Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 21. August 2011, 16:09 Uhr

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell):

\begin{aligned} i ℏ \dot{Ψ} (\bar{r}, t) = \hat{H} Ψ = \frac{1}{2 m} {(\frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A})}^{2} Ψ (\bar{r}, t) + V Ψ (\bar{r}, t) \\ V = e Φ \end{aligned}

\begin{aligned} i ℏ \dot{Ψ} (\bar{r}, t) = \frac{1}{2 m} (\frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}) (\frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}) Ψ (\bar{r}, t) + V Ψ (\bar{r}, t) \\ = \frac{1}{2 m} [- ℏ^{2} Δ Ψ + i ℏ e \nabla (\bar{A} Ψ) + i ℏ e \bar{A} (\nabla Ψ) + e^{2} A^{2} Ψ] + V Ψ (\bar{r}, t) \end{aligned}

Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von

\bar{A} (\bar{r}, t)

Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:

i ℏ \dot{Ψ} * (\bar{r}, t) = \frac{1}{2 m} [- ℏ^{2} Δ Ψ * - i ℏ e \nabla (\bar{A} Ψ *) - i ℏ e \bar{A} (\nabla Ψ *) + e^{2} A^{2} Ψ *] + V Ψ * (\bar{r}, t)

Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:

\begin{aligned} i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} (Ψ (\bar{r}, t) Ψ * (\bar{r}, t)) = Ψ * (\bar{r}, t) i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (\bar{r}, t) + Ψ (\bar{r}, t) i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ * (\bar{r}, t) \\ i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = i ℏ (Ψ * (\bar{r}, t) \dot{Ψ} (\bar{r}, t) + \dot{Ψ} * (\bar{r}, t) Ψ (\bar{r}, t)) = Ψ * \hat{H} Ψ - Ψ (\hat{H} Ψ) * \end{aligned}

\begin{aligned} i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} (Ψ * Δ Ψ - Ψ Δ Ψ *) + \frac{e^{2}}{2 m} [Ψ * {\bar{A}}^{2} Ψ - Ψ {\bar{A}}^{2} Ψ *] + Ψ * V Ψ - Ψ V Ψ * \\ + \frac{i ℏ e}{2 m} (Ψ * \nabla (\bar{A} Ψ) + \bar{A} Ψ \nabla Ψ * + Ψ \nabla (\bar{A} Ψ *) + \bar{A} Ψ * \nabla Ψ) \\ Ψ * {\bar{A}}^{2} Ψ - Ψ {\bar{A}}^{2} Ψ * = 0 \\ Ψ * V Ψ - Ψ V Ψ * = 0 \\ Ψ * \nabla (\bar{A} Ψ) + \bar{A} Ψ \nabla Ψ * = Ψ \nabla (\bar{A} Ψ *) + \bar{A} Ψ * \nabla Ψ = \nabla (Ψ \bar{A} Ψ *) \\ \Rightarrow i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} (Ψ * Δ Ψ - Ψ Δ Ψ *) + \frac{i ℏ e}{m} \nabla (Ψ \bar{A} Ψ *) \\ Ψ * Δ Ψ - Ψ Δ Ψ * = \nabla (Ψ * \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ *) - (\nabla Ψ * \nabla Ψ - \nabla Ψ \nabla Ψ *) \\ (\nabla Ψ * \nabla Ψ - \nabla Ψ \nabla Ψ *) = 0 \\ \Rightarrow i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \nabla (Ψ * \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ *) + \frac{i ℏ e}{m} \nabla (Ψ \bar{A} Ψ *) \\ \Rightarrow i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = \nabla [\frac{- ℏ^{2}}{2 m} (Ψ * \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ *) + \frac{i ℏ e}{m} (Ψ \bar{A} Ψ *)] \end{aligned}

Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld

\frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} + \nabla \cdot \bar{j} = 0

Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:

\begin{aligned} \bar{j} = \frac{ℏ}{2 m i} (Ψ * \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ *) - \frac{e}{m} (Ψ \bar{A} Ψ *) \\ = \frac{1}{2 m} {Ψ * (\frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}) Ψ + Ψ (- \frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}) Ψ *} \end{aligned}

Denn: Wenn die Kontinuitätsgleichung $\frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} + \nabla \cdot \bar{j} = 0$ erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben! Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit! Dabei bezeichnet man

\bar{j} = \frac{ℏ}{2 m i} (Ψ * \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ *)

als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm

- \frac{e}{m} (Ψ \bar{A} Ψ *)

ergänzt wird

\bar{j} = \frac{1}{2 m} {Ψ * {\hat{\bar{P}}}_{k i n} Ψ + Ψ ({\hat{\bar{P}}}_{k i n} Ψ) *}

Mit dem kinetischen Impulsoperator

{\hat{\bar{P}}}_{k i n} : = \frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}

Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert! Bemerkungen

Neben dem kanonischen Impulsoperator: ${\hat{\bar{P}}}_{} : = \frac{ℏ}{i} \nabla$ , wobei klassisch $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}$ haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator ${\hat{\bar{P}}}_{k i n} : = \frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}$ zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator $\hat{\bar{v}} : = \frac{{\hat{\bar{P}}}_{k i n}}{m}$ zusammen, wobei der Geschwindigkeitsoperator $\hat{\bar{v}} : = \frac{{\hat{\bar{P}}}_{k i n}}{m}$ NICHT die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.

