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| | <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|3|0}}</noinclude> |
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| ==Kontinuierliche Symmetrien und Erhaltungssätze==
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| Betrachte kontinuierliche Transformationen, unter denen das physikalische System invariant ist.
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| In diesem Fall gibt es zu jeder kontinuierlichen Invarianz gegen infinitesimale Transformationen eine Erhaltungsgröße I ( Integral der Bewegung oder auch Konstante der Bewegung), das heißt, in diesem Fall gilt:
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| <math>\frac{dI}{dt}=0</math> | |
| entlang der Bahn der angenommenen Bewegung ( längs der Bahn).
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| Dies ist die allgemeine Aussage des Theorems von Emmy Noether
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| ===Das Noether Theorem===
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| Voraussetzung: '''Autonomes''', das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und einer Lagrangefunktion
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| <math>L({{q}_{1}},...,{{\dot{q}}_{1}},...,t)</math>
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| '''Theorem ( E.Noether, 1882-1935)'''
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| Die Lagrangefunktion
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| <math>L({{q}_{1}},...,{{\dot{q}}_{1}},...,t)</math>
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| eines autonomen Systems sei unter der Transformation
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| <math>\bar{q}\to {{h}^{s}}(\bar{q})</math>
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| invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und
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| <math>{{h}^{s=0}}(\bar{q})=\bar{q}</math>
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| die Identität.
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| Dann gibt es ein Integral der Bewegung
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| <math>I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}}}</math>
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| <u>'''Beweis:'''</u>
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| Sei
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| <math>\bar{q}=\bar{q}(t)</math>
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| eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch
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| <math>\bar{q}(s,t):={{h}^{s}}(\bar{q},t)</math>
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| Lösung, das heißt:
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| <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{q}_{i}}}</math>
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| Invarianz der Lagrangefunktion für beliebige s:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0 \\
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| & \Rightarrow \frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}} \right)=}\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\frac{d}{dt}{{\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)} \\
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| \end{align}</math>
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| Mit
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}} \\
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| & \frac{d}{dt}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)=\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| und mit Hilfe von
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| <math>\frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0</math>
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| folgt dann:
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| <math>\frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\frac{d}{ds}L=0</math>
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| ===Räumliche Translationsinvarianz===
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| Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:
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| <math>L=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})}</math>
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| Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:
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| <math>{{h}^{s}}:{{\bar{r}}_{i}}{{\to }_{{}}}{{\bar{r}}_{i}}+s{{\bar{e}}_{x}}\quad i=1,..,N</math>
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| Der Parameter s ist dabei beliebig.
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| Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:
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| <math>\begin{align}
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| & L({{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}),{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}})=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}}+s{{{\bar{e}}}_{x}},...,{{{\bar{r}}}_{N}}+s{{{\bar{e}}}_{x}})}=L({{{\bar{r}}}_{i}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}})\ Forderung! \\
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| & \frac{dL}{ds}=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\left( {{\nabla }_{ri}}\cdot {{{\bar{e}}}_{x}} \right)}V=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}}V=0\quad Forderung! \\
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| \end{align}</math>
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| Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben !
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| Für die Transformation gilt:
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| <math>{{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{r}}_{i}}+s{{\bar{e}}_{x}}\quad i=1,..,N</math>
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| <math>{{h}^{s=0}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{r}}_{i}}</math>
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| (Identität)
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| <math>\frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})={{\bar{e}}_{x}}</math>
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| Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:
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| <math>I=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{\dot{r}i}}L\frac{d{{h}^{s}}}{ds}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}}}\cdot {{\bar{e}}_{x}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{x}}}_{i}}}={{P}_{x}}</math>
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| Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.
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| Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.
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| '''Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:'''
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| Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:
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| Nun gilt die Transformation:
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| <math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)={{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}+\Delta {{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>
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| mit
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| <math>{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}}</math>
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| als Schwerpunktskoordinate und
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| <math>\Delta {{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>
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| als Relativpositionen.
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| Es folgt:
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| <math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{e}}_{x}}</math>
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| <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{e}}_{x}}</math>
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| wegen
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| <math>{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}^{{}}{{}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}{{\bar{r}}_{i}}{{\dot{q}}_{k}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>
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| <u>'''Invarianz Erhaltungssatz'''</u>
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| <math>{{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0</math>
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| äquivalent zum Erhaltungssatz
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| <math>\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const</math>
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| Allgemein heißt
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| <math>\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}={{p}_{j}}</math>
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| der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.
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| Falls gilt dass
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| <math>{{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0</math>
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| , wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine '''zyklische '''Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine '''Erhaltungsgröße '''.
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| Hier:
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| <math>\begin{align}
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| & {{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}(T-V)=\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}\left( \sum\limits_{i}{\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}} \right)=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}} \\
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| & mit\quad \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}} \\
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| & {{p}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}{{{\bar{e}}}_{x}}}={{P}_{x}} \\
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| \end{align}</math>
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| =====Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte=====
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| <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}}</math>
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| Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung ( Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:
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| <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}-\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{e}}}_{x}}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}}=0</math>
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| '''Invarianz sagt'''
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| <math>\frac{\partial T}{\partial {{q}_{1}}}={{Q}_{1}}=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0\Leftrightarrow {{P}_{x}}=\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const</math>
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| Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte ( Falls Q1 konservative Kraft ist)
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| <math>{{Q}_{1}}=0\Rightarrow \frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}V({{\bar{r}}_{1}}+{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}},...,{{\bar{r}}_{N}}+{{q}_{1}}{{\bar{e}}_{x}})=\sum\limits_{i}{{{\nabla }_{ri}}}V\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}\left( {{q}_{1}}{{{\bar{e}}}_{x}} \right)={{\bar{e}}_{x}}\sum\limits_{i}{{{\nabla }_{ri}}}V=-{{\bar{e}}_{x}}\sum\limits_{i}{{{{\bar{X}}}_{i}}=0}</math>
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| <u>'''Beispiel: '''</u> ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)
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| Das Potenzial hänge nicht von x ab:
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| <math>{{\frac{\partial L}{\partial x}}_{{}}}=0</math>
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| Daraus folgt:
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| <math>{{\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}}_{{}}}=m\dot{x}={{P}_{x}}=const</math>
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| In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:
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| <math>I(\bar{r},\dot{\bar{r}})=\frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}\cdot {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}={{P}_{x}}=const</math>
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| wegen
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{\partial L}{\partial \dot{\bar{r}}}={{\nabla }_{{\dot{r}}}}L \\
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| & {{\frac{d{{h}^{s}}}{ds}}_{{}}}={{{\bar{e}}}_{x}} \\
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| \end{align}</math>
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| =====Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung=====
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| <math>V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}})=V({{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}})</math>
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| Das Potenzial kann auch anisotrop sein.
