Spin- Operatoren und Zustände

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Spin- Operatoren und Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Stern-Gerlach Experiment: (1922)

Für das inhomogene Magnetfeld gilt: $\mathrm{\nabla }{B}_3\mathrm{\perp }\text{Strahl}$

Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß

$\overline{F}=\mathrm{\nabla }\left({\mu }_3{B}_3\right)={\mu }_3\mathrm{\nabla }{B}_3$

Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!

Bahndrehimpuls l ergäbe $2l+1$- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)

Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung!!

$\Rightarrow \overline{\mu }\sim \overline{S}$

Eigendrehimpuls (Spin) des Elektrons!

$S_3=m_S\hslash$

$\begin{array}{rl}& m_S=\pm \frac{1}{2}\\ & l\equiv s=\frac{1}{2}\\ \end{array}$

Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \overline{\mu }=\frac{+e}{2m_0}\overline{S}e<0\\ & \Rightarrow {\mu }_3=\frac{+e}{2m_0}{S}_3=\pm \frac{+e\hslash }{4m_0}\\ \end{array}$

Dies ist jedoch falsch! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:

${\mu }_3=+g\frac{+e}{2m_0}{S}_3$

mit g=2,0023 g sogenannter Lande-Faktor (gyromagnetischer Faktor)

Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2!!!

Spin als Freiheitsgrad des Elektrons

Spin-Eigenzustände: $|m_s⟩\in H_S$

Spin-Hilbertraum (zweidimensional!)

Notation:

Spin up

$|+\frac{1}{2}⟩=|\uparrow ⟩$

Spin down

$|-\frac{1}{2}⟩=|\downarrow ⟩$

Dimensionsloser Spinoperator $\hat{\overline{\sigma }}$

Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:

$\begin{array}{rl}& {\hat{\overline{S}}}_3|\uparrow ⟩=\frac{\hslash }{2}|\uparrow ⟩\Rightarrow \hat{\overline{\sigma }}|\uparrow ⟩=|\uparrow ⟩\\ & {\hat{\overline{S}}}_3|\downarrow ⟩=-\frac{\hslash }{2}|\downarrow ⟩\Rightarrow \hat{\overline{\sigma }}|\downarrow ⟩=-|\downarrow ⟩\\ \end{array}$

${\hat{S}}_3$ ist hermitesch

Eigenwerte: $\pm 1$

Orthonormierung: $\begin{array}{rl}& ⟨\uparrow |\uparrow ⟩=⟨\downarrow |\downarrow ⟩=1\\ & ⟨\uparrow |\downarrow ⟩=0\\ \end{array}$

Vollständigkeit: $|\uparrow ⟩⟨\uparrow |+|\downarrow ⟩⟨\downarrow |=1$

Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als

$\begin{array}{rl}& |a(t)⟩=|\uparrow ⟩⟨\uparrow |a(t)⟩+|\downarrow ⟩⟨\downarrow |a(t)⟩\\ & ⟨\uparrow |a(t)⟩:=a_1(t)\\ & ⟨\downarrow |a(t)⟩:=a_2(t)\\ \end{array}$

Aus:

$\hat{S}\times \hat{S}=i\hslash \hat{S}$

(ganz allgemeine Drehimpuls-Vertauschungs-Relation)

(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert!)

folgt:

$\begin{array}{rl}& \hat{\overline{\sigma }}\times \hat{\overline{\sigma }}=2i\hat{\overline{\sigma }}\\ & [{\hat{\overline{\sigma }}}_j,{\hat{\overline{\sigma }}}_k]=2i{\epsilon }_{jkl}{\hat{\overline{\sigma }}}_l\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& {\hat{\overline{S}}}^2|\uparrow ⟩={\hslash }^{2}s(s+1)|\uparrow ⟩\Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {\hat{\overline{\sigma }}}^2|\uparrow ⟩=3|\uparrow ⟩\\ & {\hat{\overline{S}}}^2|\downarrow ⟩={\hslash }^{2}s(s+1)|\downarrow ⟩\Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {\hat{\overline{\sigma }}}^2|\downarrow ⟩=3|\downarrow ⟩\\ \end{array}$

