Drehimpuls- Eigenzustände

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Drehimpuls- Eigenzustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Drehimpulsoperator:$\hat{\overline{L}}=\hat{\overline{r}}\times \hat{\overline{p}}$

In Komponenten:${\hat{L}}_j={\epsilon }_{jkl}{\hat{r}}_k{\hat{p}}_l$

$\hat{\overline{L}}=\hat{\overline{r}}\times \hat{\overline{p}}$

ist hermitesch:${{\hat{L}}_j}^{+}={\epsilon }_{jkl}{\left({\hat{r}}_k{\hat{p}}_l\right)}^{+}={\epsilon }_{jkl}{{\hat{p}}_l}^{+}{{\hat{r}}_k}^{+}={\epsilon }_{jkl}{\hat{p}}_l{\hat{r}}_k={\epsilon }_{jkl}{\hat{r}}_k{\hat{p}}_l$

Vertauschungs- Relationen:

$\begin{array}{rl}& [{\hat{L}}_1,{\hat{L}}_2]=[({\hat{r}}_2{\hat{p}}_3-{\hat{r}}_3{\hat{p}}_2),({\hat{r}}_3{\hat{p}}_1-{\hat{r}}_1{\hat{p}}_3)]={\hat{r}}_2{\hat{p}}_3{\hat{r}}_3{\hat{p}}_1-{\hat{r}}_2{\hat{p}}_3{\hat{r}}_1{\hat{p}}_3-{\hat{r}}_3{\hat{p}}_2{\hat{r}}_3{\hat{p}}_1+{\hat{r}}_3{\hat{p}}_2{\hat{r}}_1{\hat{p}}_3-{\hat{r}}_3{\hat{p}}_1{\hat{r}}_2{\hat{p}}_3+{\hat{r}}_3{\hat{p}}_1{\hat{r}}_3{\hat{p}}_2+{\hat{r}}_1{\hat{p}}_3{\hat{r}}_2{\hat{p}}_3-{\hat{r}}_1{\hat{p}}_3{\hat{r}}_3{\hat{p}}_2\\ & ={\hat{r}}_2{\hat{p}}_3{\hat{r}}_3{\hat{p}}_1-{\hat{r}}_1{\hat{p}}_3{\hat{r}}_3{\hat{p}}_2+{\hat{r}}_3{\hat{p}}_2{\hat{r}}_1{\hat{p}}_3-{\hat{r}}_3{\hat{p}}_1{\hat{r}}_2{\hat{p}}_3={\hat{r}}_2{\hat{p}}_3{\hat{r}}_3{\hat{p}}_1-{\hat{r}}_2{\hat{r}}_3{\hat{p}}_3{\hat{p}}_1+{\hat{r}}_1{\hat{r}}_3{\hat{p}}_3{\hat{p}}_2-{\hat{r}}_1{\hat{p}}_3{\hat{r}}_3{\hat{p}}_2\\ & ={\hat{r}}_2[{\hat{p}}_3,{\hat{r}}_3]{\hat{p}}_1+{\hat{r}}_1[{\hat{r}}_3,{\hat{p}}_3]{\hat{p}}_2=\frac{\hslash }{i}{\hat{r}}_2{\hat{p}}_1-\frac{\hslash }{i}{\hat{r}}_1{\hat{p}}_2=i\hslash {\hat{L}}_3\\ \end{array}$

Allgemein: $[{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_k]=i\hslash {\hat{L}}_l$

mit (jkl) zyklisch$\begin{array}{rl}& {\hat{L}}_1{\hat{L}}_2-{\hat{L}}_2{\hat{L}}_1=i\hslash {\hat{L}}_3\\ & {\hat{L}}_2{\hat{L}}_3-{\hat{L}}_3{\hat{L}}_2=i\hslash {\hat{L}}_1\\ & {\hat{L}}_3{\hat{L}}_1-{\hat{L}}_1{\hat{L}}_3=i\hslash {\hat{L}}_2\\ & \to \hat{L}\times \hat{L}=i\hslash \hat{L}\\ \end{array}$

