Bornsche Näherung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Bornsche Näherung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien

$\frac{{\hslash }^2{\overline{k}}^2}{2m}>>V(\overline{r})$

In diesem Fall kann $H^{(1)}(\overline{r})$ als kleine Störung betrachtet werden

Für die erste Ordnung Störungsrechnung der Lippmann- Schwinger - Gleichung setzt man an:

$|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩=|\mathrm{\Phi }⟩+G_{+}{\hat{H}}^{(1)}|\mathrm{\Phi }⟩$

Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt!

Man nennt den Schritt $|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩=|\mathrm{\Phi }⟩+G_{+}{\hat{H}}^{(1)}|\mathrm{\Phi }⟩$ auch Erste Bornsche Näherung

In Ortsdarstellung schreibt sichs dann:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Psi }}^{(+)}(\overline{r})={\mathrm{\Psi }}_e(\overline{r})+\frac{2m}{{\hslash }^2}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{G}_{+}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})V(\overline{r}\stackrel{´}{}){\mathrm{\Psi }}_e(\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & {\mathrm{\Psi }}_e(\overline{r})=e^{i\overline{k}\overline{r}}\\ \end{array}$

Es folgt für die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung

$\begin{array}{rl}& f({\overline{e}}_r)=-\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{1}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}V(\overline{r}\stackrel{´}{})e^{i\overline{K}\overline{r}\stackrel{´}{}}\\ & \overline{K}:=\overline{k}-\overline{k}{\overline{e}}_r\\ \end{array}$

Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials $V(\overline{r})$.

Das Problem kann für kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)

Dann kann wieder ${\overline{e}}_r$ durch $\vartheta ,\varphi$ parametrisiert werden!

$K=|\overline{k}-\overline{k}{\overline{e}}_r|=\sqrt{k^2+k^2-2k^2\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }╱{}_2$

Die Integration $\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}V(\overline{r}\stackrel{´}{})e^{i\overline{K}\overline{r}\stackrel{´}{}}$ erfolgt in Kugelkoordinaten um die $\overline{K}$- Achse:

$\overline{K}\overline{r}\stackrel{´}{}=Kr\stackrel{´}{}\cos \vartheta$

Aus Symmetriegründen hängt $f({\overline{e}}_r)$ nicht von $\varphi$ ab:

$\begin{array}{rl}& f(\vartheta )=-\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{1}{4\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r{\stackrel{´}{}}^{2}dr\stackrel{´}{}V(\overline{r}\stackrel{´}{})\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d(\cos \vartheta \stackrel{´}{})e^{iKr\stackrel{´}{}\cos \vartheta \stackrel{´}{}}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \stackrel{´}{}\\ & \underset{-1}{\overset{1}{\int }}d(\cos \vartheta \stackrel{´}{})e^{iKr\stackrel{´}{}\cos \vartheta \stackrel{´}{}}=\frac{1}{iKr\stackrel{´}{}}(e^{iKr\stackrel{´}{}}-e^{-iKr\stackrel{´}{}})=\frac{2\sin Kr\stackrel{´}{}}{Kr\stackrel{´}{}}\\ \end{array}$

Somit:

$\begin{array}{rl}& f(\vartheta )=-\frac{2m}{{\hslash }^2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r{\stackrel{´}{}}^{2}dr\stackrel{´}{}V(\overline{r}\stackrel{´}{})\frac{\sin Kr\stackrel{´}{}}{Kr\stackrel{´}{}}=-\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{1}{K}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r\stackrel{´}{}dr\stackrel{´}{}V(\overline{r}\stackrel{´}{})\sin Kr\stackrel{´}{}\\ & K=2k\sin \frac{\vartheta }{2}\\ \end{array}$

Somit können die Wirkungsquerschnitte angegeben werden:

$\begin{array}{rl}& \frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}={|f(\vartheta )|}^2\\ & ->\sigma =\underset{}{\overset{}{\int }}d\mathrm{\Omega }{|\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{1}{K}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r\stackrel{´}{}dr\stackrel{´}{}V(\overline{r}\stackrel{´}{})\sin Kr\stackrel{´}{}|}^2\\ & =\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d(\cos \vartheta )\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi {|\frac{2m}{{\hslash }^2}\frac{1}{K}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r\stackrel{´}{}dr\stackrel{´}{}V(\overline{r}\stackrel{´}{})\sin Kr\stackrel{´}{}|}^2\\ \end{array}$

Anwendungsbeispiel ist die Rutherford-Streuung. Dies ist die Streuung eines Z₁- fach geladenen Teilchens an einem Z₂- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß

$V(r)=-\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$

Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten. Einzige Lösung ist das Yukawa-Potenzial

$V(r)=\begin{array}{c}\lim \\ \kappa \to 0\\ \end{array}\frac{a}{r}{e}^{-\kappa r}$

Als $\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}={\left(\frac{Z_1{Z}_2{e}^2}{8\pi {\epsilon }_{0}m{v}^2}\right)}^2\frac{1}{{\sin }^4\left(\frac{\vartheta }{2}\right)}$ ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik. Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung!!

Vorlage:Bemerkung

Systematische Störungsentwicklung

Man kann eine Bornsche Reihe Bilden. Dies ist die Iteration der Lippmann-Schwinger-Gleichung:

$\begin{array}{rl}& |{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩=|\mathrm{\Phi }⟩+\hat{R}|{\mathrm{\Psi }}^{(+)}⟩\\ & \hat{R}:={\hat{G}}_{+}{\hat{H}}^1\\ \end{array}$

Es ergibt sich:

$\begin{array}{rl}& |{\mathrm{\Psi }}^{(1)}⟩=|\mathrm{\Phi }⟩+\hat{R}|\mathrm{\Phi }⟩=(1+\hat{R})|\mathrm{\Phi }⟩\\ & \hat{R}:={\hat{G}}_{+}{\hat{H}}^1\\ \end{array}$ (Erste Bornsche Näherung)

$|{\mathrm{\Psi }}^{(2)}⟩=|\mathrm{\Phi }⟩+\hat{R}|{\mathrm{\Psi }}^{(1)}⟩=(1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R})|\mathrm{\Phi }⟩$ (Zweite Bornsche Näherung).

.. usw.......

$|\mathrm{\Psi }⟩=(1+\hat{R}+{\hat{R}}^2+{\hat{R}}^3+......)|\mathrm{\Phi }⟩$ (Bornsche Reihe)

Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.