Dirac- Gleichung für Elektronen: Unterschied zwischen den Versionen
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
*>SchuBot K Interpunktion, replaced: ! → ! (10), ( → ( (3) |
||
Zeile 9: | Zeile 9: | ||
:<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math> | :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math> | ||
Aufgrund der Lorentz- Invarianz( Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die Gleichung auch 1. Ordnung in <math>\frac{\partial }{\partial x}</math> | Aufgrund der Lorentz- Invarianz(Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die Gleichung auch 1. Ordnung in <math>\frac{\partial }{\partial x}</math> | ||
sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist. | sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist. | ||
Zeile 31: | Zeile 31: | ||
keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant. Statt dessen sind <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math> | keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant. Statt dessen sind <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math> | ||
Matrizen ( Operatoren !) und somit ist auch <math>\beta </math> | Matrizen (Operatoren!) und somit ist auch <math>\beta </math> | ||
eine Matrix | eine Matrix | ||
Zeile 43: | Zeile 43: | ||
einwirken. | einwirken. | ||
Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen ! | Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen! | ||
Es gilt: | Es gilt: | ||
Zeile 49: | Zeile 49: | ||
:<math>\Psi \in H={{H}_{B}}\otimes {{H}_{S}}</math> | :<math>\Psi \in H={{H}_{B}}\otimes {{H}_{S}}</math> | ||
Die Wellenfunktionen leben also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten Hilbertraum ! | Die Wellenfunktionen leben also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten Hilbertraum! | ||
Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor. | Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor. | ||
Dies ist der sogenannte SPINOR !! | Dies ist der sogenannte SPINOR!! | ||
:<math>\Psi =\left( \begin{matrix} | :<math>\Psi =\left( \begin{matrix} | ||
{{\Psi }_{1}} \\ | {{\Psi }_{1}} \\ | ||
. | |||
.. \\ | |||
{{\Psi }_{n}} \\ | {{\Psi }_{n}} \\ | ||
Zeile 69: | Zeile 69: | ||
und somit auch <math>\beta </math> | und somit auch <math>\beta </math> | ||
sind also nxn Matrizen ! | sind also nxn Matrizen! | ||
Dabei vertauschen die <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math> | Dabei vertauschen die <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math> | ||
Zeile 81: | Zeile 81: | ||
{{\Psi }_{1}} \\ | {{\Psi }_{1}} \\ | ||
. | |||
.. \\ | |||
{{\Psi }_{n}} \\ | {{\Psi }_{n}} \\ | ||
Zeile 110: | Zeile 110: | ||
Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math> | Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math> | ||
. | |||
Iteriert man die Dirac- Gleichung nun, so kann man die Eigenschaften von <math>\bar{\alpha },\beta </math> | |||
durch Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen: | durch Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen: | ||
Zeile 162: | Zeile 162: | ||
Sowohl die verschiedenen Komponenten von <math>\alpha </math> | Sowohl die verschiedenen Komponenten von <math>\alpha </math> | ||
, | |||
also <math>{{\alpha }^{\mu }}und{{\alpha }^{\nu }}</math> | |||
antikommutieren, wie auch <math>{{\alpha }^{\mu }}und\beta </math> | antikommutieren, wie auch <math>{{\alpha }^{\mu }}und\beta </math> | ||
Zeile 233: | Zeile 233: | ||
<u>'''Diskussion: n=2:'''</u> | <u>'''Diskussion: n=2:'''</u> | ||
Ist nicht möglich, da es nicht , wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und spurlose 2x2- Matrizen gibt ! | Ist nicht möglich, da es nicht, wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und spurlose 2x2- Matrizen gibt! | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Zeile 265: | Zeile 265: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen ! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im <math>{{R}^{2}}\otimes {{R}^{2}}</math> | Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im <math>{{R}^{2}}\otimes {{R}^{2}}</math> | ||
'''n=4''' | '''n=4''' | ||
Zeile 310: | Zeile 310: | ||
0 \\ | 0 \\ | ||
. | |||
.. \\ | |||
1 \\ | 1 \\ | ||
. | |||
.. \\ | |||
\end{matrix} \right)\leftarrow 1\ an\ s-ter\ Stelle \\ | \end{matrix} \right)\leftarrow 1\ an\ s-ter\ Stelle \\ | ||