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| Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.
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| Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:
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| <math>\begin{align}
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| & L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}}) \\
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| & L({{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right),{{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right),{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V(\left( {{{\bar{r}}}_{1}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right)-\left( {{{\bar{r}}}_{2}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right))=L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}) \\
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| \end{align}</math>
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| für alle i = x,y,z
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| Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:
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| <math>\begin{align}
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| & {{I}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{x}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{x}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{x}}}_{2}}={{P}_{x}}=const \\
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| & {{I}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{y}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{y}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{y}}}_{2}}={{P}_{y}}=const \\
| |
| & {{I}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{z}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{z}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{z}}}_{2}}={{P}_{z}}=const \\
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| \end{align}</math>
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| Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:
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| <math>M\dot{\bar{R}}={{\bar{P}}_{{}}}=const</math>
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| Mit den Schwerpunktskoordinaten
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| <math>\bar{R}:=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}}</math>
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| Und der Gesamtmasse
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| <math>M:=\sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}}</math>
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| ===Räumliche Isotropie===
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| Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen
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| Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel
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| <math>\phi =s</math>
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| um die z- Achse.
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| An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:
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| <math>{{h}^{s}}:{{\bar{r}}_{i}}=({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\to {{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }=(x{{\acute{\ }}_{i}},y{{\acute{\ }}_{i}},z{{\acute{\ }}_{i}})</math>
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| Dabei gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & {{x}_{i}}\acute{\ }={{x}_{i}}\cos s+{{y}_{i}}\sin s \\
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| & {{y}_{i}}\acute{\ }={{y}_{i}}\cos s-{{x}_{i}}\sin s \\
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| & {{z}_{i}}\acute{\ }={{z}_{i}} \\
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| \end{align}</math>
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| <u>'''Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:'''</u>
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| Betrachten wir infinitesimale Transformationen ( Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln
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| <math>\delta \phi =\delta s</math>
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| <math>\left( \begin{matrix}
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| {{x}_{i}}\acute{\ } \\
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| {{y}_{i}}\acute{\ } \\
| |
| {{z}_{i}}\acute{\ } \\
| |
| \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| \cos s & \sin s & 0 \\
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| -\sin s & \cos s & 0 \\
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| 0 & 0 & 1 \\
| |
| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
| |
| {{x}_{i}} \\
| |
| {{y}_{i}} \\
| |
| {{z}_{i}} \\
| |
| \end{matrix} \right)\approx \left[ \left( \begin{matrix}
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| 1 & 0 & 0 \\
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| 0 & 1 & 0 \\
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| 0 & 0 & 1 \\
| |
| \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & s & 0 \\
| |
| -s & 0 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right) \right]\left( \begin{matrix}
| |
| {{x}_{i}} \\
| |
| {{y}_{i}} \\
| |
| {{z}_{i}} \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
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| Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben
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| <math>\left( \begin{matrix}
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| 0 & s & 0 \\
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| -s & 0 & 0 \\
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| 0 & 0 & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right)=-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math>
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| Mit
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| <math>{{\bar{\bar{J}}}_{z}}</math>
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| als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.
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| Somit folgt:
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| <math>\left( \begin{matrix}
| |
| {{x}_{i}}\acute{\ } \\
| |
| {{y}_{i}}\acute{\ } \\
| |
| {{z}_{i}}\acute{\ } \\
| |
| \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| {{x}_{i}} \\
| |
| {{y}_{i}} \\
| |
| {{z}_{i}} \\
| |
| \end{matrix} \right)+s\left( \begin{matrix}
| |
| {{y}_{i}} \\
| |
| -{{x}_{i}} \\
| |
| 0 \\
| |
| \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| {{x}_{i}} \\
| |
| {{y}_{i}} \\
| |
| {{z}_{i}} \\
| |
| \end{matrix} \right)+s\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)</math>
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| Formal schreibt man:
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| <math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})\left| _{s=0} \right.+s{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}+O({{s}^{2}})</math>
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| | |
| mit
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| <math>{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math>
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| =====Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion=====
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| <math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}}</math>
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| ist rotationsinvariant, da nur von
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| <math>\left| {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right|</math>
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| abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.
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| ( Drehungen sind orthogonale Transformationen).
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| <math>{{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-\sum\limits_{i=1}^{N}{\left( {{\nabla }_{ri\acute{\ }}}V \right){{\left( \frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}\acute{\ }}{ds} \right)}_{s=0}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\bar{F}}}_{i}}({{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}})}}</math>
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| | |
| wegen:
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| <math>\begin{align}
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| & \left( {{\nabla }_{ri\acute{\ }}}V \right)=-{{{\bar{F}}}_{i}} \\
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| & {{\left( \frac{d{{{\bar{r}}}_{i}}\acute{\ }}{ds} \right)}_{s=0}}={{\left( \frac{d{{h}^{s}}}{ds} \right)}_{s=0}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:
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| <math>{{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}={{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{F}}}_{i}}\times {{{\bar{r}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math>
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| Mit
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| <math>\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}</math>
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| als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:
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| <math>-{{\bar{e}}_{z}}\cdot \sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{F}}}_{i}} \right)}={{\left( \frac{\partial L}{\partial s} \right)}_{s=0}}=-{{\left( \frac{\partial V}{\partial s} \right)}_{s=0}}=0</math>
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| '''Interpretation nach dem Noetherschen Theorem'''
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| <math>I(\bar{r},\dot{\bar{r}})=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}}\cdot {{\left( \frac{d{{h}^{s}}}{ds} \right)}_{s=0}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\cdot \left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{\bar{e}}_{z}}\bar{l}=-{{l}_{z}}</math>
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| Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung
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| '''Andere Betrachtungsweise'''
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| Wähle
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| <math>{{q}_{1}}=\phi =s</math>
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| als verallgemeinerte Koordinate
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| Trafo:
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| <math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}(\phi ,{{q}_{2}},...,{{q}_{f}},t)</math>
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| mit
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| <math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}={{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{{\bar{r}}}_{i}}) \right)}_{s=0}}={{\bar{r}}_{i}}\times {{\bar{e}}_{z}}</math>
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| Für infinitesimale Drehung um z-Achse.
