Elektrisches Feld und Potenziale

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Elektrisches Feld und Potenziale basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Lineare Superposition (4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen $q_i$ bei ${\overline{r}}_i$, i=1,2,... auf die Ladung $q_{}$ bei ${\overline{r}}_{}$:

${{\overline{F}}_e}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i\frac{q{q}_i}{{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}^2}\frac{\overline{r}-{\overline{r}}_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}$

Darüber wird das elektrische Feld definiert:

$q\cdot \overline{E}\equiv {{\overline{F}}_e}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i\frac{q{q}_i}{{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}^2}\frac{\overline{r}-{\overline{r}}_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}$

Also:

$\overline{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i\frac{q_i}{{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}^2}\frac{\overline{r}-{\overline{r}}_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}$

Warum ist die Elektrodynamik eine Feldtheorie ?

• Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen (maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.
• Das Feld $\overline{E}(\overline{r})$ ist der physikalische Zustand des leeren Raumes bei $\overline{r}$.
• Eigenständige Felddynamik (partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung (Retardierungseffekte)
• Feld muss Impuls, Drehimpuls und Energie aufnehmen und abgeben können.

Einheit:

$\begin{array}{rl}& \left[E\right]=\frac{N}{C}=\frac{kgm}{C{s}^2}=\frac{V}{m}\\ & 1V:=1\frac{kg{m}^2}{C{s}^2}\\ \end{array}$

Das Volt ist benannt nach A. Volta (1745 - 1887)

Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:

Dabei sollte q→ 0, damit keine Rückwirkung auf $q_i$ erfolgt.

Unter Berücksichtigung des Selbstkonsistenzproblems müsste man also schreiben:

$[\overline{E}(\overline{r})]=\begin{array}{c}\lim \\ q\to 0\\ \end{array}\frac{1}{q}\overline{F}(\overline{r})$

Das Elektrostatische Potenzial

Mit

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\frac{1}{r\stackrel{´}{}}=-\frac{1}{r{\stackrel{´}{}}^3}\overline{r}\stackrel{´}{}\\ & r\stackrel{´}{}:=|\overline{r}-{\overline{r}}_i|\\ \end{array}$

Läßt sich schreiben:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i^{}\frac{q_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i{|}^3}(\overline{r}-{\overline{r}}_i)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r})\\ & \mathrm{\Phi }(\overline{r}):=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i^{}\frac{q_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}\\ \end{array}$

Mit dem elektrostatischen Potenzial

$\mathrm{\Phi }(\overline{r}):=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _i^{}\frac{q_i}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}$,

Einheit : 1 V

Kontinuierliche Ladungsverteilung

$\begin{array}{rl}& q_i\to d^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & \sum _i^{}{q}_i\to \underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Mit der Ladungsdichte

$\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})$.

Diese muss beschränkt sein und

$O\left(r^{-3-\epsilon }\right),\epsilon >0$

für

$r\to \mathrm{\infty }$.

Es wird

Bei Verteilung von Punktladungen:

$\rho (\overline{r}\stackrel{´}{})=\sum _i^{}{q}_i\delta (\overline{r}\stackrel{´}{}-{\overline{r}}_i)=\sum _i^{}{q}_i\prod _{j=1}^3\delta (x_j\stackrel{´}{}-{x_j}_i)$

Quellen des elektrischen Feldes

Bei Punktladung q bei

$\overline{r}\stackrel{´}{}=0\Rightarrow \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\cdot \frac{\overline{r}}{r}$

Legt man eine geschlossene Oberfläche S um q, so beobachtet man einen elektrischen Kraftfluss:

${\mathrm{\Phi }}_e={\oint }_{S}d\overline{f}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot {\oint }_S\frac{d\overline{f}\cdot \overline{r}}{r^3}={\oint }_{S}df{E}_n(\overline{r})$

als geschl. Flächenintegral über die Normalkomponenten des austretenden elektrischen Feldes

${\mathrm{\Phi }}_e={\oint }_{S}df|\overline{E}(\overline{r})|\cos \mathrm{\Theta }$

$d\overline{f}$ entspricht einem Raumwinkel

$d\mathrm{\Omega }:d\overline{f}\cdot \overline{r}=df\cdot r\cdot \cos \mathrm{\Theta }=r^{3}d\mathrm{\Omega }$

${\mathrm{\Phi }}_e={\oint }_{S}d\overline{f}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot {\oint }_{S}d\mathrm{\Omega }=\frac{q}{{\epsilon }_0}$

$\Rightarrow {\epsilon }_0{\oint }_{S}d\overline{f}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=q$

Dies kann leicht auf kontinuierliche Ladungsverteilungen verallgemeinert werden:

$\Rightarrow {\epsilon }_0{\oint }_{\partial V}d\overline{f}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)$

Der Fluß des elektrischen Feldes einer von $S=\partial V$ eingeschlossenen Gesamtladung

Integralform des Coulomb- Gesetzes

Der Gaußsche Integralsatz

Satz:

${\oint }_{\partial V}d\overline{f}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}rdiv\overline{E}\left(\overline{r}\right)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)$

wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet!

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho \left(\overline{r}\right)={\epsilon }_0\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)\\ & \Rightarrow {\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\rho \left(\overline{r}\right)\\ \end{array}$

Die untere, differenzielle Form gilt deshalb, da die obere, integral Form für beliebige Volumina V gilt.

${\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\rho \left(\overline{r}\right)$

sagt jedoch nichts anderes als dass die Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind. Dies ist allgemeingültig uns gilt insbesondere auch für nichtstationäre

$\overline{E}\left(\overline{r}\right),\rho \left(\overline{r}\right)$

Äquivalente Aussagen der Elektrostatik

• $\overline{E}\left(\overline{r}\right)$ besitzt ein skalares Potenzial $\overline{E}\left(\overline{r}\right)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r})$

• $\underset{1}{\overset{2}{\int }}d\overline{s}\overline{E}\left(\overline{r}\right)$, also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen ist wegunabhängig

• $\mathrm{\nabla }\times \overline{E}\left(\overline{r}\right)=0$ : Das statische elektrische Feld ist wirbelfrei

Es gilt:

$1)\iff 2)\iff 3)$

Beweis:

$1)\iff 3)$

Stokescher Satz:

Satz:

$0={\oint }_{\partial F}d\overline{s}\cdot \overline{E}\left(\overline{r}\right)=\underset{F}{\overset{}{\int }}\mathrm{\nabla }\times \overline{E}\left(\overline{r}\right)d\overline{f}$

für beliebige Flächen F mit einer Umrandung

$\partial F$.