Zweikörperproblem - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: , → ,

2010-09-12T22:34:24Z

Interpunktion, replaced: , → ,

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:34 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Als einfaches Bespiel soll das Zweikörperproblem besprochen werden.		Als einfaches Bespiel soll das '''Zweikörperproblem''' besprochen werden.
	Leider sind hier keine Zwangsbedingungen gegeben das heißt es gibt S=2*3-0=6 Freiheitsgrade. Anstatt den kanonischen Isomorphismus zwischen dem Newtonschen Raum und dem Konfigurationsraum zu verwenden, empfiehlt sich hier die Aufteilung in Schwerpunkt und Relativkoordinaten.		Leider sind hier keine Zwangsbedingungen gegeben das heißt es gibt S=2*3-0=6 Freiheitsgrade. Anstatt den kanonischen Isomorphismus zwischen dem Newtonschen Raum und dem Konfigurationsraum zu verwenden, empfiehlt sich hier die Aufteilung in Schwerpunkt und Relativkoordinaten.
	Die Gesamtmasse ist die Summe aus den beiden Einzelmassen.		Die Gesamtmasse ist die Summe aus den beiden Einzelmassen.
Zeile 22:		Zeile 22:
	(4.4)		(4.4)
	Die verallgemeinerten Koordinaten q sind damit durch 3 Komponenten aus der Schwerpunktsbewegung und die 3 Komponenten der Kugelkoordinaten der Schwerpunktbewegung festgelegt. <math>q=\left( {{R}_{1}},{{R}_{2}},{{R}_{3}},r,\vartheta ,\varphi \right)</math>		Die verallgemeinerten Koordinaten q sind damit durch 3 Komponenten aus der Schwerpunktsbewegung und die 3 Komponenten der Kugelkoordinaten der Schwerpunktbewegung festgelegt. <math>q=\left( {{R}_{1}},{{R}_{2}},{{R}_{3}},r,\vartheta ,\varphi \right)</math>
	Der Begriff der reduzierten Masse µ liegt auf der Hand , wenn man die Bewegung mit Relativkoordinaten beschreiben will.		Der Begriff der reduzierten Masse µ liegt auf der Hand, wenn man die Bewegung mit Relativkoordinaten beschreiben will.

	:<math>\mu =\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{M}</math>		:<math>\mu =\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{M}</math>

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:29:47Z

Einrückungen Mathematik

Schubotz am 15. April 2010 um 00:09 Uhr

2010-04-15T00:09:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. April 2010, 02:09 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	Da keine spezielle Orientierung des Relativkoordinatensystems vorausgesetzt war, können wir daraus die Drehimpulserhaltung für das gesamte Relativsystem folgern.		Da keine spezielle Orientierung des Relativkoordinatensystems vorausgesetzt war, können wir daraus die Drehimpulserhaltung für das gesamte Relativsystem folgern.

	[[Kategorie:~~Mechani~~]]		[[Kategorie:Mechanik]]

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „Als einfaches Bespiel soll das Zweikörperproblem besprochen werden. Leider sind hier keine Zwangsbedingungen gegeben das heißt es gibt S=2*3-0=6 Freiheitsgrade.…“

2010-04-15T00:09:37Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Als einfaches Bespiel soll das Zweikörperproblem besprochen werden. Leider sind hier keine Zwangsbedingungen gegeben das heißt es gibt S=2*3-0=6 Freiheitsgrade.…“

Neue Seite

Als einfaches Bespiel soll das Zweikörperproblem besprochen werden.
Leider sind hier keine Zwangsbedingungen gegeben das heißt es gibt S=2*3-0=6 Freiheitsgrade. Anstatt den kanonischen Isomorphismus zwischen dem Newtonschen Raum und dem Konfigurationsraum zu verwenden, empfiehlt sich hier die Aufteilung in Schwerpunkt und Relativkoordinaten.
Die Gesamtmasse ist die Summe aus den beiden Einzelmassen.

<math>M={{m}_{1}}+{{m}_{2}}</math>
(4.1)
Der Schwerpunkt, die Gewichtung der Gesamtmassen Berechnet sich über die Formel:

<math>\mathbf{R}=\frac{1}{M}\left( \sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}{{\mathbf{r}}_{i}}} \right)</math>
(4.2)
Klein r ist der Abstand der beiden Teilchen, also die Relativkoordinate.

<math>\mathbf{r}={{\mathbf{r}}_{1}}-{{\mathbf{r}}_{2}}</math>
(4.3)
Aus Gründen, die später klar werden, beschreiben r in Kugelkoordinaten.