Schreibt man dies mit dem Epsilon- Tensor, so gilt einfacher:$[{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_k]=i\hslash {\hat{L}}_l$

mit (jkl) zyklisch$\begin{array}{rl}& \Rightarrow {\epsilon }_{jkl}{\hat{L}}_j{\hat{L}}_k=i\hslash {\hat{L}}_l\\ & \Rightarrow {(\hat{L}\times \hat{L})}_l=i\hslash {\hat{L}}_l\Rightarrow \hat{L}\times \hat{L}=i\hslash \hat{L}\\ \end{array}$

Wegen $[{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_k]=i\hslash {\hat{L}}_l$

also kann es keine gemeinsamen Eigenvektoren zu je zwei Drehimpulskomponenten geben.

Aber:$[{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_k]=0$

für k = 1,2,3

Beweis: Übung

Merke:$\begin{array}{rl}& [{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_k]=[{{\hat{L}}_1}^2+{{\hat{L}}_2}^2+{{\hat{L}}_3}^2,{\hat{L}}_k]\\ & [{{\hat{L}}_1}^2,{\hat{L}}_k]={\hat{L}}_1[{\hat{L}}_1,{\hat{L}}_k]+[{\hat{L}}_1,{\hat{L}}_k]{\hat{L}}_1\\ \end{array}$

Es gibt also gemeinsame Eigenvektoren zu EINEM Lk, konventionshalber ${\hat{L}}_3$

und ${\hat{L}}^2$ .

Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):$\begin{array}{rl}& {\hat{L}}_{+}:={\hat{L}}_1+i{\hat{L}}_2\\ & {\hat{L}}_{-}:={\hat{L}}_1-i{\hat{L}}_2\\ \end{array}$

nicht hermitesch

Es gilt vielmehr:$\begin{array}{rl}& {\left({\hat{L}}_{+}\right)}^{+}={\hat{L}}_{-}\\ & {\left({\hat{L}}_{-}\right)}^{+}={\hat{L}}_{+}\\ \end{array}$

Vertauschungsrelationen$[{\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_3]=[{\hat{L}}_1,{\hat{L}}_3]+i[{\hat{L}}_2,{\hat{L}}_3]=-i\hslash {\hat{L}}_2-\hslash {\hat{L}}_1=-\hslash ({\hat{L}}_1+i{\hat{L}}_2)$

$\begin{array}{rl}& [{\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_3]=-\hslash {\hat{L}}_{+}\\ & [{\hat{L}}_{-},{\hat{L}}_3]=\hslash {\hat{L}}_{-}\\ \end{array}$

L+- Form und adjungierte Form.

Auch dies kann verallgemeinert werden:$\begin{array}{rl}& [{\left({\hat{L}}_{+}\right)}^n,{\hat{L}}_3]=-n\hslash {\left({\hat{L}}_{+}\right)}^n\\ & [{\left({\hat{L}}_{-}\right)}^n,{\hat{L}}_3]=n\hslash {\left({\hat{L}}_{-}\right)}^n\\ \end{array}$

Beweis: Durch vollständige Induktion:

Für n = 1 gezeigt. Sei es nun richtig für ein n größer/gleich 1

Dann:$[{\left({\hat{L}}_{+}\right)}^{n+1},{\hat{L}}_3]={\left({\hat{L}}_{+}\right)}^n[\left({\hat{L}}_{+}\right),{\hat{L}}_3]+[{\left({\hat{L}}_{+}\right)}^n,{\hat{L}}_3]\left({\hat{L}}_{+}\right)={\left({\hat{L}}_{+}\right)}^n(-\hslash \left({\hat{L}}_{+}\right))-n\hslash {\left({\hat{L}}_{+}\right)}^n{\hat{L}}_{+}=-(n+1)\hslash {\left({\hat{L}}_{+}\right)}^{n+1}$