Also: ${\hat{\bar{P}}}_{k i n} = m \hat{\bar{v}}$ und $\hat{p} \neq m \hat{\bar{v}}$

Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung

\frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} + \nabla \cdot \bar{j} = 0

mit

\bar{j} = \frac{1}{2} {Ψ * \hat{\bar{v}} Ψ + Ψ (\hat{\bar{v}} Ψ) *}

Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:

\dot{ρ} + \nabla \cdot \bar{j} = 0

mit

\bar{j} = ρ \cdot \bar{v}

Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form $\bar{j} = ℜ {Ψ * \hat{\bar{v}} Ψ}$ wählen, da hier $ρ \cdot \hat{\bar{v}}$ oder $\hat{\bar{v}} ρ$ nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?)

In $\hat{H} = \frac{1}{2 m} {(\hat{\bar{p}} - e \bar{A} (\hat{\bar{r}}, t))}^{2} = \frac{1}{2 m} ({\hat{\bar{p}}}^{2} - e \hat{\bar{p}} \bar{A} - e \bar{A} \hat{\bar{p}} + e^{2} A^{2})$ ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten!

Nur in der Coulomb- Eichung $\nabla \cdot \bar{A} = 0$ gilt:

\begin{aligned} (\hat{\bar{p}} \bar{A} + \bar{A} \hat{\bar{p}}) Ψ = \frac{ℏ}{i} [\nabla (\bar{A} Ψ) + \bar{A} (\nabla Ψ)] = \frac{ℏ}{i} [(\nabla \cdot \bar{A}) Ψ + 2 \bar{A} (\nabla Ψ)] \\ \nabla \cdot \bar{A} = 0 \end{aligned}

Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:

(\hat{\bar{p}} \bar{A} + \bar{A} \hat{\bar{p}}) Ψ = 2 \bar{A} \hat{\bar{p}} Ψ

Also in diesem Fall:

\hat{H} = \frac{1}{2 m} {(\hat{\bar{p}} - e \bar{A} (\hat{\bar{r}}, t))}^{2} = \frac{1}{2 m} ({\hat{\bar{p}}}^{2} - 2 e \bar{A} \hat{\bar{p}} + e^{2} A^{2})

Merke: Die Coulombeichung bringt $\bar{A}$ und $\hat{p}$ zum Vertauschen!

Im Gaußschen Maßsystem gilt:

\hat{H} = \frac{1}{2 m} {(\hat{\bar{p}} - \frac{e}{c} \bar{A})}^{2}

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 <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|4}}</noinclude>
-Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A ( beide reell):
+Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell):
 :<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>
 Denn:
-Wenn die Kontinuitätsgleichung <math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben !
+Wenn die Kontinuitätsgleichung <math>\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben!
-Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit !
+Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit!
 Dabei bezeichnet man
 :<math>\bar{j}=\frac{\hbar }{2mi}\left( \Psi *\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi * \right)</math> als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm <math>-\frac{e}{m}\left( \Psi \bar{A}\Psi * \right)</math> ergänzt wird
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 Mit dem kinetischen Impulsoperator
 :<math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>
-Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert !
+Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert!
 <u>'''Bemerkungen'''</u>
 # Neben dem kanonischen Impulsoperator: <math>{{\hat{\bar{P}}}_{{}}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla </math>, wobei klassisch <math>{{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}</math> haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator <math>{{\hat{\bar{P}}}_{kin}}:=\frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}</math>zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator  <math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>zusammen, wobei der '''Geschwindigkeitsoperator '''<math>\hat{\bar{v}}:=\frac{{{{\hat{\bar{P}}}}_{kin}}}{m}</math>'''NICHT '''die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.
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 Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:
 :<math>\dot{\rho }+\nabla \cdot \bar{j}=0</math>mit <math>\bar{j}=\rho \cdot \bar{v}</math>
-Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi  \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. ( Worauf wirkt der Operator ?)
+Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form <math>\bar{j}=\operatorname{Re}\left\{ \Psi *\hat{\bar{v}}\Psi  \right\}</math>wählen, da hier <math>\rho \cdot \hat{\bar{v}}</math>oder <math>\hat{\bar{v}}\rho </math>nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?)
-# In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten !
+# In <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-e\hat{\bar{p}}\bar{A}-e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math> ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten!
 Nur in der Coulomb- Eichung <math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math>gilt:
 :<math>\begin{align}
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 Also in diesem Fall:
 :<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}=\frac{1}{2m}\left( {{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}-2e\bar{A}\hat{\bar{p}}+{{e}^{2}}{{A}^{2}} \right)</math>
-Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen !
+Merke: Die Coulombeichung bringt <math>\bar{A}</math>und <math>\hat{p}</math>zum Vertauschen!
 # Im Gaußschen Maßsystem gilt:
 :<math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \hat{\bar{p}}-\frac{e}{c}\bar{A} \right)}^{2}}</math>

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