Vektorraum

Eine Vektorraum über einem Körper(K) ist eine Menge $V_M$ zusammen mit einer inneren Verknüpfung:

$\begin{array}{rl}& +:V_M\times V_M\to V_M\\ & (v,w)\to v+w\\ \end{array}$

Und einer äußeren Verknüpfung:

$\begin{array}{rl}& \cdot :K\times V_M\to V_M\\ & (\lambda ,v)\to \lambda \cdot v\\ \end{array}$

So dass gilt: [V.1] $(V_M,+)$ ist abelsche Gruppe [V.2] $\begin{array}{c}\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in K,\mathrm{\forall }v,w\in V_M:\\ \left(\begin{array}{rl}& (\lambda +\mu )\cdot v=\lambda \cdot v+\mu \cdot v,\lambda \cdot (v+w)=\lambda \cdot v+\lambda \cdot w,\\ & \lambda \cdot (\mu \cdot v)=(\lambda \cdot \mu )\cdot v,\text{f }\ddot{\mathrm{u}}\text{ r }1\in K:1\cdot v=v\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$