Zeile 323: | Zeile 323: | ||
'''Bemerkung:''' | '''Bemerkung:''' | ||
In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor ! | In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor! | ||
Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor. | Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor. | ||
Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen ! | Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen! | ||
====Kontinuitätsgleichung==== | ====Kontinuitätsgleichung==== | ||
Zeile 376: | Zeile 376: | ||
Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden Wahrscheinlichkeitsdichte<math>\rho =\left( {{\Psi }^{+}}\Psi \right)=\sum\limits_{s=1}^{4}{{}}{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}\ge 0</math> | Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden Wahrscheinlichkeitsdichte<math>\rho =\left( {{\Psi }^{+}}\Psi \right)=\sum\limits_{s=1}^{4}{{}}{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}\ge 0</math> | ||
( glücklicherweise positiv definit) | (glücklicherweise positiv definit) | ||
und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte <math>{{j}^{\mu }}=c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)\quad \mu =1,2,3</math> | und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte <math>{{j}^{\mu }}=c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi \right)\quad \mu =1,2,3</math> |
Aktuelle Version vom 12. September 2010, 23:38 Uhr
Der Artikel Dirac- Gleichung für Elektronen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
Die zeitliche Entwicklung soll durch den Anfangszustand
eindeutig festgelegt sein.
Man benötigt also eine DGL 1. Ordnung in der zeit:
Aufgrund der Lorentz- Invarianz(Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die Gleichung auch 1. Ordnung in
sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist.
Dies motiviert das Konzept
Also folgt als verallgemeinerte Diracgleichung
mit
Aufgrund der Isotropie des Raumes können
keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant. Statt dessen sind
Matrizen (Operatoren!) und somit ist auch
eine Matrix
Wegen der Lorentz- Kovarianz können
einwirken.
Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen!
Es gilt:
Die Wellenfunktionen leben also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten Hilbertraum!
Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor.
Dies ist der sogenannte SPINOR!!
sind also nxn Matrizen!
mit dem Impuls:
Fazit:
Da die gefundene Gleichung Lorentz- Kovariant sein soll, müssen die sogenannten "Spinoren" eingeführt werden:
Hermitizität
sind hermitesch
hermitesch:
Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators .
Iteriert man die Dirac- Gleichung nun, so kann man die Eigenschaften von
durch Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen:
Außerdem weiß man aus der Klein- Gordon- Gleichung, dass:
Diese Gleichung kann aber nur allgemein übereinstimmen, wenn:
Dabei gilt insbesondere obige Relation
ohne Summation.
Aus dem Vergleich der iterierten Dirac- Gleichung mit der Klein- Gordon - Gleichung ersieht man also, dass man für fermionische Quanten unter Berücksichtigung relativistisch korrekter Beschreibung im Quantenformalismus Antikommutatoren einführen muss.
Sowohl die verschiedenen Komponenten von ,
also
als nxn- Matrix
Eigenschaften
ist zu interpretieren als "Zitterbewegung" des Elektrons
Beweis:
wegen zyklischer Vertauschbarkeit.
Durch die Antikommutatorrelationen gilt jedoch auch:
Weitere Einschränkungen:
Dies bedeutet jedoch, dass n gerade ist.
Diskussion: n=2:
Ist nicht möglich, da es nicht, wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und spurlose 2x2- Matrizen gibt!
Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im
n=4
Ist also die minimal erforderliche Größe der Darstellung. Eine mögliche spezielle Wahl in Blockmatrix- Darstellung wäre:
Also schreibt sich der Zustand
Bemerkung:
In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor!
Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor.
Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen!
Kontinuitätsgleichung
gewinnt man :
Und durch Subtraktion der Gleichungen:
Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden Wahrscheinlichkeitsdichte
(glücklicherweise positiv definit)
und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte
In Viererschreibweise einfach als Kontinuitätsgleichung
mit