar{\alpha }}}_{0}} \right)\bar{s}}}</math>

'''Fresnelsche Beugung ( Mittelzone:'''
<math>\lambda <<R\approx d</math>

hier:
<math>{{R}^{2}}={{R}_{0}}^{2}+2{{\bar{R}}_{0}}\bar{s}+{{s}^{2}}</math>
nicht genähert !!

'''Beispiel: Fraunhofersche Beugung am Spalt ( eindimensional):'''

Bei senkrechtem Einfall gilt:
<math>{{\bar{\alpha }}_{0}}\bar{s}=0</math>

<math>\begin{align}
& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=C\int_{-d/2}^{d/2}{d{{s}_{1}}}{{e}^{ik\alpha {{s}_{1}}}} \\
& \alpha :=\sin {{\vartheta }_{0}} \\
& \bar{\alpha }\bar{s}={{s}_{1}}\sin {{\vartheta }_{0}} \\
& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{C}{ik\alpha }\left( {{e}^{ik\alpha \frac{d}{2}}}-{{e}^{-ik\alpha \frac{d}{2}}} \right) \\
& \Phi \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=Cd\frac{\sin \left( k\alpha \frac{d}{2} \right)}{k\alpha \frac{d}{2}} \\
\end{align}</math>

Die Spaltfunktion, Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ( Blende)

Wir finden Beugungsminima bei den Nullstellen des Sinus ( Außer in der Mitte), also

<math>\sin {{\vartheta }_{0}}=n\cdot \frac{\lambda }{d}</math>

ebenso ( als ÜBUNG !!!)
können dann Beugung am Gitter und an kreisförmigen Blenden berechnet werden.

'''Einwurf: 1. Der holografische Prozess'''

*# '''Aufzeichnung und Rekonstruktion'''

Lichtintensität einer Lichtwelle:

<math>I(x,y)=|O(x,y)|{}^\text{2}=O(x,y)\bullet O*(x,y)</math>

* Phaseninformationen gehen verloren
* Idee: Phaseninfo durch Interferenz aufzeichnen
* Lösung mittels eines Zweistufenprozesses: Aufzeichnung und Rekonstruktion
* Kohärenz erforderlich
* monochromatisches Licht
* unpolarisiertes Licht

'''1. Schritt: Die Aufzeichnungsphase'''

* Problem: Speichern komplexer Funktionen in einem reellen Medium
* Überlagerung der Objektwelle

<math>O(x,y)=|O(x,y)|\bullet \exp (i{{\varphi }_{O}}(x,y))</math>

* Mit einer Referenzwelle

<math>R(x,y)=|R(x,y)|\bullet \exp (i{{\varphi }_{R}}(x,y))</math>

* Auch in diesem Fall werden nur Intensitäten gespeichert. Doch diese sind nun:

<math>I(x,y)=|O(x,y)+R(x,y)|{}^\text{2}\ =\quad |O|{}^\text{2}\ +\ |R|{}^\text{2}\ +\ OR*\ +\ O*R</math>

<math>I(x,y)=|O|{}^\text{2}\ +\ |R|{}^\text{2}\ +2RO\cos [{{\varphi }_{R}}(x,y)-{{\varphi }_{O}}(x,y)]</math>

* Diese Intensitätsverteilung kann verstanden werden als " Hologrammfunktion" oder "Aperturefunktion"
* Planare Wellen: Fraunhofer Hologramme
* Divergierende Wellen: Fresnelhologramme
* Im obigen Bild dargestellt: Trägerfrequenzholografie
* Eigentliche Holografie: ohne Trägerfrequenz: Referenzstrahl, in den auch das Objekt gestellt wird.
* Dabei überlagern sich jedoch mehrere Ordnungen.
* Generell: verschiedenste Aufzeichnungstechniken:
* Trägerfrequenzholografie ( wie oben)
* Denisyukhologramm

'''2. Schritt: Rekonstruktionsphase'''

* Gleiche Wellenlänge wie bei Aufzeichnung rekonstruiert das Objekt
* Ansonsten: Verzerrung
* Beugung durch Hologrammstrukturen vergleichbar mit Gitter
* Motivation: Gittergeister an Gitterspektrographen
* Das Gitter kann als leeres Hologramm verstanden werden ( Überlagerung zweier ebener Wellen)
* Die Hologrammfunktion / Aperturefunktion ( bei optischen Hologrammen eine Intensitätsfunktion -> reell) moduliert dabei die einfallende Rekonstruktionswelle:

<math>O\acute{\ }=R\cdot I(x,y)=R\cdot (|O|{}^\text{2}+|R|{}^\text{2})+O\cdot |R|{}^\text{2}+R\cdot R\cdot O*</math>

* Zu beachten: komplexe Funktionen

'''Fresnel- und Fourier- Hologramme'''

* Wesentlich für Fourier- Hologramme: Aufzeichnung mittels ebener Wellen
* Linse
* Objekt in weiter Entfernung
* Wesentlich für Fresnelhologramme: Die Objektwelle ist eine Kugelwelle. Das Objekt muss sich also in der Nähe der Hologrammebene befinden.