Spin-Leiteroperatoren:

$\begin{array}{rl}& {\hat{\overline{\sigma }}}_{\pm }:={\hat{\overline{\sigma }}}_1\pm i{\hat{\overline{\sigma }}}_2\\ & {\hat{\overline{\sigma }}}_{+}|\uparrow ⟩={\hat{\overline{\sigma }}}_{-}|\downarrow ⟩=0\\ \end{array}$

Somit folgt:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow {\hat{\overline{\sigma }}}_1|\uparrow ⟩=-i{\hat{\overline{\sigma }}}_2|\uparrow ⟩\\ & {\hat{\overline{\sigma }}}_1|\downarrow ⟩=i{\hat{\overline{\sigma }}}_2|\downarrow ⟩\\ \end{array}$

Andererseits gilt:

$\begin{array}{rl}& {\hat{\overline{\sigma }}}_{+}|\downarrow ⟩=\alpha |\uparrow ⟩\\ & {\hat{\overline{\sigma }}}_{-}|\uparrow ⟩=\beta |\downarrow ⟩\\ \end{array}$

Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen!

Berechnung der Koeffizienten $\alpha ,\beta$:

$\begin{array}{rl}& \alpha *\alpha =⟨\downarrow |{{\hat{\overline{\sigma }}}_{+}}^{+}{\hat{\overline{\sigma }}}_{+}|\downarrow ⟩=⟨\downarrow |({\hat{\overline{\sigma }}}_1-i{\hat{\overline{\sigma }}}_2)({\hat{\overline{\sigma }}}_1+i{\hat{\overline{\sigma }}}_2)|\downarrow ⟩\\ & =⟨\downarrow |{{\hat{\overline{\sigma }}}_1}^2+{{\hat{\overline{\sigma }}}_2}^2+i[{\hat{\overline{\sigma }}}_1,{\hat{\overline{\sigma }}}_2]|\downarrow ⟩\\ & [{\hat{\overline{\sigma }}}_1,{\hat{\overline{\sigma }}}_2]=2i{\hat{\overline{\sigma }}}_3\\ & {{\hat{\overline{\sigma }}}_1}^2+{{\hat{\overline{\sigma }}}_2}^2={\hat{\overline{\sigma }}}^2-{{\hat{\overline{\sigma }}}_3}^2\\ & \Rightarrow \alpha *\alpha =⟨\downarrow |{\hat{\overline{\sigma }}}^2-{{\hat{\overline{\sigma }}}_3}^2-2{\hat{\overline{\sigma }}}_3|\downarrow ⟩=⟨\downarrow |3-1+2|\downarrow ⟩=4\\ & \Rightarrow \left|\alpha \right|=2\\ \end{array}$

Weiter:

$⟨\uparrow |{\hat{\overline{\sigma }}}_{+}|\downarrow ⟩=\alpha ⟨\uparrow |\uparrow ⟩=\alpha$

Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:

O.B. d. A.: wähle

$\alpha =\beta =2$

Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt!

So folgt:

$\begin{array}{rl}& ({\hat{\overline{\sigma }}}_1+i{\hat{\overline{\sigma }}}_2)|\downarrow ⟩=({\hat{\overline{\sigma }}}_1+{\hat{\overline{\sigma }}}_1)|\downarrow ⟩=2|\uparrow ⟩\\ & ({\hat{\overline{\sigma }}}_1-i{\hat{\overline{\sigma }}}_2)|\uparrow ⟩=({\hat{\overline{\sigma }}}_1+{\hat{\overline{\sigma }}}_1)|\uparrow ⟩=2|\downarrow ⟩\\ & \Rightarrow {\hat{\overline{\sigma }}}_1|\downarrow ⟩=|\uparrow ⟩\\ & {\hat{\overline{\sigma }}}_1|\uparrow ⟩=|\downarrow ⟩\\ \end{array}$

Außerdem:

$\begin{array}{rl}& ({\hat{\overline{\sigma }}}_1+i{\hat{\overline{\sigma }}}_2)|\downarrow ⟩=(i{\hat{\overline{\sigma }}}_2+i{\hat{\overline{\sigma }}}_2)|\downarrow ⟩=2|\uparrow ⟩\\ & ({\hat{\overline{\sigma }}}_1-i{\hat{\overline{\sigma }}}_2)|\uparrow ⟩=-(i{\hat{\overline{\sigma }}}_2+i{\hat{\overline{\sigma }}}_2)|\uparrow ⟩=2|\downarrow ⟩\\ & \Rightarrow {\hat{\overline{\sigma }}}_2|\downarrow ⟩=-i|\uparrow ⟩\\ & {\hat{\overline{\sigma }}}_2|\uparrow ⟩=i|\downarrow ⟩\\ \end{array}$

Zusammenfassung

	$|\uparrow ⟩$	$|\downarrow ⟩$
${\hat{\overline{\sigma }}}_1$	$|\downarrow ⟩$	$|\uparrow ⟩$
${\hat{\overline{\sigma }}}_2$	$i|\downarrow ⟩$	$-i|\uparrow ⟩$
${\hat{\overline{\sigma }}}_3$	$|\uparrow ⟩$	$|\downarrow ⟩$

Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:

(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):

$\begin{array}{rl}& {\left({\hat{\overline{\sigma }}}_i\right)}_{\alpha \beta }=\left(\begin{array}{cc}⟨\uparrow |{\hat{\overline{\sigma }}}_i|\uparrow ⟩& ⟨\uparrow |{\hat{\overline{\sigma }}}_i|\downarrow ⟩\\ ⟨\downarrow |{\hat{\overline{\sigma }}}_i|\uparrow ⟩& ⟨\downarrow |{\hat{\overline{\sigma }}}_i|\downarrow ⟩\\ \end{array}\right)\\ & \alpha ,\beta =1,2\\ & i=1,2,3\\ \end{array}$

Die Matrizen lassen sich ausschreiben: Paulische Spinmatrizen:

$\begin{array}{rl}& {\left({\hat{\overline{\sigma }}}_1\right)}_{\alpha \beta }=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)\\ & {\left({\hat{\overline{\sigma }}}_2\right)}_{\alpha \beta }=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\\ \end{array}\right)\\ & {\left({\hat{\overline{\sigma }}}_3\right)}_{\alpha \beta }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \\ & \hat{\overline{S}}=\left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cc}0& \frac{\hslash }{2}\\ \frac{\hslash }{2}& 0\\ \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}0& -i\frac{\hslash }{2}\\ \frac{\hslash }{2}& 0\\ \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cc}\frac{\hslash }{2}& 0\\ 0& -\frac{\hslash }{2}\\ \end{array}\right)\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Was den bekannten Relationen genügt:

$\begin{array}{rl}& {\hat{\overline{\sigma }}}_1{\hat{\overline{\sigma }}}_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-i& 0\\ 0& i\\ \end{array}\right)=i{\hat{\overline{\sigma }}}_3\\ & {\hat{\overline{\sigma }}}_2{\hat{\overline{\sigma }}}_1=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)=-i{\hat{\overline{\sigma }}}_3\\ & \Rightarrow \left[{\hat{\overline{\sigma }}}_{1,}{\hat{\overline{\sigma }}}_2\right]=2i{\hat{\overline{\sigma }}}_3\\ \end{array}$

erfüllt,.... usw...

S3- Darstellung der Zustände:

$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{c}⟨\alpha |\uparrow ⟩={\delta }_{\alpha 1}\\ ⟨\alpha |\downarrow ⟩={\delta }_{\alpha 2}\\ \end{array}\right)\\ & |\uparrow ⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \end{array}\right)\\ & |\downarrow ⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Dabei kennzeichnen $|\uparrow ⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \end{array}\right),|\downarrow ⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ \end{array}\right)$ die Basis- Spinoren (Spaltenvektoren)

$\begin{array}{rl}& ⟨\uparrow |=(1,0)\\ & ⟨\downarrow |=(0,1)\\ \end{array}$ Zeilenvektoren (transponiert)

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ \end{array}\right)$

was äquivalent ist zu

${\hat{\overline{\sigma }}}_1|\uparrow ⟩=|\downarrow ⟩$