Operatoren im Hilbertraum

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Operatoren im Hilbertraum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Übergang zur Quantentheorie in der Ortsdarstellung

In der Wellenmechanik nach Schrödinger haben wir statt dem Impuls (klassisch) den Impulsoperator zur Beschreibung der Observable:

$\overline{p}\to \frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }$

Die Eigenwertgleichung in der Ortsdarstellung des Impulszustandes lautet:

$\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }\left(\frac{1}{{\left(2\pi \hslash \right)}^{\frac{3}{2}}}{e}^{\frac{i}{\hslash }\overline{p}\overline{r}}\right)=\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }⟨\overline{r}|\overline{p}⟩=\overline{p}⟨\overline{r}|\overline{p}⟩$

Multiplikation mit$|\overline{r}⟩$und Aufintegration liefert:

$\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r|\overline{r}⟩\left(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }\right)⟨\overline{r}|\overline{p}⟩=\overline{p}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r|\overline{r}⟩⟨\overline{r}|\overline{p}⟩=\overline{p}|\overline{p}⟩$

Also:

$\hat{\overline{p}}|\overline{p}⟩=\overline{p}|\overline{p}⟩$mit dem ABSTRAKTEN (Darstellungsfreien) Impulsoperator:$\hat{\overline{p}}:=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r|\overline{r}⟩\left(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }\right)⟨\overline{r}|$

Dabei gilt: einen darstellungsfreien Operator bekommt man immer, indem man einen Operator in bestimmter Darstellung wählt und zwischen den Projektor auf diese Darstellung packt (einen vollständigen Projektor!)

→ Bei Anwendung wir die entsprechende Wellenfunktion, egal in welcher Darstellung erst mal auf die entsprechende Darstellung projiziert, in der dann der Operator wirken kann. Man braucht sich keine Sorgen mehr machen. Der Operator $\hat{\overline{p}}:=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r|\overline{r}⟩\left(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }\right)⟨\overline{r}|$ ist in dieser Weise darstellungsfrei!

Verallgemeinerung

Sei$F(\overline{r},\overline{p})$eine klassische Observable, beispielsweise der Impuls, die Energie, der Drehimpuls,...),

so ergibt sich F als Operator in der Ortsdarstellung:

$F(\overline{r},\overline{p})\to \hat{F}(\hat{\overline{r}},\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla })$

Der abstrakte (darstellungsfreie Operator) folgt durch Aufintegration der Projektionen (Einschub des Vollständigen Satzes von Eigenfunktionen, auf die projiziert wird, Einschub einer Eins):

$\hat{F}=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r|\overline{r}⟩\hat{F}(\hat{\overline{r}},\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla })⟨\overline{r}|$

Umgekehrt, falls die Observable in abstrakter Operatordarstellung gegeben ist:

$|\mathrm{\Phi }⟩:=\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩$

So folgt für die Ortsdarstellung dieses Zustandes

$⟨\overline{r}|\mathrm{\Phi }⟩=⟨\overline{r}|\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩⟨\overline{r}|\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩⟨\overline{r}\stackrel{´}{}|=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}⟨\overline{r}|\hat{F}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩⟨\overline{r}\stackrel{´}{}|\mathrm{\Psi }⟩$

Auch hier wurde wieder eine 1, also ein vollständiger Satz von Basisfunktionen eingeschoben.

Somit aber:

$\mathrm{\Phi }(\overline{r})=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}⟨\overline{r}|\hat{F}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩\mathrm{\Psi }(\overline{r}\stackrel{´}{})$

Im Allgemeinen werden die Operatoren in speziellen Darstellungen, wie der obigen Ortsdarstellung zu LINEAREN INTEGRALOPERATOREN (nichtlokal!)

Für die Ortsdarstellung für ein Teilchen im Potenzial F gilt speziell

$⟨\overline{r}|\hat{F}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩=\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\hat{F}(\overline{r},\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla })$ (lokaler Differenzialoperator, Lokalisation an r´)

Übungsweise soll der nichtlokale Hamiltonoperator bestimmt werden.

Ortsoperator:

$\begin{array}{rl}& \hat{\overline{r}}\mathrm{\Psi }(\overline{r})=\overline{r}\mathrm{\Psi }(\overline{r})\\ & \hat{\overline{r}}⟨\overline{r}|\mathrm{\Psi }⟩=\overline{r}⟨\overline{r}|\mathrm{\Psi }⟩\\ \end{array}$

Dabei ist $\hat{\overline{r}}$der Operator, $⟨\overline{r}|\mathrm{\Psi }⟩$die Eigenfunktion und $\overline{r}$der Eigenwert.

$\begin{array}{rl}& ⟨\overline{r}|\hat{\overline{r}}|\mathrm{\Psi }⟩=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}⟨\overline{r}|\hat{\overline{r}}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩⟨\overline{r}\stackrel{´}{}|\mathrm{\Psi }⟩=\overline{r}⟨\overline{r}|\mathrm{\Psi }⟩\\ & \Rightarrow ⟨\overline{r}|\hat{\overline{r}}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩=\overline{r}\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

In der Impulsdarstellung:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }:=\hat{\overline{r}}|\mathrm{\Psi }⟩\\ & \mathrm{\Phi }(\overline{p})\equiv ⟨\overline{p}|\mathrm{\Phi }⟩=⟨\overline{p}|\hat{\overline{r}}|\mathrm{\Psi }⟩\\ & \mathrm{\Phi }(\overline{p})=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r⟨\overline{p}|\overline{r}⟩⟨\overline{r}|\hat{\overline{r}}|\mathrm{\Psi }⟩\\ & ⟨\overline{p}|\overline{r}⟩=\frac{1}{{\left(2\pi \hslash \right)}^{\frac{3}{2}}}{e}^{-i\frac{\overline{p}\overline{r}}{\hslash }}\\ & ⟨\overline{r}|\hat{\overline{r}}|\mathrm{\Psi }⟩=\overline{r}⟨\overline{r}|\mathrm{\Psi }⟩\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\overline{p})=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r⟨\overline{p}|\overline{r}⟩⟨\overline{r}|\hat{\overline{r}}|\mathrm{\Psi }⟩=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{1}{{\left(2\pi \hslash \right)}^{\frac{3}{2}}}{e}^{-i\frac{\overline{p}\overline{r}}{\hslash }}\overline{r}\mathrm{\Psi }(\overline{r})=\frac{1}{{\left(2\pi \hslash \right)}^{\frac{3}{2}}}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\overline{r}{e}^{-i\frac{\overline{p}\overline{r}}{\hslash }}\mathrm{\Psi }(\overline{r})\\ & \overline{r}{e}^{-i\frac{\overline{p}\overline{r}}{\hslash }}=-\frac{\hslash }{i}{\mathrm{\nabla }}_p\left(e^{-i\frac{\overline{p}\overline{r}}{\hslash }}\right)\\ & {\mathrm{\nabla }}_p:=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial }{\partial p_x},& \frac{\partial }{\partial p_y},& \frac{\partial }{\partial p_z}\\ \end{array}\right)\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\overline{p})=\frac{1}{{\left(2\pi \hslash \right)}^{\frac{3}{2}}}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\overline{r}{e}^{-i\frac{\overline{p}\overline{r}}{\hslash }}\mathrm{\Psi }(\overline{r})=-\frac{\hslash }{i}{\mathrm{\nabla }}_p[\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{1}{{\left(2\pi \hslash \right)}^{\frac{3}{2}}}{e}^{-i\frac{\overline{p}\overline{r}}{\hslash }}\mathrm{\Psi }(\overline{r})]\\ & \frac{1}{{\left(2\pi \hslash \right)}^{\frac{3}{2}}}{e}^{-i\frac{\overline{p}\overline{r}}{\hslash }}=⟨\overline{p}|\overline{r}⟩\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\overline{p})=-\frac{\hslash }{i}{\mathrm{\nabla }}_p\left[\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r⟨\overline{p}|\overline{r}⟩⟨\overline{r}|\mathrm{\Psi }⟩\right]=-\frac{\hslash }{i}{\mathrm{\nabla }}_p\tilde{\mathrm{\Psi }}(\overline{p})\\ \end{array}$

Also: Für die Impulsdarstellung des Ortsoperators gilt:

$\hat{\overline{r}}\to -\frac{\hslash }{i}{\mathrm{\nabla }}_p$

Energiedarstellung

Sei in der Ortsdarstellung

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+V(x)$der eindimensionale Hamiltonoperator

Dazu die Eigenfunktionen:

$\hat{H}{\varphi }_n(x)=E_n{\varphi }_n(x)$, n=0,1,2,...

Mit ${\varphi }_n(x):=⟨x|n⟩$

$\hat{H}(x,\frac{\hslash }{i}\frac{d}{dx})⟨x|n⟩=E_n⟨x|n⟩$

Ergibt sich:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx|x⟩\hat{H}(x,\frac{\hslash }{i}\frac{d}{dx})⟨x|n⟩=E_n|n⟩$

Mit dem darstellungsfreien Hamiltonoperator$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx|x⟩\hat{H}(x,\frac{\hslash }{i}\frac{d}{dx})⟨x|$

Die Orthonormierung verlangt:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx\varphi {*}_m(x){\varphi }_n(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dx⟨m|x⟩⟨x|n⟩=⟨m|n⟩={\delta }_{mn}$

Bei diskreten Eigenfunktionen.

Dies ist aber analog zur kontinuierlichen Darstellung:

$\begin{array}{rl}& ⟨\overline{r}|\overline{r}\stackrel{´}{}⟩=\delta (\overline{r}\stackrel{´}{}-\overline{r})\\ & ⟨\overline{p}\stackrel{´}{}|\overline{p}⟩=\delta (\overline{p}-\overline{p}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Häufig (aber nicht immer!!) ist die Energiedarstellung VOLLSTÄNDIG (sie ist beispielsweise beim eindimensionalen harmonischen Oszi vollständig):

$\begin{array}{rl}& ⟨x|\mathrm{\Psi }⟩=\mathrm{\Psi }(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\varphi }_n(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}⟨n|\mathrm{\Psi }⟩⟨x|n⟩\\ & \Rightarrow \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}|n⟩⟨n|=1\\ \end{array}$

Vollständigkeitsrelation!

Dann gilt auch die Spekteraldarstellung des Hamiltonoperators. Jedoch nur, wenn die Darstellung der zugehörigen Observable vollständig ist:

$\hat{H}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\hat{H}|n⟩⟨n|=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n|n⟩⟨n|$

Der Operator kann durch die Summe aller Koordinaten in den entsprechenden Eigenzuständen angegeben werden, wenn das System der Zustände eine vollständige Basis repräsentiert. (Und die Zustände Eigenzustände des Operators sind)

$|n⟩⟨n|$ist dabei der Projektionsoperator auf den n. Eigenzustand.

Allgemein gilt:

Aus einer Quantenmechanischen Observable wird ein linearer Operator im Hilbertraum: $\hat{F}:H\to H$.

Bei reellen Observablen, besser: reellen Erwartungswerten der Observablen muss der zugehörige Operator nicht nur linear, sondern auch hermitesch sein

$\begin{array}{rl}& \hat{F}({\lambda }_1|{\psi }_1⟩+{\lambda }_2|{\psi }_2⟩)={\lambda }_1\hat{F}|{\psi }_1⟩+{\lambda }_2\hat{F}|{\psi }_2⟩\\ & {\lambda }_1,{\lambda }_2\in C\\ \end{array}$

Definition:

Der zu $\hat{F}:H\to H$adjungierte Operator ${\hat{F}}^{+}$ist definiert durch:

$\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩=|\mathrm{\Phi }⟩\iff ⟨\mathrm{\Psi }|{\hat{F}}^{+}=⟨\mathrm{\Phi }|$

Adjungierte Operatoren wirken also nach links

In Klammer - und Integraldarstellung schaut dies folgendermaßen aus:

$({\mathrm{\Psi }}_1,\hat{F}{\mathrm{\Psi }}_2)=({\hat{F}}^{+}{\mathrm{\Psi }}_1,{\mathrm{\Psi }}_2)\mathrm{\forall }{\mathrm{\Psi }}_1,{\mathrm{\Psi }}_2\in H$

Integraldarstellung in Ortsdarstellung:

$\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r{\mathrm{\Psi }}_1*(\overline{r})(\hat{F}{\mathrm{\Psi }}_2(\overline{r}))=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r({\hat{F}}^{+}{\mathrm{\Psi }}_1*(\overline{r}))({\mathrm{\Psi }}_2(\overline{r}))$

Def.: ein linearer Operator $\hat{F}$heißt selbstadjungiert (HERMITESCH), falls: $\hat{F}={\hat{F}}^{+}$

$({\mathrm{\Psi }}_1,\hat{F}{\mathrm{\Psi }}_2)=(\hat{F}{\mathrm{\Psi }}_1,{\mathrm{\Psi }}_2)\mathrm{\forall }{\mathrm{\Psi }}_1,{\mathrm{\Psi }}_2\in H$

$\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r{\mathrm{\Psi }}_1*(\overline{r})(\hat{F}{\mathrm{\Psi }}_2(\overline{r}))=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\hat{F}{\mathrm{\Psi }}_1(\overline{r}))*({\mathrm{\Psi }}_2(\overline{r}))$

Die linearen Operatoren bilden eine Algebra. Dabei ist die Multiplikation definiert durch:

$(\hat{F}\cdot \hat{G})|\mathrm{\Psi }⟩=\hat{F}\cdot \left(\hat{G}|\mathrm{\Psi }⟩\right)$

Mit dem Einheitsoperator 1:

$1\cdot \hat{F}=\hat{F}\cdot 1=\hat{F}$

Nulloperator 0:

$0\cdot \hat{F}=\hat{F}\cdot 0=0$

und dem Kommutator:

$[\hat{F},\hat{G}]:=\hat{F}\cdot \hat{G}-\hat{G}\cdot \hat{F}$

Es gilt, was als Übung bewiesen werden kann:

${(\hat{F}\cdot \hat{G})}^{+}={\hat{G}}^{+}\cdot {\hat{F}}^{+}$

${\hat{F}}^{++}=\hat{F}$

Für zusammengesetzte Zustände:

$\begin{array}{rl}& |\mathrm{\Psi }⟩={\lambda }_1|{\mathrm{\Psi }}_1⟩+{\lambda }_2|{\mathrm{\Psi }}_2⟩\\ & \Rightarrow \hat{F}({\lambda }_1|{\mathrm{\Psi }}_1⟩+{\lambda }_2|{\mathrm{\Psi }}_2⟩)={\lambda }_1\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_1⟩+{\lambda }_2\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_2⟩\\ \end{array}$Linearität

und

$\begin{array}{rl}& |\mathrm{\Psi }⟩={\lambda }_1|{\mathrm{\Psi }}_1⟩+{\lambda }_2|{\mathrm{\Psi }}_2⟩\\ & \Rightarrow ⟨\mathrm{\Psi }|{\hat{F}}^{+}={\lambda }_1*⟨{\mathrm{\Psi }}_1|{\hat{F}}^{+}+{\lambda }_2*⟨{\mathrm{\Psi }}_2|{\hat{F}}^{+}\\ \end{array}$ Antilinearität

Das Skalarprodukt ist linear im 2. Faktor und antilinear im 1. Faktor!

Weitere Relationen:

${[\hat{F},\hat{G}]}^{+}={\hat{G}}^{+}\cdot {\hat{F}}^{+}-{\hat{F}}^{+}\cdot {\hat{G}}^{+}=[{\hat{G}}^{+},{\hat{F}}^{+}]$

Falls$[[\hat{F},\hat{G}],\hat{F}]=[[\hat{F},\hat{G}],\hat{G}]=0$gilt, so folgt:

$\begin{array}{rl}& e^{\hat{F}}{e}^{\hat{G}}=e^{\hat{G}}{e}^{\hat{F}}{e}^{[\hat{F},\hat{G}]}\\ & e^{\hat{G}+\hat{F}}=e^{\hat{G}}{e}^{\hat{F}}{e}^{-\frac{1}{2}[\hat{G},\hat{F}]}\\ \end{array}$

Außerdem:

$[\hat{F}\hat{G},\hat{H}]=\hat{F}[\hat{G},\hat{H}]+[\hat{F},\hat{H}]\hat{G}$

Sowie die Baker- Hausdorff- Identität:

$e^{\hat{F}}\hat{G}{e}^{-\hat{F}}=\hat{G}+[\hat{F},\hat{G}]+\frac{1}{2!}[\hat{F},[\hat{F},\hat{G}]]+....$ Mit $e^{\hat{F}}\equiv \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(\hat{F}\right)}^n}{n!}$

Matrixelemente

$⟨{\mathrm{\Psi }}_1|\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_2⟩$heißt Matrixelement von $\hat{F}$mit dem Bra$⟨{\mathrm{\Psi }}_1|$und dem Ket $|{\mathrm{\Psi }}_2⟩$

Mit

$\begin{array}{rl}& \hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_2⟩:=|\mathrm{\Phi }⟩\iff ⟨{\mathrm{\Psi }}_2|{\hat{F}}^{+}=⟨\mathrm{\Phi }|\\ & \Rightarrow ⟨{\mathrm{\Psi }}_1|\mathrm{\Phi }⟩=⟨\mathrm{\Phi }|{\mathrm{\Psi }}_1⟩*=⟨{\mathrm{\Psi }}_2|{\hat{F}}^{+}|{\mathrm{\Psi }}_1⟩*\\ \end{array}$

Also:

$⟨{\mathrm{\Psi }}_1|\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_2⟩=⟨{\mathrm{\Psi }}_2|{\hat{F}}^{+}|{\mathrm{\Psi }}_1⟩*$

Für hermitesche Operatoren gilt:

$⟨{\mathrm{\Psi }}_1|\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_2⟩=⟨{\mathrm{\Psi }}_2|\hat{F}|{\mathrm{\Psi }}_1⟩*$

Erwartungswerte

$⟨\hat{F}⟩=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\Psi }*(\overline{r})\hat{F}(\overline{r},\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla })\mathrm{\Psi }(\overline{r})$ in Ortsdartellung

$⟨\hat{F}⟩=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r⟨\mathrm{\Psi }|\overline{r}⟩\hat{F}(\overline{r},\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla })⟨\overline{r}|\mathrm{\Psi }⟩=⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}(\overline{r},\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla })|\mathrm{\Psi }⟩$

Für hermitesche Operatoren sind die Erwartungswerte immer reell:

$⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}(\overline{r},\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla })|\mathrm{\Psi }⟩=⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}(\overline{r},\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla })|\mathrm{\Psi }⟩*$

Umgekehrt gilt:Operatoren mit reellen Eigenwerten sind hermitesch! (im Allgemeinen).

Physikalische Observablen sind also immer durch hermitesche Operatoren darzustellen