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| <u>'''Invarianz Erhaltungssätze'''</u>
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| <math>{{\frac{\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{{}}}=0\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=0</math>
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| äquivalent zum Erhaltungssatz
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| <math>{{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=const</math>
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| Der Winkel ist also eine zyklische Variable.
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| Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu
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| <math>{{q}_{1}}=\phi =s</math>
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| , so ergibt sich:
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| <math>{{p}_{1}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{z}} \right)}}=-{{\bar{e}}_{z}}\sum\limits_{i}{\left( {{{\bar{r}}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}} \right)}=-{{l}_{z}}</math>
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| wegen
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| <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{1}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}{{\bar{r}}_{i}}\ da{{\ }_{{}}}{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{k}{\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial t}</math>
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| Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.
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| Nebenbedingung:
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| Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit
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| <math>\tilde{\phi }=-\phi </math>
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| .
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| Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz
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| '''Beispiel:'''
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| N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:
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| <math>V({{\bar{r}}_{1}},...,{{\bar{r}}_{N}})=V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)</math>
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| mit
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| <math>{{r}_{ij}}=\left| {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right|</math>
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| Rotationsinvarianz gegen Drehung um '''alle '''Achsen:
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| <math>\frac{\partial V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)}{\partial \phi }=\sum\limits_{i,j}{\frac{\partial V}{\partial {{r}_{ij}}}\cdot \frac{\partial }{\partial \phi }{{r}_{ij}}=0}</math>
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| für beliebige Achsen, da
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{\partial }{\partial \phi }{{r}_{ij}}=\frac{\partial }{\partial \phi }{{\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \right]}^{1/2}}=\frac{1}{{{r}_{ij}}}\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\frac{\partial }{\partial \phi }\left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left( \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}-\frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \\
| |
| & \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{r}}}_{i}}\times {{{\bar{e}}}_{k}} \\
| |
| & \Rightarrow \frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left( \frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{i}}-\frac{\partial }{\partial \phi }{{{\bar{r}}}_{j}} \right)=\frac{{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\times {{{\bar{e}}}_{k}} \right]=\frac{1}{{{r}_{ij}}}{{{\bar{e}}}_{k}}\left[ \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right)\times \left( {{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}} \right) \right]=0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Also ist der resultierende Drehimpuls
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| <math>\bar{l}</math>
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| eine Erhaltungsgröße
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| <u>'''Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse'''</u>
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| Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:
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| <math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{h}^{s}}({{\bar{r}}_{i}})=(\bar{\bar{1}}-s{{\bar{\bar{J}}}_{z}}){{\bar{r}}_{i}}</math>
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| | |
| Mit der Erzeugenden
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| <math>{{\bar{\bar{J}}}_{z}}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & -1 & 0 \\
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| 1 & 0 & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
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| Bei einer Drehung um den endlichen Winkel
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| <math>\phi </math>
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| gilt:
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| <math>{{\bar{r}}_{i}}\acute{\ }={{\bar{\bar{R}}}_{z}}(\phi ){{\bar{r}}_{i}}=\left( \begin{matrix}
| |
| \cos \phi & \sin \phi & 0 \\
| |
| -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\
| |
| 0 & 0 & 1 \\
| |
| \end{matrix} \right){{\bar{r}}_{i}}</math>
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| Es gilt:
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| <math>{{\bar{\bar{R}}}_{z}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)</math>
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| mit Definition
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| <math>\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right):=\bar{\bar{1}}+\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)+\frac{1}{2}{{\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)}^{2}}+...+\frac{1}{k!}{{\left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}}\phi \right)}^{k}}</math>
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| '''Beweis:'''
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| '''Für'''
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{\bar{M}}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & -1 \\
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| 1 & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right)\Rightarrow {{{\bar{\bar{M}}}}^{2}}=-\bar{\bar{1}},{{{\bar{\bar{M}}}}^{3}}=-\bar{\bar{M}},{{{\bar{\bar{M}}}}^{4}}=\bar{\bar{1}} \\
| |
| & {{{\bar{\bar{M}}}}^{2n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\bar{\bar{1}} \\
| |
| & {{{\bar{\bar{M}}}}^{(2n+1)}}={{\left( -1 \right)}^{n}}\bar{\bar{M}} \\
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| \end{align}</math>
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| Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:
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| <math>\begin{align}
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| & \left( \begin{matrix}
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| \cos \phi & \sin \phi \\
| |
| -\sin \phi & \cos \phi \\
| |
| \end{matrix} \right)=\bar{\bar{1}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\left( 2n \right)!}{{\phi }^{2n}}-\bar{\bar{M}}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{\left( 2n+1 \right)!}{{\phi }^{2n+1}}} \\
| |
| & =\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{\left( 2n \right)!}{{{\bar{\bar{M}}}}^{2n}}{{\phi }^{2n}}-\bar{\bar{M}}}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{\left( 2n+1 \right)!}{{{\bar{\bar{M}}}}^{2n+1}}{{\phi }^{2n+1}}} \\
| |
| & =\exp \left( -\bar{\bar{M}}\phi \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse
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| Erzeugende:
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| <math>{{\bar{\bar{J}}}_{x}}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & 0 & 0 \\
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| 0 & 0 & -1 \\
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| 0 & 1 & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
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| | |
| Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
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| <math>{{\bar{\bar{R}}}_{x}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{x}}\phi \right)</math>
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| Bei der y- Achse gilt:
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| Erzeugende:
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| <math>{{\bar{\bar{J}}}_{y}}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & 0 & 1 \\
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| 0 & 0 & 0 \\
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| -1 & 0 & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
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| | |
| Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
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| <math>{{\bar{\bar{R}}}_{y}}(\phi )=\exp \left( -{{{\bar{\bar{J}}}}_{y}}\phi \right)</math>
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| Beliebige Drehungen um den Winkel
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| <math>\phi </math>
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| mit der Drehachse
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| <math>\bar{n}</math>
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| :
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| <math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math>
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| | |
| mit
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| <math>\bar{\phi }:=\phi \bar{n}</math>
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| | |
| Die Drehmatrizen
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| <math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math>
| |
| bilden nun eine 3- parametrige
| |
| <math>\left( {{\phi }_{1}},{{\phi }_{2}},{{\phi }_{3}} \right)</math>
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| , stetige, diffbare
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| <math>\left( in\phi \right)</math>
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| und orthogonale Gruppe.
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| Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen
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| SO(3)
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| <math>SO\left( 3 \right)=\left\{ \bar{\bar{R}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left| {{{\bar{\bar{R}}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1\left| \det \bar{\bar{R}}=1 \right. \right. \right\}</math>
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| | |
| Mit
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| <math>{{\bar{\bar{R}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1</math>
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| als Orthogonalitätsbedingung, so dass
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| <math>|\bar{r}\acute{\ }|=|\bar{r}|</math>
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| und
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| <math>\det \bar{\bar{R}}=1</math>
| |
| zum Ausschluß von Raumspiegelungen.
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| | |
| Die Erzeugenden
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| <math>{{\bar{\bar{J}}}_{i}}</math>
| |
| der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):
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| <math>\left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{i}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{k}} \right]={{\bar{\bar{J}}}_{i}}{{\bar{\bar{J}}}_{k}}-{{\bar{\bar{J}}}_{k}}{{\bar{\bar{J}}}_{i}}</math>
| |
| i,k=x,y,z
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| Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab !:
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| <math>\begin{align}
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| & \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{x}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{y}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{z}} \\
| |
| & \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{z}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{x}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{y}} \\
| |
| & \left[ {{{\bar{\bar{J}}}}_{y}},{{{\bar{\bar{J}}}}_{z}} \right]={{{\bar{\bar{J}}}}_{x}} \\
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| \end{align}</math>
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| -> zyklische Permutation des Lieschen Produktes
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| ===Zeitliche Translationsinvarianz===
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| Die Zeit spielt in der klassischen Mechanik im Ggstz zur relativistischen Mechanik gegenüber dem Ort eine Sonderrolle.
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| Deshalb ist eine direkte Anwendung des Noether- Theorems nicht moeglich.
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| <u>'''Zeitliche Translationsinvarianz ist erfüllt, falls:'''</u>
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| # die Zwangsbedingungen die Zeit t nicht explizit enthalten:
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{r}}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}}) \\
| |
| & \frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}}=0\Rightarrow {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{j}^{{}}{\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}}{{{\dot{q}}}_{j}}_{{}}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Dabei ist
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| <math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}</math>
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| Funktion von q1...qf
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| #
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| <math>\frac{\partial }{\partial t}L=0</math>
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| # Nebenbedingung: Aus der Existenz eines Potenzials der eingeprägten Kräfte folgt '''NICHT '''automatisch die Erhaltung der Energie, da die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten könnten.
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| Wenn die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten, so ist die Energie nicht enthalten.
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| <math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>
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| <u>'''Kinetische Energie:'''</u>
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| <math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}^{{}}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}^{{}}{{{T}_{jk}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}}</math>
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| Mit
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| <math>{{T}_{jk}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}} \right)}</math>
| |
| ist abhängig von den q1...qf im Gegensatz zum Fall der kleinen Schwingungen, der eingangs behandelt wurde.
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| T ist eine homogene quadratische Funktion der
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| <math>{{\dot{q}}_{1}}...{{\dot{q}}_{f}}</math>
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| Also
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| <math>T\left( \lambda {{{\dot{q}}}_{1}},...,\lambda {{{\dot{q}}}_{f}} \right)={{\lambda }^{2}}T\left( {{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}} \right)</math>
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| Nach
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| <math>\lambda </math>
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| wird partiell abgelitten, dann wird
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| <math>\lambda =1</math>
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| gesetzt.
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| <math>\begin{align}
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| & \sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial T}{\partial \left( \lambda {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right)\left( \frac{\partial \left( \lambda {{{\dot{q}}}_{k}} \right)}{\partial \lambda } \right)}\left| _{\lambda =1} \right.=2\lambda T\left| _{\lambda =1} \right.\Leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial T}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=2T \\
| |
| & \left( \frac{\partial \left( \lambda {{{\dot{q}}}_{k}} \right)}{\partial \lambda } \right)={{{\dot{q}}}_{k}} \\
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| \end{align}</math>
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| Obere Äquivalenz ist der sogenannte Eulersche Satz
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| Da V unabhängig von
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| <math>{{\dot{q}}_{1}}...{{\dot{q}}_{f}}</math>
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| gilt auch:
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| <math>\sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial L}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=2T</math>
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| | |
| Zur totalen Zeitableitung von L:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{dL}{dt}=\sum\limits_{k}^{{}}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\ddot{q}}}_{k}}+\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)}+\frac{\partial L}{\partial t} \\
| |
| & \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\ und\ \frac{\partial L}{\partial t}=0\quad wegen\ 2.(oben) \\
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| \end{align}</math>
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| | |
| Somit:
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| <math>\frac{dL}{dt}=\sum\limits_{k}^{{}}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\ddot{q}}}_{k}}+\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)}=\frac{d}{dt}\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}=2\frac{dT}{dt}}</math>
| |
| wegen
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| <math>\sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial L}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=2T</math>
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| | |
| Somit:
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| <math>0=\frac{d}{dt}(2T-L)=\frac{d}{dt}(T+V)\Rightarrow T+V=konst</math>
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| Zeitranslationsinvarianz bedingt also Energieerhaltung !
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| Oder: Skleronome Zwangsbedingungen:
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| <math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math>
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| bedingen: E=T+V=constant
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| Nebenbemerkung
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| Die Aussage folgt auch aus dem Noether-Theorem, wenn man noch den folgenden Trick anwendet: (Scheck, Aufgabe 2.17)
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| Mache t zu einer q-artigen Variablen durch eine parametrisierte Darstellung:
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| <math>{{q}_{k}}={{q}_{k}}(\tau ),t=t(\tau )</math>
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| Als Lagrangefunktion muss man sich definieren:
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| <math>\bar{L}\left( {{q}_{k}},t,\frac{d{{q}_{k}}}{d\tau },\frac{d{{t}_{{}}}}{d\tau } \right):=L\left( {{q}_{k}},\frac{1}{\left( {}^{dt}\!\!\diagup\!\!{}_{d\tau }\; \right)}\frac{d{{q}_{k}}}{d\tau },t,\frac{dt}{d\tau } \right)</math>
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| soll invariant unter Zeittranslationen sein:
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| <math>{{h}^{s}}(\bar{q},t)=(\bar{q},t+s)</math>
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| Dann gilt:
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| # Hamiltonsches Prinzip auf
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| <math>\bar{L}</math>
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| angewandt:
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| <math>0=\delta \int\limits_{\tau 1}^{\tau 2}{{}}\bar{L}d\tau =\delta \int\limits_{t1}^{t2}{{}}Ldt\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=0</math>
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| 2. Noethersches Theorem für
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| <math>\bar{L}</math>
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| :
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| Integral der Bewegung I:
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| <math>\begin{align}
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| & I=\sum\limits_{i=1}^{f+1}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f+1}}) \right)}_{s=0}}}=\frac{\partial \bar{L}}{\partial {{{\dot{q}}}_{f+1}}} \\
| |
| & mit\ \left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f+1}}) \right)=\left( 0,...,0,1 \right)\quad f\ Nullen,1\ an\ Stelle\ f+1\ mit\ {{q}_{f+1}}=t \\
| |
| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & I=\frac{\partial \bar{L}}{\partial {{{\dot{q}}}_{f+1}}}=\frac{\partial \bar{L}}{\partial \left( \frac{dt}{d\tau } \right)}=L+\sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( -\frac{1}{{{\left( \frac{dt}{d\tau } \right)}^{2}}} \right)\frac{d{{q}_{k}}}{d\tau }\frac{dt}{d\tau }} \\
| |
| & =L-\sum\limits_{k=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=T-V-2T=-(T-V) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Also Erhaltung der Energie durch zeitliche Translationsinvarianz
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| ===Das Zweikörperproblem===
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| Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.
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| Idee:
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| f Freiheitsgrade -> f Differenzialgleichungen 2. Ordnung
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| * 2f Integrationskonstanten nötig ! ( jeweils zweifaches Integrieren). ( Anfangsbedingungen).
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| * Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung
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| Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären:
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| <math>{{I}_{r}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...{{\dot{q}}_{f}})={{c}_{r}}\quad \quad r=1,...2f</math>
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| So wäre das Problem vollständig gelöst:
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| <math>{{q}_{k}}={{q}_{k}}({{c}_{1}},...,{{c}_{2f}},t)\quad \quad k=1,...,f</math>
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| Also ist es das Ziel, möglichst viele Integrale der Bewegung zu finden.
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| Beispiel: Zweikörperproblem
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| 2 Massen, m1 und m2 unter dem Einfluss Ihrer inneren Wechselwirkung: V(|r1-r2|) ( Zentralpotenzial).
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| Beispiel: Sonne / Erde unter Gravitationswechselwirkung
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| Zahl der Freiheitsgrade: f=6
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| Also: es muessten 12 Integrale der Bewegung existieren
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| <u>'''Erhaltungssätze'''</u>
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| # V(|r1-r2|) ist translationsinvariant.
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| Somit ist der Impuls:
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| <math>\bar{P}={{\bar{p}}_{1}}+{{\bar{p}}_{2}}</math>
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| =konstant
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| Der Schwerpunkt:
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| <math>\bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math>
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| bewegt sich gleichförmig und geradlinig.
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| Dies folgt aus:
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| <math>M\dot{\bar{R}}=\bar{P}=const</math>
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| M:=m1 + m2
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| Somit sind 6 Integrationskonstanten gefunden:
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| <math>\bar{P},\bar{R}</math>
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| # V(|r1-r2|) ist rotationsinvariant:
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| Damit ist der Drehimpuls
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| <math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=const</math>
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| Es sind drei weitere Integrationskonstanten
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| <math>\bar{l}</math>
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| gefunden.
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| # Die zeitliche Translationsinvarianz bei konservativer Kraft:
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| <math>E=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}+V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)=const</math>
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| Eine Integrationskonstante E
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| Insgesamt sind 10 Integrale der Bewegung gefunden. Es bleiben nur 2 Integrationskonstanten, nämlich der Nullpunkt der Zeit- und Winkelskala. Diese ergeben sich aus den ANfangsbedingungen.
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| ====Impuls- und Drehimpulserhaltung====
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| Lagrange- Formulierung:
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| <math>L=T-V=\frac{1}{2}{{m}_{1}}{{\bar{v}}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{{m}_{2}}{{\bar{v}}_{2}}^{2}-V\left( \left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right| \right)</math>
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| Verallgeminerte Koordinaten: Schwerpunktskoordinaten:
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| <math>\left( \begin{matrix}
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| {{q}_{1}} \\
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| {{q}_{2}} \\
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| {{q}_{3}} \\
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| \end{matrix} \right):=\bar{R}=\frac{1}{M}({{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}})</math>
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| Schwerpunktskoordinate
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| <math>\left( \begin{matrix}
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| {{q}_{4}} \\
| |
| {{q}_{5}} \\
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| {{q}_{6}} \\
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| \end{matrix} \right):=\bar{r}={{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}</math>
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| Relativkoordinate
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| Die Umkehrung liefert dann die gesuchten Größen:
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{r}}}_{1}}=\bar{R}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=\bar{R}-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
| |
| & {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=\dot{\bar{R}}+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=\dot{\bar{R}}-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
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| & L=\frac{M}{2}{{{\dot{\bar{R}}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{\bar{r}}}}^{2}}-V(r) \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei bezeichnet
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| <math>r:=\left| {\bar{r}} \right|</math>
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| den Abstand und
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| <math>m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}</math>
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| die relative Masse
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| <math>L=\frac{M}{2}{{\dot{\bar{R}}}^{2}}+\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>
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| <math>\bar{R}</math>
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| ist zyklische Koordinate:
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| <math>\frac{\partial L}{\partial {{R}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{R}}}_{k}}}=M{{\dot{R}}_{k}}={{P}_{k}}=const</math>
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| mit k= x,y,z
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| <math>\Rightarrow \bar{R}=\frac{1}{M}\bar{P}t+{{\bar{R}}_{0}}</math>
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| Verwende das Schwerpunktsystem als Inertialsystem:
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| o.B.d.A:
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| <math>\bar{R}=\dot{\bar{R}}=0</math>
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| Damit ergibt sich die vereinfachte Lagrangegleichung
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| <math>L=\frac{1}{2}m{{\dot{\bar{r}}}^{2}}-V(r)</math>
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| mit:
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{r}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\bar{r}}}_{{}}}\quad \quad {{{\bar{r}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}\bar{r} \\
| |
| & {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}=+\frac{{{m}_{2}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}}\quad \quad {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}=-\frac{{{m}_{1}}}{M}{{{\dot{\bar{r}}}}_{{}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Der Drehimpuls berechnet sich gemäß:
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| <math>\bar{l}={{m}_{1}}{{\bar{r}}_{1}}\times {{\bar{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\bar{r}}_{2}}\times {{\bar{v}}_{2}}=\left( \frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}^{2}}{{{M}^{2}}}+\frac{{{m}_{2}}{{m}_{1}}^{2}}{{{M}^{2}}} \right)\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=m\bar{r}\times \dot{\bar{r}}=const</math>
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| (Rotationsinvarianz)
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| Somit folgt aber auch (zyklische Vertauschbarkeit):
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| <math>\bar{l}\cdot \bar{r}=\bar{l}\cdot \dot{\bar{r}}=0</math>
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| Beide, Radiusvektor und Geschwindigkeitsvektor
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| <math>\bar{r},\dot{\bar{r}}</math>
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| liegen in der Ebene senkrecht zu
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| <math>\bar{l}</math>
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| ( Im Schwerpunktsystem).
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| Übergang zu Polarkoordinaten. Wir legen das Koordinatensystem so, dass der Drehimpuls parallel zur z- Achse zeigt:
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| <math>\begin{align}
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| & x=r\cos \phi \quad \dot{x}=\dot{r}\cos \phi -r\dot{\phi }\sin \phi \\
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| & y=r\sin \phi \quad \dot{y}=\dot{r}\sin \phi +r\dot{\phi }\cos \phi \\
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| \end{align}</math>
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| Somit:
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| <math>{{\dot{\bar{r}}}^{2}}={{\dot{x}}^{2}}+{{\dot{y}}^{2}}=...={{\dot{r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot{\phi }}^{2}}</math>
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| Nun wählen wir neue verallgemeinerte Koordinaten statt x,y :
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| <math>\left( r,\phi \right)</math>
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| <math>L=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)-V(r)</math>
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| <math>\phi </math>
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| ist zyklische Koordinate:
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| <math>\frac{\partial L}{\partial \phi }=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{{r}^{2}}\dot{\phi }=l=const</math>
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| Hier: l = lz, da lx = ly =0
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| Also:
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| <math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>
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| =====Flächensatz: 2. keplersches Gesetz=====
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| Geometrische Interpretation von
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| <math>m{{r}^{2}}\dot{\phi }={{l}_{z}}=m(x\dot{y}-y\dot{x})=const</math>
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| :
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| Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
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| Das heißt: Die Flächengeschwindigkei ist konstant:
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| Für die Fläche gilt:
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| <math>\delta F=\frac{1}{2}\left| {\bar{r}} \right|\cdot \left| \bar{r}+\delta \bar{r} \right|\sin \delta \phi \approx \frac{1}{2}{{r}^{2}}\delta \phi </math>
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| Dabei gilt die rechtsseitige Näherung für sehr kleine Änderungen in Radiusvektor und Winkel. Bleibt richtig für infinitesimale Betrachtung:
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| <math>\frac{d}{dt}F=\frac{1}{2}{{r}^{2}}\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{2m}=const</math>
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| ====Energieerhaltung und Bahngleichung====
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| Bestimmen wir die Lagranggleichung 2. Art für den radius r:
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| <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}-\frac{\partial L}{\partial r}=0</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r} \\
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| & \frac{\partial L}{\partial r}=mr{{{\dot{\phi }}}^{2}}-V\acute{\ }(r) \\
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| \end{align}</math>
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| Somit gilt:
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| <math>m\ddot{r}-mr{{\dot{\phi }}^{2}}+V\acute{\ }(r)=0</math>
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| Mit der Zentrifugalkraft
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| <math>mr{{\dot{\phi }}^{2}}</math>
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| Die Zeitableitung des Winkels können wir eliminieren durch die Bewegungskonstante l:
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| <math>\dot{\phi }=\frac{l}{m{{r}^{2}}}</math>
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| <math>m\ddot{r}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}+V\acute{\ }(r)=0</math>
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| # '''Integral: '''Trick: Wir müssen die Gleichung auf zeitliche Änderung bringen. Zu diesem zweck multiplizieren wir alles mit
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| <math>\dot{r}</math>
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| :
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| <math>\begin{align}
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| & m\ddot{r}\dot{r}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}\dot{r}+\dot{r}V\acute{\ }(r)=0 \\
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| & m\ddot{r}\dot{r}=\frac{d}{dt}\left( \frac{m}{2}{{{\dot{r}}}^{2}} \right) \\
| |
| & \frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}\dot{r}=\frac{d}{dt}\left( -\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}} \right) \\
| |
| & \dot{r}V\acute{\ }(r)=\frac{d}{dt}V(r) \\
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| \end{align}</math>
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| | |
| Somit können wir Integration über die zeit ausführen und es ergibt sich:
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| <math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)=const=E</math>
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| Energieerhaltung mit
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| <math>T=\frac{m}{2}\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+\frac{{{l}^{2}}}{{{m}^{2}}{{r}^{2}}} \right)=\frac{m}{2}\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \right)</math>
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| <u>'''Andere Interpretation'''</u>
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| Die Bewegung der beiden Körper ist ebenfalls als eindimensionale Bewegung in einem '''effektiven'''
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| '''Radialpotenzial'''
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| <math>\tilde{V}(r):=\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)</math>
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| Dabei wird
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| <math>\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}</math>
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| als Zentrifugalbarriere bezeichnet.
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| Es ergibt sich:
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| <math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}+\tilde{V}(r)=const=E</math>
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| Somit:
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| <math>\dot{r}=\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}=\frac{dr}{dt}</math>
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| Integration liefert:
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| <math>\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}=\int\limits_{{{t}_{o}}}^{t}{dt\acute{\ }}}</math>
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| Es sind somit t( r) und r( t) berechenbar.
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| Der Winkel folgt dann aus:
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| <math>\dot{\phi }=\frac{d\phi }{dt}=\frac{l}{mr{{(t)}^{2}}}</math>
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| durch Einsetzen:
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| <math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\int\limits_{{{t}_{o}}}^{t}{{}}\frac{l}{m{{r}^{2}}(t\acute{\ })}dt\acute{\ }</math>
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| | |
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| Es ergibt sich also:
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| <math>\phi (t)</math>
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| .
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| Die Bahngleichung wird gewonnen gemäß:
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| <math>\frac{dr}{d\phi }=\frac{{\dot{r}}}{{\dot{\phi }}}=\frac{m{{r}^{2}}\sqrt{\frac{2}{m}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}}{l}={{r}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r) \right)}</math>
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| | |
| | |
| Es folgt:
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| <math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{dr\acute{\ }}\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}</math>
| |
| | |
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| Daraus erhält man als Bahngleichung
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| <math>\phi (r)</math>
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| bzw.
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| <math>r(\phi )</math>
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| .
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| Die Bahngleichung.
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| ====Planetenbewegung und Keplersche Gesetze====
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| Betrachten wir speziell das Gravitationspotenzial als Wechselwirkung:
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| <math>V(r)=-\frac{\gamma {{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{{}}}}</math>
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| mit
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| <math>r=|{{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}}|</math>
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| | |
| Somit ergibt sich ein effektives Radialpotenzial gemäß
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| <math>\tilde{V}(r)=-\frac{k}{{{r}^{{}}}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad k:=\gamma {{m}_{1}}m>0</math>
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| ALs Grenzwert folgt:
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| <math>\begin{align}
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| & r\to 0:\tilde{V}(r)=\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad \to \infty \\
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| & r\to \infty :\tilde{V}(r)=-\frac{k}{r}\quad \to 0 \\
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| \end{align}</math>
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| Differenziation findet ein Minimum:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{d\tilde{V}(r)}{dr}=\frac{k}{{{r}^{2}}}-\frac{{{l}^{2}}}{m{{r}^{3}}}=0\to {{r}_{o}}=\frac{{{l}^{2}}}{mk} \\
| |
| & \tilde{V}({{r}_{o}})=\frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Wegen
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| <math>\frac{m}{2}{{\dot{r}}^{2}}=E-\tilde{V}(r)</math>
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| ist eine Bewegung nur für
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| <math>E-\tilde{V}(r)\ge 0</math>
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| möglich. Also muss
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| <math>E\ge \tilde{V}(r)</math>
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| Es gilt:
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| <math>0>E\ge \tilde{V}({{r}_{o}})\Rightarrow 0>E\ge \frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}</math>
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| : Bahnen sind geschlossen ( Ellipse, Spezialfall: Kreis)
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| <math>E>0</math>
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| Bahnen sind offen. ( Hyperbeln)
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| Wir werden sehen, dass für E=0 eine Parabelbahn folgt.
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| Das Potenzial hat die folgende Gestalt:
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| Für
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| <math>0>E\ge \tilde{V}({{r}_{o}})\Rightarrow 0>E\ge \frac{-m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}</math>
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| | |
| Sind die Umkehrpunkte durch
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| <math>\tilde{V}(r)=-\frac{k}{{{r}^{{}}}}+\frac{{{l}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}\quad =E</math>
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| bestimmt ( quadratisch Gleichung in r mit zwei Lösungen):
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| <math>{{r}_{\min /\max }}=\frac{1}{2|E|}\left( k\mp \sqrt{{{k}^{2}}-\frac{2{{l}^{2}}|E|}{m}} \right)</math>
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| Für E>0 gibt es nur noch eine Lösung für r, die positiv und damit physikalisch sinnvoll ist.
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| Aus
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| gewinnt man den inneren Umkehrpunkt:
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| Die Bahngleichung kann nun explizit berechnet werden:
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| <math>\int\limits_{{{\phi }_{o}}}^{\phi }{d}\phi \acute{\ }=\phi -{{\phi }_{o}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{dr\acute{\ }}\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}\sqrt{\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( E-\tilde{V}(r\acute{\ }) \right)}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}}</math>
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| Dieses Integral ist nicht leicht zu berechnen, jedoch lediglich ein mathematisches Problem. Es gelingt mit einer geschickten Substitution:
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| Zunächst soll der Ausdruck unter der Wurzel quadratisch ergänzt werden:
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| <math>\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}=-{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}</math>
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| mit
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| <math>\begin{align}
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| & -{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}+\frac{2mE}{{{l}^{2}}}:=D\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}} \right] \\
| |
| & D:=\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}+E \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Dabei gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}=\tilde{V}({{r}_{o}}) \\
| |
| & \Rightarrow D:=\frac{2m}{{{l}^{2}}}\left( \frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}+E \right)\ge 0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Substitution:
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| <math>\begin{align}
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| & \cos \vartheta \acute{\ }:=\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)\Rightarrow \frac{d\cos \vartheta }{dr\acute{\ }}=-\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}} \right) \\
| |
| & \frac{d\cos \vartheta }{d\vartheta }=-\sin \vartheta \acute{\ }\Rightarrow -\sin \vartheta d\vartheta =d\cos \vartheta \\
| |
| & -\sin \vartheta \acute{\ }d\vartheta =-\frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Somit folgt:
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| <math>\begin{align}
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| & \phi -{{\phi }_{o}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{\frac{2mE}{{{l}^{2}}}+\frac{2mk}{{{l}^{2}}r\acute{\ }}-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{2}} \right]}}=\int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D}\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{{}}} \right]} \\
| |
| & \int\limits_{{{r}_{o}}}^{r}{\frac{dr\acute{\ }}{r{{\acute{\ }}^{2}}}}\frac{1}{\sqrt{D}\left[ 1-\frac{1}{D}{{\left( \frac{1}{r{{\acute{\ }}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)}^{{}}} \right]}=\int\limits_{{{\vartheta }_{0}}}^{\vartheta }{d\vartheta \acute{\ }\sin \vartheta \acute{\ }\frac{1}{\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\vartheta }\acute{\ }}=}\int\limits_{{{\vartheta }_{0}}}^{\vartheta }{d\vartheta \acute{\ }=\vartheta -{{\vartheta }_{0}}} \\
| |
| & \vartheta -{{\vartheta }_{0}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)-\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Also in Summary:
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| <math>\phi -{{\phi }_{o}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)-\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)</math>
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| Eine der Integrationskonstanten,
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| <math>{{\phi }_{o}}</math>
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| oder
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| <math>{{r}_{o}}</math>
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| kann frei eingesetzt werden.
