Zeitunabhängige Störungsrechnung bei Entartung - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (5), ( → ( (2)

2010-09-12T22:46:37Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (5), ( → ( (2)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:46 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:
	:<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>		:<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>

	( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)		(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)

	Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie <math>{{E}_{n}}^{(0)}</math>		Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie <math>{{E}_{n}}^{(0)}</math>
Zeile 29:		Zeile 29:
	Damit bezeichnet <math>\alpha =1,...,s</math>		Damit bezeichnet <math>\alpha =1,...,s</math>

	die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet !		die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet!

	Durch <math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>		Durch <math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>
Zeile 57:		Zeile 57:
	\end{matrix}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>		\end{matrix}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

	( eindeutig bestimmt).		(eindeutig bestimmt).

	Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{f}}</math>		Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{f}}</math>
Zeile 110:		Zeile 110:

	Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante <math>\det \left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)</math>		Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante <math>\det \left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)</math>
			,
	, die sogenannte Säkulardeterminante, verschwindet, also <math>\det \left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)=0</math>		die sogenannte Säkulardeterminante, verschwindet, also <math>\det \left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)=0</math>

	also:		also:
Zeile 120:		Zeile 120:

	{{{\hat{V}}}_{21}} & {{{\hat{V}}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)} & ... & ... \\		{{{\hat{V}}}_{21}} & {{{\hat{V}}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)} & ... & ... \\
			.
	... & ... & ... & ... \\		.. & ... & ... & ... \\

	{{{\hat{V}}}_{s1}} & ... & ... & {{{\hat{V}}}_{ss}}-{{E}_{k}}^{(1)} \\		{{{\hat{V}}}_{s1}} & ... & ... & {{{\hat{V}}}_{ss}}-{{E}_{k}}^{(1)} \\
Zeile 135:		Zeile 135:
	und die Eigenvektoren zu <math>{{E}_{k}}^{(1)}\ne {{E}_{l}}^{(1)}</math>		und die Eigenvektoren zu <math>{{E}_{k}}^{(1)}\ne {{E}_{l}}^{(1)}</math>

	sind orthogonal !		sind orthogonal!

	'''Bemerkung: ''' Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden !		'''Bemerkung: ''' Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden!

	=====Beispiel: 2 entartete Zustände=====		=====Beispiel: 2 entartete Zustände=====
Zeile 164:		Zeile 164:
	Dabei gibt <math>\sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left\| {{{\hat{V}}}_{12}} \right\|}^{2}}}</math>		Dabei gibt <math>\sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left\| {{{\hat{V}}}_{12}} \right\|}^{2}}}</math>
	die Energieaufspaltung an.		die Energieaufspaltung an.
	E ist , wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in <math>\varepsilon </math>		E ist, wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in <math>\varepsilon </math>,
	, also linear zur Störung:		also linear zur Störung:

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:49:01Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:49 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:		Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

	<math>\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =E\left\| \Psi \right\rangle </math>		:<math>\hat{H}\left\| \Psi \right\rangle =E\left\| \Psi \right\rangle </math>

	soll berechnet werden, wobei		soll berechnet werden, wobei

	<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>		:<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>

	durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.		durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Zeile 15:		Zeile 15:
	linear entwickelt werden kann:		linear entwickelt werden kann:

	<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>		:<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>

	( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)		( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)
Zeile 25:		Zeile 25:
	Das ungestörte Problem schreibt sich dann:		Das ungestörte Problem schreibt sich dann:

	<math>{{\hat{H}}_{0}}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left\| n,\alpha \right\rangle \quad \alpha =1,...,s</math>		:<math>{{\hat{H}}_{0}}\left\| n,\alpha \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left\| n,\alpha \right\rangle \quad \alpha =1,...,s</math>

	Damit bezeichnet <math>\alpha =1,...,s</math>		Damit bezeichnet <math>\alpha =1,...,s</math>
Zeile 35:		Zeile 35:
	wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:		wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:

	<math>\hat{H}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>		:<math>\hat{H}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>

	Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung		Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung

	<math>\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left\| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +...</math>		:<math>\left\| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left\| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +...</math>

	ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes		ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes

	<math>\left\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{c}_{\alpha }}\left\| k,\alpha \right\rangle </math>		:<math>\left\| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{c}_{\alpha }}\left\| k,\alpha \right\rangle </math>

	möglich:		möglich:
Zeile 65:		Zeile 65:
	'''f=1'''		'''f=1'''

	<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}}\left\| k,\alpha \right\rangle </math>		:<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}}\left\| k,\alpha \right\rangle </math>

	1. Näherung		1. Näherung
Zeile 75:		Zeile 75:
	heraus:		heraus:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\langle k,\beta \right\|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}\left( \left\langle k,\beta \| k,\alpha \right\rangle {{E}_{k}}^{(1)}-\left\langle k,\beta \right\|\hat{V}\left\| k,\alpha \right\rangle \right)} \\		& \left\langle k,\beta \right\|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}\left( \left\langle k,\beta \| k,\alpha \right\rangle {{E}_{k}}^{(1)}-\left\langle k,\beta \right\|\hat{V}\left\| k,\alpha \right\rangle \right)} \\
Zeile 89:		Zeile 89:
	Somit folgt:		Somit folgt:

	<math>0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}</math>		:<math>0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}</math>

	Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix<math>{{\hat{V}}_{\beta \alpha }}</math>		Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix<math>{{\hat{V}}_{\beta \alpha }}</math>
Zeile 95:		Zeile 95:
	:		:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& 0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}=\left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)\bar{c} \\		& 0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}=\left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)\bar{c} \\
Zeile 115:		Zeile 115:
	also:		also:

	<math>\left\| \begin{matrix}		:<math>\left\| \begin{matrix}

	{{{\hat{V}}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)} & {{{\hat{V}}}_{12}} & ... & {{{\hat{V}}}_{1s}} \\		{{{\hat{V}}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)} & {{{\hat{V}}}_{12}} & ... & {{{\hat{V}}}_{1s}} \\
Zeile 143:		Zeile 143:
	Säkulardeterminante		Säkulardeterminante

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}

	& \left\| \begin{matrix}		& \left\| \begin{matrix}
Zeile 160:		Zeile 160:

	Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:		Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:
	<math>E={{E}^{(0)}}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}={{E}^{(0)}}+\frac{\varepsilon }{2}\left[ \left( {{{\hat{V}}}_{11}}+{{{\hat{V}}}_{22}} \right)\pm \sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left\| {{{\hat{V}}}_{12}} \right\|}^{2}}} \right]</math>		:<math>E={{E}^{(0)}}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}={{E}^{(0)}}+\frac{\varepsilon }{2}\left[ \left( {{{\hat{V}}}_{11}}+{{{\hat{V}}}_{22}} \right)\pm \sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left\| {{{\hat{V}}}_{12}} \right\|}^{2}}} \right]</math>

	Dabei gibt <math>\sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left\| {{{\hat{V}}}_{12}} \right\|}^{2}}}</math>		Dabei gibt <math>\sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left\| {{{\hat{V}}}_{12}} \right\|}^{2}}}</math>

*>SchuBot am 11. September 2010 um 17:18 Uhr

2010-09-11T17:18:03Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. September 2010, 19:18 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:
	1. Näherung		1. Näherung

	Das Skalarprodukt mit <math>\left\langle k,\beta \right\|\to \left\langle k,\beta ~~\right\|\left\|~~ k,\alpha \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }}</math>		Das Skalarprodukt mit <math>\left\langle k,\beta \right\|\to \left\langle k,\beta \| k,\alpha \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }}</math>

	"projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten Terms der Nummer <math>\beta </math>		"projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten Terms der Nummer <math>\beta </math>
Zeile 77:		Zeile 77:
	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}

	& \left\langle k,\beta \right\|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}\left( \left\langle k,\beta ~~\right\|\left\|~~ k,\alpha \right\rangle {{E}_{k}}^{(1)}-\left\langle k,\beta \right\|\hat{V}\left\| k,\alpha \right\rangle \right)} \\		& \left\langle k,\beta \right\|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}\left( \left\langle k,\beta \| k,\alpha \right\rangle {{E}_{k}}^{(1)}-\left\langle k,\beta \right\|\hat{V}\left\| k,\alpha \right\rangle \right)} \\