Weiter gilt:$\begin{array}{rl}& {\hat{L}}_{+}{\hat{L}}_{-}=({\hat{L}}_1+i{\hat{L}}_2)({\hat{L}}_1-i{\hat{L}}_2)={{\hat{L}}_1}^2+{{\hat{L}}_2}^2-i[{\hat{L}}_1,{\hat{L}}_2]={\hat{L}}^2-{{\hat{L}}_3}^2+\hslash {\hat{L}}_3\\ & {\hat{L}}_{-}{\hat{L}}_{+}={{\hat{L}}_1}^2+{{\hat{L}}_2}^2+i[{\hat{L}}_1,{\hat{L}}_2]={\hat{L}}^2-{{\hat{L}}_3}^2-\hslash {\hat{L}}_3\\ & \to [{\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_{-}]=2\hslash {\hat{L}}_3\\ & [{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_{+}]=0\\ & [{\hat{L}}^2,{\hat{L}}_{-}]=0\\ \end{array}$

Mittels ${\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_{-}$

gelingt die Zerlegung von ${\hat{L}}^2$

in mit${\hat{L}}^2$

vertauschbare Operatoren ${\hat{L}}_3,{\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_{-}$

${\hat{L}}^2={{\hat{L}}_1}^2+{{\hat{L}}_2}^2+{{\hat{L}}_3}^2={{\hat{L}}_3}^2+{\hat{L}}_{+}{\hat{L}}_{-}-\hslash {\hat{L}}_3$

Warum ?

Nun:

Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen (nötig für Quantisierung → Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen!

Aber: ${\hat{L}}_1,{\hat{L}}_2$

scheiden aus. Mittels ${\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_{-}$

bekommt man dagegen dann einen Ersatz für ${\hat{L}}_1,{\hat{L}}_2$ ,

der mit ${\hat{L}}^2$

vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)(hinsichtlich des Drehimpulsproblems) (3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles!

Allerdings sind ${\hat{L}}_{+},{\hat{L}}_{-}$

keine Observablen, sondern die Erzeugenden für höhere Drehimpulszustände.

Die möglichen Observablen sind ${\hat{L}}^2$

und ${\hat{L}}_3$ ,

wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die dritte aus.

Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren!

Eigenwerte und Eigenzustände

Die gemeinsamen normierten Eigenvektoren $|a,b⟩$

von ${\hat{L}}^2$

und ${\hat{L}}_3$

gehorchen den Eigenwertgleichungen${\hat{L}}^2|a,b⟩=a|a,b⟩$

${\hat{L}}_3|a,b⟩=b|a,b⟩$

Prinzipiell: Für alle Observablen müssen wir Quantenzahlen einführen. Zum formalen Vorgehen schreibt man diese Quantenzahlen einfach in einen Zustandsvektor. Diese Quantenzahlen sind Eigenwerte der Observablen, also mögliche Messwerte. Unser formaler Zustand aus Quantenzahlen ist per Definition ein Eigenvektor zu diesen Quantenzahlen.

Dann muss man nur noch Bedingungen finden, die aus der Eigenwertgleichung Information liefern, die herangezogen werden kann, um die Quantenzahlen einzuschränken bzw. zu bestimmen.

Bei uns gilt:

Da $\hat{L}$

hermitesch ist, gilt:$\begin{array}{rl}& a=⟨a,b|{\hat{L}}^2|a,b⟩=\sum _{i=1}^3⟨a,b|{{\hat{L}}_i}^{+}{\hat{L}}_i|a,b⟩\\ & ⟨a,b|{{\hat{L}}_i}^{+}{\hat{L}}_i|a,b⟩:=⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi }⟩\ge 0\\ & a=⟨a,b|{\hat{L}}^2|a,b⟩=\sum _{i=1}^3⟨a,b|{{\hat{L}}_i}^{+}{\hat{L}}_i|a,b⟩\ge ⟨a,b|{{\hat{L}}_3}^2|a,b⟩\ge 0\\ & ⟨a,b|{{\hat{L}}_3}^2|a,b⟩=b^2\\ & \to a\ge b^2\ge 0\\ \end{array}$

