Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Eigenschaften eindimensionaler stationärer Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 7) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Stetigkeitsbedingung:

Bei stückweise stetigem Potenzial (Sprünge sind erlaubt, dürfen aber nicht die Regel sein). Außerdem ist das Potenzial ansonsten beliebig, sind $\mathrm{\Phi }(x),\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}(x)$stetig.

Die eindimensionale Zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet:

$\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)=\frac{2m}{{\hslash }^2}[V(x)-E]\varphi (x)$

Das Potenzial habe nun einen Sprung bei x=xo:

Wäre nun $\varphi \stackrel{´}{}(x)\stackrel{~}{}\mathrm{\Theta }[x-x_0]$ unstetig an der Stelle x=xo, so ergebe sich: $\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)\stackrel{~}{}\delta [x-x_0]$. Die rechte Seite der Schrödingergleichung ist jedoch an jedem Punkt beschränkt (die Wellenfunktion selbst muss normierbar sein). Somit ergibt sich ein Widerspruch.

Oft ist es zweckmäßig die sogenannte Eigenableitung zu verwenden. Diese logarithmische Ableitung ist stetig:

(Eigenableitung = logarithmische Ableitung):

$\frac{d}{dx}\ln \varphi (x){|}_{x0}=\frac{\varphi \stackrel{´}{}(x)}{\varphi (x)}$

Für ein $\delta$- förmiges Potenzial gilt: $V(x)=\delta (x-x_0)$:

$\varphi (x)$ist stetig

$\varphi \stackrel{´}{}(x)$hat endlichen Sprung bei x₀

Charakterisierung des Energiespektrums

Gegeben sei ein stückweise stetiges, nach unten beschränktes Potenzial mit $V_{+}\le V_{-}\le \mathrm{\infty }$ Für den Bereich $E<V(x)$(klassische verboten), gilt:

$\frac{\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)}{\varphi (x)}=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V(x)-E)>0$

Also für den Fall $\varphi (x),\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)>0$ist die Krümmung konvex und für $\varphi (x),\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)<0$(zweite mögliche Alternative) ist die Krümmung konkav. Jedenfalls ist die Wellenfunktion von der x- Achse "weggekrümmt", also allgemein gesprochen "divergent": Dies ist deutlicher zu erkennen, wenn man Potenziale einzeichnet, die hier größer sind als die Energie: Es gibt immer exponentielle Dämpfung in derartigen Fällen:

Im Bereich $E>V(x)$gilt: $\frac{\varphi \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x)}{\varphi (x)}=<0$. Dieser Bereich ist auch klassisch erlaubt. Hier ist die Krümmung stets zur x- Achse hin, also im Wesentlichen oszillierend: Damit können wir unsere Eigenfunktionen klassifizieren: 1) $E<V_{\min }(x)$: Die Energie liegt überall unterhalb des Potenzials → $\varphi (x)$divergiert nach $\mathrm{\infty }$. Keine Lösung existiert!

1. $V_{\min }(x)<E<V_{+}(x)$: Es existieren gebundene Zustände;

• bei symmetrischem (vollkommen rotationssymmetrisch) Potenzial V existiert mindestens ein gebundener Zustand ${\varphi }_0(x)$ → eindimensionale Potenzialtöpfe sind immer vollkommen rotationssymmetrisch! → es existiert immer ein gebundener Zustand.

Dies ist anders bei 2- / 3- dimensionalen Potenzialtöpfen! Wenn diese nicht vollständig rotationssymmetrisch sind, kann es sein, dass kein Zustand existiert, wenn die Töpfe flach genug sind!

• Das Energiespektrum ist diskret und nicht entartet: $E_0<E_1<...$

entartet heißt: zu einem Eigenwert gehören mehrere, linear unabhängige Eigenfunktionen!

• Knotensatz: Die zum n-ten Eigenwert $E_n$gehörende Eigenfunktion ${\varphi }_n(x)$hat n Knoten (Nullstellen im Inneren des Definitionsbereichs).

Beweis des Knotensatzes

Zu JEDEM E existiert genau eine Lösung ${\varphi }_E(x)$der Gleichung $\varphi \stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_E(x)=\frac{2m}{{\hslash }^2}[V(x)-E]{\varphi }_E(x)$mit $\begin{array}{c}\lim \\ x\to -\mathrm{\infty }\\ \end{array}{\varphi }_E(x)=0$ (Bilde z.B. Linearkombination von 2 linear unabhängigen Lösungen). Dies gilt natürlich nur im nicht entarteten Fall! Wie er unter 2) für $V_{\min }(x)<E<V_{+}(x)$der Fall ist! Nun ist dann aber im Allgemeinen $\begin{array}{c}\lim \\ x\to +\mathrm{\infty }\\ \end{array}{\varphi }_E(x)\ne 0$. Verschiebt man nun E so, dass auch $\begin{array}{c}\lim \\ x\to +\mathrm{\infty }\\ \end{array}{\varphi }_E(x)=0$ → dann erhalten wir die Energien, die die speziellen diskreten Eigenwerte E repräsentieren. Die Behauptung ist: zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Inneren an den Rand wandern:

Beweis: Sei $x_0(E)$eine Nullstelle von ${\varphi }_E(x)$. Nun bilde man die Wronski- Determinante von ${\varphi }_E(x)$und von $z(x):=\frac{\partial {\varphi }_E(x)}{\partial E}$ Es gilt:

$({\varphi }_E\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}){|}_{-\mathrm{\infty }}^{x_0}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}({\varphi }_E\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}\stackrel{´}{})dx$

Dabei:

$\begin{array}{rl}& ({\varphi }_E\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}){|}_{-\mathrm{\infty }}^{x_0}={\varphi }_E\stackrel{´}{}(x_0)z(x_0)-{\varphi }_E(x_0)z\stackrel{´}{}(x_0)-{\varphi }_E\stackrel{´}{}(-\mathrm{\infty })z(-\mathrm{\infty })+{\varphi }_E(-\mathrm{\infty })z\stackrel{´}{}(-\mathrm{\infty })\\ & {\varphi }_E(x_0)={\varphi }_E\stackrel{´}{}(-\mathrm{\infty })=0\\ & \Rightarrow ({\varphi }_E\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}){|}_{-\mathrm{\infty }}^{x_0}={\varphi }_E\stackrel{´}{}(x_0)z(x_0)\\ \end{array}$

Außerdem:

$({\varphi }_E\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}\stackrel{´}{})={\varphi }_E\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}z+{\varphi }_E\stackrel{´}{}z\stackrel{´}{}-{\varphi }_E\stackrel{´}{}z\stackrel{´}{}-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$

Aus der Schrödingergleichung $\varphi \stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_E(x)=\frac{2m}{{\hslash }^2}[V(x)-E]{\varphi }_E(x)$folgt durch Differenziation nach der Energie:

$z\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\frac{2m}{{\hslash }^2}[V(x)-E]z-\frac{2m}{{\hslash }^2}{\varphi }_E(x)$

Kombiniert man dies mit $\varphi \stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_E(x)=\frac{2m}{{\hslash }^2}[V(x)-E]{\varphi }_E(x)$und $({\varphi }_E\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}){|}_{-\mathrm{\infty }}^{x_0}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}({\varphi }_E\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}z-{\varphi }_{E}z\stackrel{´}{}\stackrel{´}{})dx$ so folgt:

${\varphi }_E\stackrel{´}{}(x_0)z(x_0)=\frac{2m}{{\hslash }^2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}{{\varphi }_E}^{2}dx>0$Mit$\begin{array}{rl}& 0=\frac{d}{dE}{\varphi }_E(x_0)=\frac{\partial {\varphi }_E(x_0)}{\partial E}+{\varphi }_E\stackrel{´}{}(x_0)\frac{\partial x_0}{\partial E}\\ & \frac{\partial {\varphi }_E}{\partial E}=z\\ \end{array}$

folgt schließlich:

$0=\frac{d{x}_0}{dE}=-\frac{z(x_0)}{{\varphi }_E\stackrel{´}{}(x_0)}=-z{(x_0)}^2{\left[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}{{\varphi }_E}^{2}dx\right]}^{-1}<0$

Also wandern die Nullstellen mit abnehmender Energie nach rechts. Bei jedem Eigenwert verschwindet eine Nullstelle bei $\mathrm{\infty }$. Für $E=V_{\min }$hat ${\varphi }_E(x)$KEINE endliche Nullstelle mehr: Sonst wäre für $-\mathrm{\infty }<x_0(E)<+\mathrm{\infty }$:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}\left({\varphi }_E\stackrel{´}{}{\varphi }_E\right)dx=-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}\left({\varphi }_E\stackrel{´}{}{\varphi }_E\stackrel{´}{}\right)dx=\frac{2m}{{\hslash }^2}(V-E)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x_0}{\int }}{{\varphi }_E}^{2}dx>0$

Also ein Widerspruch!

Illustration des Knotensatzes für spezielle Potenziale:

Die zu E1 oder E1´ gehörigen Funktionen besitzen einen Knoten. Nur die Funktion zu E1 ist jedoch eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E1´´ weist bereits 2 Knoten auf. Bei E0 existieren keine Knoten bei E0, E0´und E0 ´´. Allerdings ist nur die zu E0 gehörige Funktion eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E0´´´ hat bereits einen Knoten, jedoch ist diese keine Eigenfunktion. Das zugehörige Potenzial $V(x)\to \mathrm{\infty }$für $x\to a,b$. Also KEIN Parabelpotenzial! Die Randbedingungen seien $\varphi (a)=\varphi (b)=0$. Die Forderung $\varphi (a)=0$kann zu jedem E erfüllt werden. Und zwar durch Linearkombination zweier linear unabhängiger Lösungen. Im Allgemeinen ist dann jedoch

$\varphi (b)\ne 0$. Verschiebt man E so, dass auch $\varphi (b)=0$, so trifft man die speziellen, diskreten Eigenwerte. zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Rand ins Innere wandern.

Speziell: Symmetrische Potenziale:

Bei symmetrischen Potenzialen: $V(x)=V(-x)$sind die Eigenfunktionen abwechselnd von gerader Parität, also symmetrisch: $\varphi (x)=\varphi (-x)$und antisymmetrisch (von ungerader Parität): $\varphi (x)=-\varphi (-x)$. Dies kann für Entartung und Nichtentartung gezeigt werden.

1. $V_{+}<E<V_{-}$ In diesem Fall existiert ein Kontinuum von Streuzuständen (nicht entartet). Die Welle läuft von rechts ein:

Beispiel mit Potenzialstufe: Linke Seite: Die asymptotische Lösung lautet $\begin{array}{rl}& \varphi (x)\stackrel{~}{}{e}^{\pm Mx}\\ & M^2=V_{-}-E\\ \end{array}$ Aber: $\varphi (x)\stackrel{~}{}{e}^{+Mx}$divergiert und ist somit unphysikalisch:

$\varphi (x)\stackrel{~}{}{e}^{-Mx}$

Rechte Seite: Die asymptotische Lösung lautet $\begin{array}{rl}& \varphi (x)\stackrel{~}{}{e}^{\pm ikx}\\ & k^2=E-V_{+}\\ \end{array}$Die Lösung oszilliert also asymptotisch.

1. $E>V_{-}$: Ergibt ein Kontinuum von Streuzuständen (2- fach entartet). Die Welle läuft in diesem Fall von links oder von rechts ein, da die Energie auf beiden Seiten höher als das Potenzial ist. Alle Lösungen oszillieren!

Zeige Nicht entartete Eigenfunktionen sind (bis auf einen trivialen Faktor) reell!