<math>\mathbf{r}=r\left( \begin{matrix}
\sin \vartheta \cos \varphi \\
\sin \vartheta \sin \varphi \\
\cos \vartheta \\
\end{matrix} \right)</math>
(4.4)
Die verallgemeinerten Koordinaten q sind damit durch 3 Komponenten aus der Schwerpunktsbewegung und die 3 Komponenten der Kugelkoordinaten der Schwerpunktbewegung festgelegt. <math>q=\left( {{R}_{1}},{{R}_{2}},{{R}_{3}},r,\vartheta ,\varphi \right)</math>
Der Begriff der reduzierten Masse µ liegt auf der Hand , wenn man die Bewegung mit Relativkoordinaten beschreiben will.

<math>\mu =\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{M}</math>
(4.5)
Die Kinetische Energie kann nun als Summe der kinetischen Energien der Relativbewegung und der Bewegung des Schwerpunktes Betrachtet werden.

<math>T={{T}_{S}}+{{T}_{\operatorname{R}}}=\frac{1}{2}M{{\mathbf{\dot{R}}}^{2}}+\frac{1}{2}\mu {{\mathbf{\dot{r}}}^{2}}</math>
(4.6)
In Kugelkoordinaten ist berechnet sich das Betragsquadrat der Geschwindigkeit über:

<math>{{\mathbf{\dot{r}}}^{2}}={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\vartheta }}^{2}}+{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{\dot{\varphi }}^{2}}</math>
(4.7)
Als Potential nehmen wir ein Zentralpotential (etwa das Coulombpotential oder das Gravitationspotential) an, was sich proportional zu <math>\frac{1}{r}</math>verhält.

<math>V=-\frac{\alpha }{r}</math>
(4.8)
Die Lagrangefunktion lautet nun also:

<math>L\left( q,\dot{q},t \right)=\frac{1}{2}M\left( {{R}_{1}}^{2}+{{R}_{2}}^{2}+{{R}_{3}}^{2} \right)+\frac{1}{2}\mu \left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\vartheta }}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{{\dot{\varphi }}}^{2}} \right)+\frac{\alpha }{r}</math>
(4.9)
Man erkennt sofort 4 zyklische Koordinaten (<math>\mathbf{R},\varphi </math>) das sind nach dem Noethertheorem 4 Erhaltungsgrößen. Leitet man die Lagrangefunktion nach den ersten dreien ab so erhält man 3 Erhaltungsgrößen die man als den Scherpunkts oder Impulssatz zusammenfassen kann:

<math>{{\partial }_{{\mathbf{\dot{R}}}}}L=M\mathbf{\dot{R}}=\mathbf{P}</math>
(4.10)
Die Ableitung nach der 4. Zyklischen Koordinate liefert die Drehimpulserhaltung.

<math>{{p}_{\varphi }}={{\partial }_{\varphi }}L=\mu {{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta \dot{\varphi }={{L}_{z}}</math>
(4.11)
Da keine spezielle Orientierung des Relativkoordinatensystems vorausgesetzt war, können wir daraus die Drehimpulserhaltung für das gesamte Relativsystem folgern.

[[Kategorie:Mechani]]

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:29 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	Die Gesamtmasse ist die Summe aus den beiden Einzelmassen.		Die Gesamtmasse ist die Summe aus den beiden Einzelmassen.

	<math>M={{m}_{1}}+{{m}_{2}}</math>		:<math>M={{m}_{1}}+{{m}_{2}}</math>
	(4.1)		(4.1)
	Der Schwerpunkt, die Gewichtung der Gesamtmassen Berechnet sich über die Formel:		Der Schwerpunkt, die Gewichtung der Gesamtmassen Berechnet sich über die Formel:

	<math>\mathbf{R}=\frac{1}{M}\left( \sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}{{\mathbf{r}}_{i}}} \right)</math>		:<math>\mathbf{R}=\frac{1}{M}\left( \sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}{{\mathbf{r}}_{i}}} \right)</math>
	(4.2)		(4.2)
	Klein r ist der Abstand der beiden Teilchen, also die Relativkoordinate.		Klein r ist der Abstand der beiden Teilchen, also die Relativkoordinate.

	<math>\mathbf{r}={{\mathbf{r}}_{1}}-{{\mathbf{r}}_{2}}</math>		:<math>\mathbf{r}={{\mathbf{r}}_{1}}-{{\mathbf{r}}_{2}}</math>
	(4.3)		(4.3)
	Aus Gründen, die später klar werden, beschreiben r in Kugelkoordinaten.		Aus Gründen, die später klar werden, beschreiben r in Kugelkoordinaten.

	<math>\mathbf{r}=r\left( \begin{matrix}		:<math>\mathbf{r}=r\left( \begin{matrix}
	\sin \vartheta \cos \varphi \\		\sin \vartheta \cos \varphi \\
	\sin \vartheta \sin \varphi \\		\sin \vartheta \sin \varphi \\
Zeile 24:		Zeile 24:
	Der Begriff der reduzierten Masse µ liegt auf der Hand , wenn man die Bewegung mit Relativkoordinaten beschreiben will.		Der Begriff der reduzierten Masse µ liegt auf der Hand , wenn man die Bewegung mit Relativkoordinaten beschreiben will.