	& \left\langle k,\beta \right\|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =0 \\		& \left\langle k,\beta \right\|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =0 \\

	& \left\langle k,\beta ~~\right\|\left\|~~ k,\alpha \right\rangle ={{\delta }_{\beta \alpha }} \\		& \left\langle k,\beta \| k,\alpha \right\rangle ={{\delta }_{\beta \alpha }} \\

	& \left\langle k,\beta \right\|\hat{V}\left\| k,\alpha \right\rangle :={{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }} \\		& \left\langle k,\beta \right\|\hat{V}\left\| k,\alpha \right\rangle :={{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }} \\

Schubotz am 9. September 2010 um 14:36 Uhr

2010-09-09T14:36:46Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. September 2010, 16:36 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|4}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|5\|4}}</noinclude>

	Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:		Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|4}} Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: $\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle$
2010-08-24T18:03:56Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|4}} Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: <math>\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle </m…“

Neue Seite
{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|4}}

Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

<math>\hat{H}\left| \Psi \right\rangle =E\left| \Psi \right\rangle </math>

soll berechnet werden, wobei

<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math>

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters <math>\varepsilon </math>

linear entwickelt werden kann:

<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>

( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)

Wenn wir nun annehmen, dass zur Energie <math>{{E}_{n}}^{(0)}</math>

mehrere (orthonormal) entartete Zustände gehören, so müssen wir das Problem anpassen:

Das ungestörte Problem schreibt sich dann:

<math>{{\hat{H}}_{0}}\left| n,\alpha \right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left| n,\alpha \right\rangle \quad \alpha =1,...,s</math>

Damit bezeichnet <math>\alpha =1,...,s</math>

die Nummerierung der entarteten Zustände beim Entartungsgrad s. Bei diesem Beispiel wäre der N. Eigenzustand s- fach entartet !

Durch <math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math>

wird die Entartung jedoch im Allgemeinen aufgehoben:

<math>\hat{H}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle ={{E}_{k}}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle </math>

Die Störungsreihe/ Störungsentwicklung

<math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle +...</math>

ist unter diesen Bedingungen nur für ein bestimmtes, geeignetes

<math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}{{c}_{\alpha }}\left| k,\alpha \right\rangle </math>

möglich:

Wähle nun <math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

im ungestörten Eigenraum so, dass für <math>\begin{matrix}

\lim \\

\varepsilon \to 0 \\

\end{matrix}\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math>

( eindeutig bestimmt).

Das Einsetzen in die Entwicklung der Ordnung <math>{{\varepsilon }^{f}}</math>

liefert:

'''f=1'''

<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}}\left| k,\alpha \right\rangle </math>

1. Näherung

Das Skalarprodukt mit <math>\left\langle k,\beta \right|\to \left\langle k,\beta \right|\left| k,\alpha \right\rangle ={{\delta }_{\alpha \beta }}</math>

"projiziert" wieder die Korrektur des jeweils entarteten Terms der Nummer <math>\beta </math>

heraus:

<math>\begin{align}

& \left\langle k,\beta \right|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }{{{c}_{\alpha }}\left( \left\langle k,\beta \right|\left| k,\alpha \right\rangle {{E}_{k}}^{(1)}-\left\langle k,\beta \right|\hat{V}\left| k,\alpha \right\rangle \right)} \\

& \left\langle k,\beta \right|\left( {{{\hat{H}}}^{(0)}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =0 \\

& \left\langle k,\beta \right|\left| k,\alpha \right\rangle ={{\delta }_{\beta \alpha }} \\

& \left\langle k,\beta \right|\hat{V}\left| k,\alpha \right\rangle :={{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }} \\

\end{align}</math>

Somit folgt:

<math>0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}</math>

Dies ist aber gerade eine Eigenwertgleichung für die sogenannte Störmatrix<math>{{\hat{V}}_{\beta \alpha }}</math>

:

<math>\begin{align}

& 0=\sum\limits_{\alpha }{\left( {{{\hat{V}}}_{\beta \alpha }}-{{E}_{k}}^{(1)}{{\delta }_{\beta \alpha }} \right){{c}_{\alpha }}}=\left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)\bar{c} \\

& \bar{c}\in {{C}^{s}} \\

& \hat{V}\in {{C}^{s}}\times {{C}^{s}} \\

\end{align}</math>

Die Gleichung heißt auch "Säkulargleichung" zur Berechnung von Eigenwerten und bildet ein homogenes, lineares Gleichungssystem.

Die Bezeichnung folgt in Anlehnung an die früheren Anwendungen: Berechnung der astronomischen säkularen Störungen.

Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn die Determinante <math>\det \left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)</math>

, die sogenannte Säkulardeterminante, verschwindet, also <math>\det \left( \hat{V}-{{E}_{k}}^{(1)}1 \right)=0</math>

also:

<math>\left| \begin{matrix}

{{{\hat{V}}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)} & {{{\hat{V}}}_{12}} & ... & {{{\hat{V}}}_{1s}} \\

{{{\hat{V}}}_{21}} & {{{\hat{V}}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)} & ... & ... \\

... & ... & ... & ... \\

{{{\hat{V}}}_{s1}} & ... & ... & {{{\hat{V}}}_{ss}}-{{E}_{k}}^{(1)} \\

\end{matrix} \right|=0</math>

Für den Fall <math>\hat{V}</math>

hermitesch folgt <math>{{\hat{V}}_{\beta \alpha }}={{\hat{V}}_{\alpha \beta }}*</math>

Dann existieren reelle Eigenwerte <math>{{E}_{k}}^{(1)}</math>

und die Eigenvektoren zu <math>{{E}_{k}}^{(1)}\ne {{E}_{l}}^{(1)}</math>

sind orthogonal !

'''Bemerkung: ''' Die Entartung muss NICHT vollständig aufgehoben werden !

=====Beispiel: 2 entartete Zustände=====

Säkulardeterminante

<math>\begin{align}

& \left| \begin{matrix}

{{{\hat{V}}}_{11}}-{{E}_{k}}^{(1)} & {{{\hat{V}}}_{12}} \\

{{{\hat{V}}}_{21}} & {{{\hat{V}}}_{22}}-{{E}_{k}}^{(1)} \\

\end{matrix} \right|=0 \\

& {{\left( {{E}_{k}}^{(1)} \right)}^{2}}-\left( {{{\hat{V}}}_{11}}+{{{\hat{V}}}_{22}} \right){{E}_{k}}^{(1)}+\left( {{{\hat{V}}}_{11}}{{{\hat{V}}}_{22}}-{{{\hat{V}}}_{12}}{{{\hat{V}}}_{21}} \right)=0 \\

& {{{\hat{V}}}_{12}}{{{\hat{V}}}_{21}}={{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}} \\
& \Rightarrow {{E}_{k}}^{(1)}=\frac{1}{2}\left[ \left( {{{\hat{V}}}_{11}}+{{{\hat{V}}}_{22}} \right)\pm \sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}}} \right] \\
\end{align}</math>

Dies als Korrekturterm. Somit folgt für ein Energieniveau der Energie E:
<math>E={{E}^{(0)}}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}={{E}^{(0)}}+\frac{\varepsilon }{2}\left[ \left( {{{\hat{V}}}_{11}}+{{{\hat{V}}}_{22}} \right)\pm \sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}}} \right]</math>

Dabei gibt <math>\sqrt{{{\left( {{{\hat{V}}}_{11}}-{{{\hat{V}}}_{22}} \right)}^{2}}+4{{\left| {{{\hat{V}}}_{12}} \right|}^{2}}}</math>
die Energieaufspaltung an.
E ist , wie angegeben die gesamte Energie in 1. Störungstheoretischer Ordnung. Die Aufspaltung erfolgt linear in <math>\varepsilon </math>
, also linear zur Störung: