Energiebilanz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Energiebilanz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung

$\begin{array}{rl}& \dot{\rho }+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=0\\ & \dot{\rho }+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=\mathrm{\nabla }\cdot (\dot{\overline{D}}+\overline{j})=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{H})=0\\ \end{array}$

Frage:

Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls. (Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)

Energietransport durch das elektromagnetische Feld:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}+\dot{\overline{B}}=0|\cdot \overline{H}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{H}-\dot{\overline{D}}=\overline{j}|\cdot \overline{E}\\ & \Rightarrow \overline{H}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})-\overline{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{H})+\overline{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{B}+\overline{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=-\overline{j}\cdot \overline{E}\\ & \overline{H}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})-\overline{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{H})=\mathrm{\nabla }\cdot (\overline{E}\times \overline{H})\\ & \overline{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2{\mu }_0}{\overline{B}}^2\right)\\ & \overline{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{D}={\epsilon }_0\overline{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{E}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2\right)\\ \end{array}$

Also:

$\frac{\partial }{\partial t}w+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{S}=-\overline{j}\cdot \overline{E}$

Als Kontinuitätsgleichung (Bilanzgleichung) für den Energietransport

mit

$w:=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2{\mu }_0}{\overline{B}}^2\right)+\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2\right)=\frac{1}{2}(\overline{E}\cdot \overline{D}+\overline{B}\cdot \overline{H})$

Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes Remember:

Elektrostatik:

$\frac{1}{2}\overline{E}\cdot \overline{D}$

Magnetostatik:

$\frac{1}{2}\overline{B}\cdot \overline{H}$

$\overline{S}:=\overline{E}\times \overline{H}$

als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes (Poynting- Vektor)

$\sigma =-\overline{j}\cdot \overline{E}$

als Quelldichte der Feldenergie (Leistungsdichte)

$\overline{j}\cdot \overline{E}>0$

bedingt die Abnahme der Feldenergie bei

$(\overline{r},t)$

$\overline{j}\cdot \overline{E}<0$

bedingt die Zunahme der Feldenergie bei

$(\overline{r},t)$

Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder

$\overline{E},\overline{B}$

Kraft auf die Ladung q:

$\overline{F}=q(\overline{E}+\overline{v}\times \overline{B})$

Kraftdichte:

$\overline{f}=\rho (\overline{E}+\overline{v}\times \overline{B})$

Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte

$\rho$

folgt:

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\overline{v}=\rho \overline{v}(\overline{E}+\overline{v}\times \overline{B})=\rho \overline{v}\overline{E}+\rho \overline{v}(\overline{v}\times \overline{B})\\ & \rho \overline{v}(\overline{v}\times \overline{B})=0\\ & \Rightarrow \overline{f}\overline{v}=\rho \overline{v}\overline{E}=\overline{j}\overline{E}\\ \end{array}$

Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht

Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird (sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)

Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße!!

Beispiel: Ohmsches Gesetz:

$\sigma \cdot \overline{E}=\overline{j}$

mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT

$\sigma >0$

(nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)

Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ. Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder

$\overline{E}$

Die Energiebilanz lautet:

$\frac{\partial }{\partial t}w+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{S}=-\sigma \cdot {\overline{E}}^2<0$

Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie! Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant!

Das bedeutet:

$\begin{array}{rl}& t\to -t\\ & \overline{j}\to -\overline{j}\\ & aber\\ & \overline{E}\to \overline{E}\\ \end{array}$

$\sigma \cdot {\overline{E}}^2>0$

wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert

2. Beispiel:

Antennenstrahlung (offenes System)

$\overline{j}$

in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld

$\overline{E}$

außerhalb entgegengesetzt.

$\Rightarrow \overline{j}\overline{E}<0$

$\Rightarrow$

Energiegewinn des Feldes