	<math>\mu =\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{M}</math>		:<math>\mu =\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{M}</math>
	(4.5)		(4.5)
	Die Kinetische Energie kann nun als Summe der kinetischen Energien der Relativbewegung und der Bewegung des Schwerpunktes Betrachtet werden.		Die Kinetische Energie kann nun als Summe der kinetischen Energien der Relativbewegung und der Bewegung des Schwerpunktes Betrachtet werden.

	<math>T={{T}_{S}}+{{T}_{\operatorname{R}}}=\frac{1}{2}M{{\mathbf{\dot{R}}}^{2}}+\frac{1}{2}\mu {{\mathbf{\dot{r}}}^{2}}</math>		:<math>T={{T}_{S}}+{{T}_{\operatorname{R}}}=\frac{1}{2}M{{\mathbf{\dot{R}}}^{2}}+\frac{1}{2}\mu {{\mathbf{\dot{r}}}^{2}}</math>
	(4.6)		(4.6)
	In Kugelkoordinaten ist berechnet sich das Betragsquadrat der Geschwindigkeit über:		In Kugelkoordinaten ist berechnet sich das Betragsquadrat der Geschwindigkeit über:

	<math>{{\mathbf{\dot{r}}}^{2}}={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\vartheta }}^{2}}+{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{\dot{\varphi }}^{2}}</math>		:<math>{{\mathbf{\dot{r}}}^{2}}={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\vartheta }}^{2}}+{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{\dot{\varphi }}^{2}}</math>
	(4.7)		(4.7)
	Als Potential nehmen wir ein Zentralpotential (etwa das Coulombpotential oder das Gravitationspotential) an, was sich proportional zu <math>\frac{1}{r}</math>verhält.		Als Potential nehmen wir ein Zentralpotential (etwa das Coulombpotential oder das Gravitationspotential) an, was sich proportional zu <math>\frac{1}{r}</math>verhält.

	<math>V=-\frac{\alpha }{r}</math>		:<math>V=-\frac{\alpha }{r}</math>
	(4.8)		(4.8)
	Die Lagrangefunktion lautet nun also:		Die Lagrangefunktion lautet nun also:

	<math>L\left( q,\dot{q},t \right)=\frac{1}{2}M\left( {{R}_{1}}^{2}+{{R}_{2}}^{2}+{{R}_{3}}^{2} \right)+\frac{1}{2}\mu \left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\vartheta }}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{{\dot{\varphi }}}^{2}} \right)+\frac{\alpha }{r}</math>		:<math>L\left( q,\dot{q},t \right)=\frac{1}{2}M\left( {{R}_{1}}^{2}+{{R}_{2}}^{2}+{{R}_{3}}^{2} \right)+\frac{1}{2}\mu \left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\vartheta }}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{{\dot{\varphi }}}^{2}} \right)+\frac{\alpha }{r}</math>
	(4.9)		(4.9)
	Man erkennt sofort 4 zyklische Koordinaten (<math>\mathbf{R},\varphi </math>) das sind nach dem Noethertheorem 4 Erhaltungsgrößen. Leitet man die Lagrangefunktion nach den ersten dreien ab so erhält man 3 Erhaltungsgrößen die man als den Scherpunkts oder Impulssatz zusammenfassen kann:		Man erkennt sofort 4 zyklische Koordinaten (<math>\mathbf{R},\varphi </math>) das sind nach dem Noethertheorem 4 Erhaltungsgrößen. Leitet man die Lagrangefunktion nach den ersten dreien ab so erhält man 3 Erhaltungsgrößen die man als den Scherpunkts oder Impulssatz zusammenfassen kann:

	<math>{{\partial }_{{\mathbf{\dot{R}}}}}L=M\mathbf{\dot{R}}=\mathbf{P}</math>		:<math>{{\partial }_{{\mathbf{\dot{R}}}}}L=M\mathbf{\dot{R}}=\mathbf{P}</math>
	(4.10)		(4.10)
	Die Ableitung nach der 4. Zyklischen Koordinate liefert die Drehimpulserhaltung.		Die Ableitung nach der 4. Zyklischen Koordinate liefert die Drehimpulserhaltung.

	<math>{{p}_{\varphi }}={{\partial }_{\varphi }}L=\mu {{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta \dot{\varphi }={{L}_{z}}</math>		:<math>{{p}_{\varphi }}={{\partial }_{\varphi }}L=\mu {{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta \dot{\varphi }={{L}_{z}}</math>
	(4.11)		(4.11)
	Da keine spezielle Orientierung des Relativkoordinatensystems vorausgesetzt war, können wir daraus die Drehimpulserhaltung für das gesamte Relativsystem folgern.		Da keine spezielle Orientierung des Relativkoordinatensystems vorausgesetzt war, können wir daraus die Drehimpulserhaltung für das gesamte Relativsystem folgern.

	[[Kategorie:Mechanik]]		[[Kategorie:Mechanik]]