* Fouriernäherung des Beugungsintegrals
* Fresnel- Näherung des Beugungsintegrals

*# '''Grundlagen der Beugung'''

* Das Beugungsintegral beschreibt die Lichterregung in der Beobachtungsebene.
* Keine Berücksichtigung der Polarisation
* Voraussetzung: kohärente Beleuchtung

* Die einfallende Welle wird mit der Aperturefunktion A(x1, y1) ( z.B. Amplitudentransparenz einer Blende oder Phasenaddition durch ein Phasenobjekt) multipliziert und dann über den gesamten Raum integriert.

* Fällt das Licht durch ein Hologramm, so muss in die Gleichungen die entsprechende Funktion der Lichttransmission, die das Hologramm beschreibt, gesetzt werden ( Hologramm-/ Aperturefunktion).

* Ausgangspunkt:
Helmholtz- Gleichung
<math>(\nabla {}^\text{2}+k{}^\text{2})\,U(\bar{r})=0</math>

mit
<math>U(\bar{r})=\frac{{{e}^{i\bar{k}\bar{r}o1}}}{ro1}</math>

* lauter Kugelwellen in x1/y1

<math>O(xo,yo)\tilde{\ }\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)\bullet U(\bar{r})dx1dy1}}</math>

<math>\approx \tilde{\ }\frac{1}{z}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{{{e}^{ikr}}\bullet A(x1,y1)}}dx1dy1</math>

* Komposition des Objekts durch Interferenz aufgrund von Phasenunterschieden im Raum hinter der Blende

'''Reihenentwicklung des Abstandes als Näherung:'''

<math>r=\sqrt{(xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2}+z{}^\text{2}}</math>

<math>\approx z\left[ 1+\frac{(xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2}}{2z{}^\text{2}} \right]</math>

'''Fresnel- Näherung:'''
* Die Hologrammfunktion / Aperturfunktion kodiert das Fresnelsche Beugungsbild

<math>O(xo,yo)\approx \tilde{\ }\frac{{{e}^{ikz}}}{z}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)}}\bullet {{e}^{\frac{i\pi }{\lambda z}\left[ (xo-x1){}^\text{2}+(yo-y1){}^\text{2} \right]}}dx1dy1</math>

'''Fraunhofer- Näherung:'''
* Aufzeichnung allgemein mit Linse
* Zur Aufzeichnung: ebene Welle erforderlich

* Das Integral entspricht einer Fouriertransformation der Hologrammfunktion/ Aperturefunktion

'''Aufzeichnung:'''

'''1.3 Beispiele: Einfach- und Doppelspalt'''

'''Hintergrund'''
* Laufstreckenunterschiede von kohärenten Lichtstrahlen bestimmen Interferenzerscheinungen

Fernfeldnäherungen/ Fouriernäherungen:

* Für schmalen Doppelspalt gilt:

<math>d\varphi (P)=k\cdot ds=k(r2-r1)\approx k\cdot \sin \theta \cdot a=2\pi \sin \theta \cdot \frac{a}{\lambda }</math>

<math>\Rightarrow \sin \theta \cdot a=m\lambda </math>
als Maximabedingung

Sofort ersichtlich:
* Variation des Spaltabstands variiert Phase
* Variation der Spaltbreite variiert Amplitude

* Breiter Spalt: Interferenz der Strahlen untereinander
* 1. Strahl <-> n/2 +1 , 2. Stahl <-> N/2 + 2


<math>\sin \theta \cdot b=m\lambda </math>
als Minimabedingung

'''Der Einfachspalt:'''

Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:

<math>O\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>
entspricht Feldverteilung des E-Feldes:
<math>E\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>

<math>I(\theta )={{I}_{o}}\cdot \text{sinc }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ (}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>

'''2. Doppelspalt mit endlicher Spaltbreite/ Minimalgitter:'''

* Lösung Gesamtproblem: Reihe von Beugungsintegralen

Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:

<math>E\tilde{\ }\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )</math>

* Entspricht den Beugungserscheinungen an einer Periode

Amplitudenverteilung bei mehreren schmalen Spalten/ Vielstrahlinterferenz:

<math>E\tilde{\ }\left\{ \frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))} \right\}</math>

<math>I(\theta )={{I}_{o}}\text{sin}{{\text{c}}^{\text{2}}}\text{(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )\cdot {{\left\{ \frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))} \right\}}^{2}}</math>

* Der Abstand der Spalte ist immer größer als die Breite: a>b
* Die Interferenzstreifen aus Spaltbreite modulieren mit niedriger Frequenz
* Interferenzstreifen aus Spaltanzahl modulieren mit hoher Frequenz
* Für schmale Spalte: Kammfunktion

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