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| Wir wählen den Winkel willkürlich:
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| Mit der vereinfachenden Wahl von
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| <math>{{\phi }_{o}}=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}_{o}}^{{}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right)</math>
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| ergibt sich:
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| <math>\begin{align}
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| & \phi (r)=\arccos \frac{1}{\sqrt{D}}\left( \frac{1}{{{r}^{{}}}}-\frac{mk}{{{l}^{2}}} \right) \\
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| & \Rightarrow \frac{1}{r(\phi )}=\frac{mk}{{{l}^{2}}}+\sqrt{D}\cos \phi =\frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1+\varepsilon \cos \phi \right) \\
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| & mit\quad \varepsilon :=\sqrt{D}\frac{{{l}^{2}}}{mk}=\sqrt{1+\frac{2E{{l}^{2}}}{m{{k}^{2}}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Wesentlich ist unsere Bahngleichung:
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| <math>\frac{1}{r(\phi )}=\frac{mk}{{{l}^{2}}}+\sqrt{D}\cos \phi =\frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1+\varepsilon \cos \phi \right)</math>
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| Dies ist nämlich, wie jedem Mathematiker bekannt ist, die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarkoordinaten:
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| <math>\begin{align}
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| & \varepsilon >1\cong E>0\quad Hyperbel(offene\ Bahn) \\
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| & \varepsilon =1\cong E=0\quad Parabel(offene\ Bahn) \\
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| & \varepsilon <1\cong -\frac{m{{k}^{2}}}{2{{l}^{2}}}<E<0\quad Ellipse(geschlossene\ Bahn) \\
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| \end{align}</math>
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| Für da zweidimensionale Problem ist die Umrechnung auf kartesische Korodinaten sehr einfach:
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| Dies ist nämlich, wie jedem Mathematiker bekannt ist, die Gleichung eines Kegelschnitts in Polarkoordinaten:
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| <math>\begin{align}
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| & \cos \phi =\frac{x}{r} \\
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| & \sin \phi =\frac{y}{r} \\
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| & r=\sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)} \\
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| \end{align}</math>
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| Für
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| <math>\varepsilon <1</math>
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| folgt:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\left( \frac{mk}{{{l}^{2}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)x+\varepsilon \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right){{y}^{2}}=1 \\
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| & \frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}{{\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)}^{2}}{{\left( x+\frac{{{l}^{2}}}{mk}\frac{\varepsilon }{\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right)} \right)}^{2}}+\frac{{{m}^{2}}{{k}^{2}}}{{{l}^{4}}}\left( 1-{{\varepsilon }^{2}} \right){{y}^{2}}=1 \\
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| \end{align}</math>
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| Dies kann vereinfacht werden zu:
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| <math>\frac{{{\left( x+e \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1</math>
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| mit der Exzentrizität
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| <math>e=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}</math>
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| Dies ist die Gleichung einer Ellipse mit einem Brennpunkt im Ursprung.
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| Die Hauptachsen lauten:
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| <math>\begin{align}
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| & a=\frac{{{l}^{2}}}{mk(1-{{\varepsilon }^{2}})}=\frac{k}{2|E|} \\
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| & b=\frac{{{l}^{2}}}{mk\sqrt{1-{{\varepsilon }^{2}}}}=\frac{l}{\sqrt{2m|E|}} \\
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| \end{align}</math>
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| Die relative Exzentrizität:
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| <math>\varepsilon =\frac{e}{a}=\sqrt{1-\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}}</math>
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| e, die absolute Exzentrizität ist der absolute Abstand zwischen Mittelpunkt der Ellipse und einem Brennpunkt.
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| =====Keplersches Gesetz=====
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| Folgt also aus der Bewegungsgleichung mit Gravitationspotenzial bei negativen Energien:
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| Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einen Brennpunkt die Sonne steht.
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| =====Keplersches Gesetz=====
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| T²~a³
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| <u>'''Beweis:'''</u>
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| Für die Fläche einer Ellipse gilt:
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| <math>F=\pi ab</math>
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| Wenn wir das zweite Keplersche Gesetz verwenden ( Flächensatz), so gilt:
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| <math>\frac{dF}{dt}=\frac{l}{2m}=const</math>
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| Es ergibt sich der folgende Zusammenhang mit der Umlaufzeit:
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| <math>\int\limits_{0}^{T}{dt}\frac{dF}{dt}=\frac{l}{2m}T=F=\pi ab</math>
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| Aus der Herleitung des ersten Keplerschen Gesetzes ist bekannt:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{{{b}^{2}}}{a}=\frac{{{l}^{2}}}{mk}\Rightarrow b=\frac{l}{\sqrt{mk}}\sqrt{a} \\
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| & T=\frac{2m\pi ab}{l}=\frac{2\sqrt{m}\pi {{a}^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{k}} \\
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| & \frac{{{T}^{2}}}{{{a}^{3}}}=\frac{4{{\pi }^{2}}m}{k} \\
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| \end{align}</math>
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| Die zweiten Potenzen der Umlaufdauer sind somit nicht exakt proportional zur dritten Potenz der großen Halbachsen, da auch die Masse des Planeten noch eingeht:
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| <math>\begin{align}
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| & k=\gamma {{m}_{1}}{{m}_{2}} \\
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| & m=\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \\
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| & \frac{m}{k}=\frac{1}{\gamma \left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right)} \\
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| \end{align}</math>
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| Falls die Planeten jedoch deutlich leichter sind als die Zentralgestirne, so gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{m}{k}\approx \frac{1}{\gamma {{m}_{2}}} \\
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| & \frac{{{T}^{2}}}{{{a}^{3}}}\approx \frac{4{{\pi }^{2}}}{\gamma {{m}_{2}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Leitet man dies aus dem Kraftansatz ab, so steckt der Fehler der Vernachlässigung der Planetenmasse in der Annahme einer kreisförmigen Bewegung um das Zentralgestirn. Das Ergebnis ist ebenso fehlerbelastet.
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| [[Kategorie:Mechanik]]
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