Das hamiltonsche Wirkungsprinzip

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das hamiltonsche Wirkungsprinzip basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Voraussetzung:

• holonome (integrable) Zwangsbed. → Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten (q1,..., qf)
• konservative Kräfte → Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion
• $L(q_1,...q_f,{\dot{q}}_1,...,{\dot{q}}_f,t)=T-V$

Nehmen wir nun die Lgrangegleichung als Funktional:

$F=L(q_1,...q_f,{\dot{q}}_1,...,{\dot{q}}_f,t)=T-V$

Nun ist auch das Variationsprinzip auf mehrere Variablen zu verallgemeinern:

Die entstehende Euler- Lagrange- Gleichung entspricht einer Lagrangegleichung 2. Art

Integralprinzip entspricht dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip

Somit erhalten wir bei Integration über die Zeit ein Wirkungsfunktional:

$\begin{array}{rl}& \delta W=0\\ & W:=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dtF=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dtL(q_1,...q_f,{\dot{q}}_1,...,{\dot{q}}_f,t)=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dtT-V\\ \end{array}$

Bei Berechnung der Variation erhalten wir:

$\begin{array}{rl}& \delta W=0\\ & \delta W=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dtF=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\sum _{k=1}^f\{\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k(t)+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\frac{d}{dt}\delta q_k(t)\}\\ & \delta W=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\sum _{k=1}^f\{\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\}\delta q_k(t)=0\\ \end{array}$

Da auch hier wieder völlig frei in q variiert werden kann (gilt für beliebige

$\delta q_k(t),k=1,...,f$)

gilt als Lagrangegleichung 2. Art:

$\frac{\partial L}{\partial q_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}=0$

Beispiel: eindimensionaler Oszi

$\begin{array}{rl}& L=T-V=\frac{m}{2}{\dot{q}}^2-\frac{m{\omega }^2}{2}{q}^2\\ & \delta W=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\delta \{\frac{m}{2}{\dot{q}}^2-\frac{m{\omega }^2}{2}{q}^2\}\\ \end{array}$

Mit Hilfe:

$\delta q^2=2q\delta q$

ergibt sich:

$\delta W=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt\{-\frac{d}{dt}m\dot{q}-m{\omega }^{2}q\}\delta q=0$

$\begin{array}{rl}& m\ddot{q}-m{\omega }^{2}q=0\\ & \ddot{q}+{\omega }^{2}q=0\\ \end{array}$

Unterschiede zum d´Alembertschen Prinzip

Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Integralprinzip. Das heißt, die integrierte Summe aller Variationen ist extremal, die tatsächliche Bahn (gesamte Bahn) wird also mit einer differenziell benachbarten Bahn verglichen).

Das Hamiltonsche Prinzip unterliegt dem teleologischen Prinzip. Es ist zweckgebunden. Der Zweck betrifft dabei die Eigenschaften der gesamten Bahn.

Außerdem ist das Hamiltonprinzip völlig unabhängig von der Koordinatenwahl.

Wirkung = Energie X Zeit

Wirkung = Impuls X Ort

Vergleiche dazu: Plancksches Wirkungsquantum!

Die Wirkung ist also quantisiert. Zwischen den Größen, die eine Wirkung best9mmen entsteht eine Unschärfe. Somit ist die Wirkung quantisiert und sucht sich in der Natur ein Minimum.

Allgemein kann man das Hamil5tonsche Wirkungsprinzip natürlich auch formulieren, wenn die Zwangsbedingungen beliebig (nichtholonom) sind und die eingeprägten Kräfte nicht konservativ:

Seien die eingeprägten Kräfte (nicht konservativer Art) von der Form:

${\overline{X}}_i$

So gilt mit

$\delta A=\sum _i{\overline{X}}_i\delta {\overline{r}}_i$

$\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}dt(\delta T+\delta A)=0$