Weiter gilt:${\hat{L}}_{\pm }|a,b⟩$

sind auch Eigenzustände zu ${\hat{L}}^2$

und${\hat{L}}_3$

Vorsicht:$|a,b⟩$

sind keine Eigenzustände zu ${\hat{L}}_{\pm }$

aber ${\hat{L}}_{\pm }|a,b⟩$

sind Eigenzustände zu ${\hat{L}}^2$

und${\hat{L}}_3$

Beweis:$\begin{array}{rl}& {\hat{L}}^2{\hat{L}}_{\pm }|a,b⟩={\hat{L}}_{\pm }{\hat{L}}^2|a,b⟩=a{\hat{L}}_{\pm }|a,b⟩\\ & {\hat{L}}_3{\hat{L}}_{\pm }|a,b⟩=({\hat{L}}_{\pm }{\hat{L}}_3-[{\hat{L}}_{\pm },{\hat{L}}_3])|a,b⟩\\ & [{\hat{L}}_{\pm },{\hat{L}}_3]=\mp \hslash {\hat{L}}_{\pm }\\ & \to ({\hat{L}}_{\pm }{\hat{L}}_3-[{\hat{L}}_{\pm },{\hat{L}}_3])|a,b⟩={\hat{L}}_{\pm }({\hat{L}}_3\pm \hslash )|a,b⟩={\hat{L}}_{\pm }(b\pm \hslash )|a,b⟩\\ \end{array}$

Also:${\hat{L}}_3{\hat{L}}_{\pm }|a,b⟩=(b\pm \hslash ){\hat{L}}_{\pm }|a,b⟩$

Das bedeutet:${\hat{L}}_{\pm }$

erhöhen/ erniedrigen den Eigenwert von ${\hat{L}}_3$

um $\hslash$ .

→ wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken!

Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem $b_0$

liefert:$\begin{array}{rl}& {\hat{L}}_3{\left({\hat{L}}_{+}\right)}^n|a,b_0⟩=(b_0+n\hslash ){\left({\hat{L}}_{+}\right)}^n|a,b_0⟩\\ & {\hat{L}}_3{\left({\hat{L}}_{-}\right)}^m|a,b_0⟩=(b_0-m\hslash ){\left({\hat{L}}_{-}\right)}^m|a,b_0⟩\\ \end{array}$

Das Spektrum von ${\hat{L}}_3$

ist nach oben und nach unten beschränkt:$\begin{array}{rl}& a=⟨a,b|{\hat{L}}^2|a,b⟩=\sum _{i=1}^3⟨a,b|{{\hat{L}}_i}^{+}{\hat{L}}_i|a,b⟩\\ & ⟨a,b|{{\hat{L}}_i}^{+}{\hat{L}}_i|a,b⟩:=⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi }⟩\ge 0\\ & a=⟨a,b|{\hat{L}}^2|a,b⟩=\sum _{i=1}^3⟨a,b|{{\hat{L}}_i}^{+}{\hat{L}}_i|a,b⟩\ge ⟨a,b|{{\hat{L}}_3}^2|a,b⟩\ge 0\\ & ⟨a,b|{{\hat{L}}_3}^2|a,b⟩=b^2\\ & \to \sqrt{a}\ge b\ge -\sqrt{a}\\ \end{array}$

Also existiert ein größter Eigenwert $b_{\max }=b_0+n_{\max }\hslash$

und ein kleinster Eigenwert $b_{\min }=b_0-m_{\max }\hslash$

mit ${\hat{L}}_{+}|a,b_{\max }⟩={\hat{L}}_{-}|a,b_{\min }⟩=0$

Daraus folgt:$\begin{array}{rl}& 0={\hat{L}}_{-}{\hat{L}}_{+}|a,b_{\max }⟩=({\hat{L}}^2-{{\hat{L}}_3}^2-\hslash {\hat{L}}_3)|a,b_{\max }⟩=(a-{b_{\max }}^2-\hslash b_{\max })|a,b_{\max }⟩\\ & 0={\hat{L}}_{+}{\hat{L}}_{-}|a,b_{\min }⟩=({\hat{L}}^2-{{\hat{L}}_3}^2+\hslash {\hat{L}}_3)|a,b_{\min }⟩=(a-{b_{\min }}^2+\hslash b_{\min })|a,b_{\min }⟩\\ \end{array}$

Also:$a={b_{\max }}^2+\hslash b_{\max }={b_{\min }}^2-\hslash b_{\min }$

Andererseits existiert ein $n\in N_0$

mit $|a,b_{\max }⟩={\left({\hat{L}}_{+}\right)}^n|a,b_{\min }⟩$

Also: $b_{\max }=b_{\min }+n\hslash$

Setzt man dies in $a={b_{\max }}^2+\hslash b_{\max }={b_{\min }}^2-\hslash b_{\min }$

ein, so folgt:$\begin{array}{rl}& {b_{\min }}^2+2n\hslash b_{\min }+n^2{\hslash }^2+\hslash (b_{\min }+n\hslash )={b_{\min }}^2-\hslash b_{\min }\\ & 2n\hslash b_{\min }+n^2{\hslash }^2+\hslash (2b_{\min }+n\hslash )=0\\ & \Rightarrow b_{\min }=-\frac{n(n+1){\hslash }^2}{2(n+1)\hslash }=-\frac{n}{2}\hslash =:-l\hslash \\ \end{array}$

mit $l:=\frac{n}{2}$

Somit:$\begin{array}{rl}& a=b_{\min }(b_{\min }-\hslash )=(-l)(-l-1){\hslash }^2\\ & a=l(l+1){\hslash }^2\\ & b_{\max }=b_{\min }+2l\hslash =l\hslash \\ \end{array}$

Mögliche Eigenwerte von ${\hat{L}}^2$

$a=l(l+1){\hslash }^2$

$</u>\begin{array}{rl}& n\in N\\ & \Rightarrow l=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},...\\ \end{array}$

Mögliche Eigenwerte von ${\hat{L}}_3$

für festes l:$b=m\hslash$

mit $m=-l,-l+1,-l+2,...,l-2,l-1,l$

m=-l → gehört zu bmin

m=+l → gehört zu b max

Es können keine weiteren Eigenwerte von ${\hat{L}}_3$

zwischen diesen Werten liegen, weil man sonst durch wiederholte Anwendung von ${\hat{L}}_{+}$

bzw.${\hat{L}}_{-}$

die Schranken $\left|m\right|\le l$

verletzen könnte.

Zu jedem l gibt es $2l+1$

Werte von m:

Dies entspricht der energetisch gleichen $2l+1$

- fachen Richtungsentartung von ${\hat{L}}^2$

welche von außen, z.B. durch Magnetfelder, aufgehoben werden kann.

Die Tatsache, dass ${\hat{L}}_{+}$

bzw.${\hat{L}}_{-}$

den Drehimpulseigenzustand jeweils exakt um $\hslash$

erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator $[{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_k]=i\hslash {\hat{L}}_l$ ,

besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:$[{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_k]=i\hslash {\epsilon }_{jkl}{\hat{L}}_l$

.

Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. (siehe oben).

Also bedingt der Kommutator $[{\hat{L}}_j,{\hat{L}}_k]=i\hslash {\epsilon }_{jkl}{\hat{L}}_l$

die Drehimpulsquantisierung.

Tabelle:

Quanten- zahlen Eigenwert von $\hat{L}$ Richtungsquantenzahl m l $\hslash \sqrt{l(l+1)}$ m 0 0 0

$\frac{1}{2}$

$\hslash \sqrt{\frac{3}{4}}$ $-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}$

1 $\hslash \sqrt{2}$ $-1,0,1$

$\frac{3}{2}$

$\hslash \sqrt{\frac{15}{4}}$ $-\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}$

$\begin{array}{rl}& {\hat{L}}^2|l,m⟩={\hslash }^{2}l(l+1)|l,m⟩\\ & {\hat{L}}_3|l,m⟩=\hslash m|l,m⟩\\ \end{array}$

Diracsches Vektormodell:

Darstellung der Richtungsquantisierung:

m=1/2 → Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse

m=-1/2 → der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse

Zur Übung ist zu zeigen:$⟨l,m|{\hat{L}}_i|l,m⟩=0$

für i=1,2$⟨l,m|{({\hat{L}}_i-⟨{\hat{L}}_i⟩)}^2|l,m⟩=0$

soll berechnet werden

Nebenbemerkung: Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses!