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| Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht. | | Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht. |
| | | <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|5|0}}</noinclude> |
| ===Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung===
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| Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:
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| <math>\bar{H}\equiv 0</math> | |
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| Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:
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| <math>{{M}_{2}}(\bar{q},\bar{P},t)=:S</math>
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| dann suchen wir die folgende Trafo:
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| <math>\begin{align}
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| & (\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right) \\
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| & H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H+\frac{\partial S}{\partial t} \\
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| \end{align}</math>
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| mit
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| <math>\begin{align}
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| & {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\
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| & {{Q}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{P}_{k}}} \\
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| \end{align}</math>
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| So dass:
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| <math>\bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H\left( {{q}_{1}},...,{{q}_{f}},\frac{\partial S}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial S}{\partial {{q}_{f}}},t \right)+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>
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| Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte
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| <u>'''Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.'''</u>
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| Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für
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| <math>\begin{align}
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| & S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\
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| & {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\
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| \end{align}</math>
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| Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen:
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| <math>\bar{q},t</math>
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| '''Die kanonischen Gleichungen lauten:'''
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\dot{P}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{Q}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=cons \\
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| & {{{\dot{Q}}}_{k}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{Q}_{k}}={{\beta }_{k}}=const \\
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| \end{align}</math>
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| ====Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:====
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| #
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| <math>\begin{align}
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| & H(\bar{q},\bar{p},t) \\
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| & {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\
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| & H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial \bar{q}},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\quad Ham.Jac.DGL \\
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| \end{align}</math>
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| # Lösung der Ham- Jacobi-DGL:
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| <math>\begin{align}
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| & S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\
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| & {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\
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| \end{align}</math>
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| # Aus der Erzeugenden
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| <math>S(\bar{q},\bar{\alpha },t)</math>
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| folgt:
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| <math>{{Q}_{k}}=\frac{\partial S(\bar{q},\bar{\alpha },t)}{\partial {{\alpha }_{k}}}={{\beta }_{k}}</math>
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| mit der implizierten Umkehrung:
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| <math>{{q}_{j}}={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },t)</math>
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| möglich wegen
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| <math>\det \frac{{{\partial }^{2}}S(\bar{q},\bar{\alpha },t)}{\partial {{\alpha }_{k}}\partial {{q}_{l}}}\ne 0</math>
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| Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf
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| 4.
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| <math>{{p}_{j}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}={{p}_{j}}\left( \bar{q},\bar{\alpha },t \right)={{p}_{j}}\left( \bar{q}(\bar{\alpha },\bar{\beta }),\bar{\alpha },t \right)</math>
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| 5. Bestimmung von
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| <math>\bar{\alpha },\bar{\beta }</math>
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| aus den Anfangsbedingungen:
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| In drei (3.):
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| <math>{{q}_{j}}(0)={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },0)</math>
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| In vier ( 4.):
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| <math>{{p}_{j}}(0)={{p}_{j}}\left( \bar{\alpha },\bar{\beta },0 \right)</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow \bar{\alpha }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\
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| & \bar{\beta }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\
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| \end{align}</math>
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| Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit
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| <math>{{q}_{j}}(t)</math>
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| und
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| <math>{{p}_{j}}(t)</math>
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| bestimmt
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| ====Physikalische Bedeutung von S:====
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t} \\
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| & \frac{\partial S}{\partial t}=\bar{H}-H=-H \\
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| & \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}-H=L \\
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| & \Rightarrow S=\int{Ldt} \\
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| \end{align}</math>
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| S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.
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| ====Beispiel: 1 dim Oszi====
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| 1.
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| <math>\begin{align}
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| & H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}} \\
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| & S(q,P,t) \\
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| \end{align}</math>
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| H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit
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| <math>\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}=p</math>
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| Hamilton- Jacobi DGL:
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| <math>\frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>
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| 2. Lösungsansatz:
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| <math>S(q,P,t)=W(q;P)+V(t;P)</math>
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| Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter
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| <math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}</math>
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| Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:
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| <math>\frac{1}{2m}{{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}}=-\frac{dV}{dt}=\alpha \equiv const</math>
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| <math>V(t)=-\alpha t+{{V}_{0}}</math>
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| Es folgt:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}={{m}^{2}}{{\omega }^{2}}\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right) \\
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| & W=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)} \\
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| \end{align}</math>
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| Also:
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| <math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t+{{V}_{0}}</math>
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| Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:
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| <math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}+\frac{\alpha }{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \right]</math>
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| 3.
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| <math>\begin{align}
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| & Q=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha } \right)=-t+\frac{1}{\omega }\int{dq}{{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta \\
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| & Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \\
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| & \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (t+\beta ) \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) !
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| 4.
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| <math>p=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)=\frac{dW}{dq}=m\omega \sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (t+\beta ) \right)</math>
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| 5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0 ! | |
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| <math>p(0)=0,q(0)={{q}_{0}}\ne 0</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow {{q}_{0}}=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (\beta ) \right) \\
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| & 0={{p}_{0}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (\beta ) \right) \\
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| & \Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2\omega }\Rightarrow {{q}_{0}}=\sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}} \\
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| & \Rightarrow \alpha =\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}_{0}}^{2}=E \\
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| \end{align}</math>
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| Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.
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| Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch
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| <math>S(q,P,t)</math>
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| erzeugt wird.
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| '''Spezialfall:'''
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| Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H
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| <math>\frac{\partial H}{\partial t}=0\Leftrightarrow \frac{dH}{dt}=\left\{ H,H \right\}=0</math>
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| H ist dann Integral der Bewegung
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| Hamilton- Jacobi DGL:
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| <math>H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial S}{\partial {{q}_{f}}})+\frac{\partial S}{\partial t}=0</math>
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| Lösungsansatz:
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| <math>S(\bar{q},\bar{P},t)=W(\bar{q};\bar{P})-Et</math>
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| Somit folgt:
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| <math>H(\bar{q},\frac{\partial W}{\partial {{q}_{1}}},...,\frac{\partial W}{\partial {{q}_{f}}})=E</math>
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| Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen
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| <math>W(\bar{q};\bar{P})</math>
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| heißt verkürztes Wirkungsfunktional
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| Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo ( im engeren Sinn) aufgefasst werden:
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| <math>\begin{align}
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| & {{p}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{q}_{j}}} \\
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| & {{Q}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\
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| & \bar{H}=H=E \\
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| & \Rightarrow {{{\dot{Q}}}_{j}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{j}}}=\frac{\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\
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| \end{align}</math>
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| ====Bezug zur Quantenmechanik====
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| * Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial
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| <math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{3}}</math>
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| , gilt auch für
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| <math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{f}}</math>
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| *
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| <math>W(\bar{q})=const</math>
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| sind dann Flächen im R³:
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| Dabei sind
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| <math>S(\bar{q},t)=W(\bar{q})-Et</math>
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| Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit
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| <math>\bar{u}\approx \nabla W(\bar{q})</math>
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| mit
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| <math>\bar{u}\bot W(\bar{q})=const</math>
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| Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:
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| <math>\bar{p}=\nabla W(\bar{q})</math>
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| Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p ( Welle- Teilchen- Dualismus).
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| In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:
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| <math>H(\bar{q},\nabla W)=\frac{1}{2m}{{\left( \nabla W(\bar{q}) \right)}^{2}}+V(\bar{q})=E</math>
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| Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik ( Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen ( gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie
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| Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:
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| <math>\left( \frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta +V(\bar{r}) \right)\Psi (\bar{r})=E\Psi (\bar{r})</math>
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| links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung.
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| <math>\Psi (\bar{r})={{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}</math>
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| als Wellenfunktion
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| Unsere Koordinatentrafo lautet:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{q}\to \bar{r} \\
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| & \bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla \\
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| \end{align}</math>
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| Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:
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| <math>\Delta {{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}=\nabla \frac{i}{\hbar }\left( \nabla W{{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}} \right)\cong -\frac{1}{{{\hbar }^{2}}}{{\left( \nabla W \right)}^{2}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}</math>
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| ====Veranschaulichung der Zusammenhänge:====
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| Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.
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| führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein ( optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik ( Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.
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| ===Wirkungs- und Winkelvariable===
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| Nun betrachten wir eine Modifikation des Hamilton- Jacobi- Verfahrens. Dabei geht es speziell um periodische Systeme. Das Ganze soll an einem Beispiel skizziert werden und erst dann Verallgemeinerung finden.
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| Klassifikation von periodischem Verhalten:
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| * geschlossene Phasenraumkurvn welcher Art auch immer sind Librationen. Diese sind beispielsweise Schwingungen.
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| * dabei gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & q(t+\tau )=q(t) \\
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| & p(t+\tau )=p(t) \\
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| \end{align}</math>
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| * periodische ( hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen ( dies sind nicht Schwingungen im ortsraum !) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt:
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| *
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| <math>\begin{align}
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| & q(t+\tau )=q(t)+{{q}_{0}} \\
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| & p(t+\tau )=p(t) \\
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| \end{align}</math>
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| * Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse:
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| <math>\begin{align}
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| & q(t)=\phi \\
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| & {{q}_{0}}=2\pi \\
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| \end{align}</math>
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| ====Beispiel: Das mathematische Pendel ( mit beliebig großen Auslenkungen)====
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| '''f= 1, verallgemeinerte Koordinate: Winkel '''
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| <math>\phi </math>
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| ., s=
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| <math>\phi </math>
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| l
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| <math>\begin{align}
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| & T=\frac{1}{2}m{{l}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \\
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| & V=mgl(1-\cos \phi ) \\
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| \end{align}</math>
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| verallgemeinerter kanonischer Impuls:
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| <math>\begin{align}
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| & {{p}_{\phi }}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi }}=m{{l}^{2}}\dot{\phi } \\
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| & H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ) \\
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| \end{align}</math>
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| für ein konservatives System
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| Es folgen die Hamiltonschen Gleichungen:
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| <math>\begin{align}
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| & \dot{\phi }=\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{l}^{2}}} \\
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| & {{{\dot{p}}}_{\phi }}=-\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial \phi }=-mgl\sin \phi \\
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| \end{align}</math>
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| # Integral ( Enrgieerhaltung): Phasenbahn
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| <math>H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi )=E=const.</math>
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| Für kleine Winkel gilt die bekannte Kleinwinkelnäherung:
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| <math>\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl\frac{{{\phi }^{2}}}{2}=E=const.</math>
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| -> Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt.
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| Gleichgewichtslagen: Fixpunkte:
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| <math>\begin{align}
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| & \dot{\phi }={{{\dot{p}}}_{\phi }}=0 \\
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| & {{p}_{\phi }}=0 \\
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| & \phi =n\pi ,n\in N \\
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| \end{align}</math>
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| #
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| <math>E\le 2mgl</math>
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| Libration: Schwingung mit
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| <math>\left| \phi \right|\le {{\phi }_{0}}</math>
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| #
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| <math>E>2mgl</math>
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| Rotation: überschlagendes Pendel:
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| <math>\phi </math>
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| unbeschränkt
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| Für E=2mgl haben wir den Spezialfall einer Kriechbahn ( Separatrix zwischen a) und b):
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| <u>'''Übergang zu neuen kanonischen Variablen ( f=1)'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\
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| & I(E):=\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\
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| \end{align}</math>
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| I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn
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| <math>{{\Gamma }_{E}}</math>
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| zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. ( = Phasenintegral).
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| <math>\theta </math>
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| ist die Winkelvariable, auf Periode 1 normiert.
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| Gelegentlich findet sich:
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| <math>\begin{align}
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| & \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\
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| & I(E):=\frac{1}{2\pi }\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\
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| \end{align}</math>
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| In diesem Fall ist
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| <math>\theta </math>
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| auf
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| <math>2\pi </math>
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| normiert.
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| gesucht ist die zugehörige kanonische Transformation:
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| <math>\begin{align}
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| & p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \\
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| & \theta =\frac{\partial W(q,I)}{\partial I} \\
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| \end{align}</math>
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| Mit der neuen Hamiltonfunktion:
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| <math>H\left( q,\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \right)=E(I)</math>
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| Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn
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| <math>\frac{dI}{dE}\ne 0</math>
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| .
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| Da
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| <math>\theta </math>
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| zyklisch ist muss I konstant sein.
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| Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für
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| <math>\theta </math>
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| lautet:
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| <math>\begin{align}
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| & \dot{\theta }=\frac{\partial E(I)}{\partial I}:={{\nu }_{I}}=const. \\
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| & \theta ={{\nu }_{I}}t+{{\theta }_{0}}\quad \bmod \quad 1 \\
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| & I=const \\
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| \end{align}</math>
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| Die Lösung für
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| <math>\theta </math>
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| ist bei Normierung auf
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| <math>2\pi </math>
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| natürlich modulo
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| <math>2\pi </math>
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| zu verstehen.
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| Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz
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| <math>{{\nu }_{I}}</math>
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| berechnet.
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| Das Phasenraumportrait ist der folgenden gestalt:
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| ====Beispiel: eindimensionaler Oszillator====
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| <math>H\left( q,p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \right)=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}=E(I)</math>
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| '''Phasenbahn:'''
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| <math>\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}=p=\pm m\omega \sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}</math>
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| Umkehrpunkte:
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| <math>{{q}_{\pm }}=\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}</math>
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| '''Wirkungsvariable:'''
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| <math>\begin{align}
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| & I(E)=\oint{pdq}=2m\omega \int\limits_{{{q}_{-}}}^{{{q}_{+}}}{{}}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}dq \\
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| & I(E)=2m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}+\frac{E}{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}} \right]_{q+}^{q-}=\frac{2\pi }{\omega }E \\
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| \end{align}</math>
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| '''Transformierte Hamiltonfunktion:'''
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{H}=E=\frac{\omega }{2\pi }I \\
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| & \dot{\theta }=\frac{\partial E}{\partial I}=\frac{\omega }{2\pi }:={{\nu }_{I}} \\
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| \end{align}</math>
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| Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)
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| '''Nebenbemerkungen:'''
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| 1.
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| <math>I=\frac{2\pi }{\omega }E=\tau E</math>
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| hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung
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| #
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| <math>\theta </math>
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| ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum ! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum ( des Pendels Phi) zu tun
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| Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.
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| * die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 ( Kreis mit Radius 1) abgebildet.
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| <u>'''Verallgemeinerung auf beliebiges f:'''</u>
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| Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz
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| <math>{{\omega }_{j}}=\frac{2\pi }{{{\tau }_{j}}}</math>
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| ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls !
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| Falls:
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| <math>{{\omega }_{1}}:{{\omega }_{2}}:{{\omega }_{3}}:...:{{\omega }_{f}}</math>
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| rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.
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| Falls:
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| <math>\exists i,j\to {{\omega }_{i}}:{{\omega }_{j}}</math>
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| irrational -> offene Bahn ( quasiperiodisch).
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| Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable
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| <math>{{\theta }_{j}}</math>
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| zu
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| <math>{{\omega }_{j}}</math>
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| :
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| Abbildung auf
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| <math>{{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times ...\times {{S}^{1}}=:{{T}^{f}}</math>
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| (f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus
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| Beispiel: 2Torus:
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| Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus !
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| ====Satz über integrable Systeme====
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| Einautonomes System ( Hamiltonsch) habe f unabhängige Integrale der Bewegung
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| <math>{{g}_{k}}(\bar{q},\bar{p})</math>
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| k=1,...,f
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| mit
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| <math>{{g}_{1}}(\bar{q},\bar{p})=H(\bar{q},\bar{p})</math>
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| Energie und
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| <math>\left\{ {{g}_{i}},{{g}_{j}} \right\}=0\quad \forall i,j</math>
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| Dann gilt:
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| # die durch
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| <math>{{g}_{k}}(\bar{q},\bar{p})={{\alpha }_{k}}=const</math>
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| gegebene Hyperfläche des Phasenraums ( falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus
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| <math>{{T}^{f}}</math>
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| abbilden.
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| # die Allgemeine Bewegung auf
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| <math>{{T}^{f}}</math>
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| ist quasiperiodisch:
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| <math>\frac{d{{\theta }_{i}}}{dt}={{\omega }_{i}}</math>
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| ,
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| <math>{{\theta }_{i}}</math>
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| ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f
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| # das System ist INTEGRABEL, das heißt, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich vollständig und global integrieren.
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| <u>'''Beispiele: '''</u>2- Körper- Problem mit Zentralkraft, gekoppelte harmonische Oszillatoren
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| '''Gegenbeispiel: '''3- Körperproblem mit Zentralkraft (f=9, nur 6 unabhängige Integrale der Bewegung:
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| <math>E,{{\bar{P}}_{gesamt}},{{l}^{2}},{{l}_{3}}</math>
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| Nebenbemerkung:
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| Wegen
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| <math>\left\{ {{l}_{3}},{{l}_{1}} \right\}={{l}_{3}}</math>
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| und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung
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| <math>\left\{ {{g}_{i}},{{g}_{j}} \right\}=0</math>
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| obgleich gilt:
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| <math>\left\{ {{l}_{i}},H \right\}=0</math>
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| .
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| Wirkunsgvariable:
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| <math>{{I}_{k}}({{\alpha }_{1}},...,{{\alpha }_{f}}):=\oint\limits_{{{\Gamma }_{k}}}{{{p}_{k}}d{{q}_{k}}\quad (k=1,..,f)}</math>
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| Für ein separables System gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & W=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{W}_{j}}({{q}_{j}},\bar{\alpha })} \\
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| & {{p}_{k}}=\frac{d{{W}_{k}}}{d{{q}_{k}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Die Umkehrung liefert die Energie:
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| <math>E\equiv {{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{1}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
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| Die Hamiltongleichungen lauten:
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| <math>\begin{align}
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| & \dot{\theta }=\frac{\partial E({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})}{\partial {{I}_{k}}}={{\nu }_{k}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}}) \\
| |
| & \Rightarrow {{\theta }_{k}}={{\nu }_{k}}t+{{\beta }_{k}} \\
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| & {{\nu }_{k}}=\frac{1}{{{\tau }_{k}}} \\
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| \end{align}</math>
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| <u>'''Fazit:'''</u>
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| Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen
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| <math>{{\nu }_{k}}</math>
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| periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen.
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| ===Störungen integrabler Systeme===
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| Betrachte ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen
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| <math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
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| und der Winkelvariablen
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| <math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math>
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| , Hamiltonfunktion
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| <math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>
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| Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke
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| <math>\varepsilon </math>
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| :
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| <math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>
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| In diesem Fall ist
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| <math>\theta </math>
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| nicht mehr zyklisch.
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| <math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math>
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| ist also keine Bewegungskonstante mehr !
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| ====Beispiel:====
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| Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem
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| System: Sonne, Erde, Mond
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| * integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
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| * Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?
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| Also:
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| Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.
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| Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?
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| * Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto !
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| Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)
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| * Stabilitätsaussagen
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| <u>'''Voraussetzung:'''</u>
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| Die Frequenzen des integrablen Systems
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| <math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math>
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| sind rational unabhängig, also:
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| <math>\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}</math>
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| Dann überdeckt jede Bahn für festes
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| <math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math>
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| den Torus
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| <math>{{T}^{f}}</math>
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| dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.
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| '''ERGODISCHE Bewegung '''( nichtresonanter Torus)
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| ====KAM- Theorem====
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| Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt
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| <math>\left| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right|\ge \gamma {{\left| {\bar{r}} \right|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0</math>
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| So hat das gestörte System
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| <math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math>
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| für kleine
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| <math>\varepsilon </math>
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| überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von
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| <math>{{H}_{0}}</math>
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| werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.
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| <u>'''Anwendung:'''</u>
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| Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems !
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| Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:
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| * störungstheoretische Entwicklung in
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| <math>\varepsilon </math>
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| * Mittelung über die Störungen
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| [[Kategorie:Mechanik]]
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