Transformationsverhalten der Ströme und Felder

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Transformationsverhalten der Ströme und Felder basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum

Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie!!

Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt!

Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:

$\begin{array}{rl}& div\overline{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial j_x}{\partial x}+\frac{\partial j_y}{\partial y}+\frac{\partial j_z}{\partial z}+\frac{\partial c\rho }{\partial ct}=0\\ & 0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{\alpha =1}^3{\partial }_{\alpha }{j}^{\alpha }\\ \end{array}$

Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich

${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$

in Viererschreibweise. Die Vierer- Stromdichte ist

$\left\{j^{\mu }\right\}=\{c\rho ,\overline{j}\}$

ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor. Er heißt Vierer- Stromdichte. Die Kontinuitätsgleichung ist gleich

${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$

Forderung: Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten! →

$j^{\mu }=0$

muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt

${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$

Lorentz- invariant ist!:

$\begin{array}{rl}& x^0\stackrel{´}{}=\gamma (x^0-\beta x^1)\iff t\stackrel{´}{}=\gamma (t-\frac{v}{c^2}{x}^1)\\ & x^1\stackrel{´}{}=\gamma (x^1-\beta x^0)\iff x^1\stackrel{´}{}=\gamma (x^1-vt)\\ & x^2\stackrel{´}{}=x^2\\ & x^3\stackrel{´}{}=x^3\\ \end{array}$

Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:

$\begin{array}{rl}& j^0\stackrel{´}{}=\gamma (j^0-\beta j^1)\iff \rho \stackrel{´}{}=\gamma (\rho -\frac{v}{c^2}{j}^1)\\ & j^1\stackrel{´}{}=\gamma (j^1-\beta j^0)\iff j^1\stackrel{´}{}=\gamma (j^1-v\rho )\\ & j^2\stackrel{´}{}=j^2\\ & j^3\stackrel{´}{}=j^3\\ \end{array}$

Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo. Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.

4- Potenziale:

Die Potenziale

$\mathrm{\Phi },\overline{A}$

sind in der Lorentz- Eichung

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\varphi =0$

Lösungen von

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\\ & \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\\ & \#=-{\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\\ & {\mu }_{0}c=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}\\ & \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\iff {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }c{A}^{\alpha }=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\alpha }\\ & \alpha =1,2,3\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }\varphi (\overline{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\varphi (\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=-{\mu }_0{c}^2\rho \\ & \#\varphi (\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\iff {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\varphi =\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^0\\ \end{array}$

Zusammen:

$\begin{array}{rl}& -\#{\mathrm{\Phi }}^{\mu }={\partial }_{\alpha }{\partial }^{\alpha }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }={\mu }_0{j}^{\mu }\\ & {\mathrm{\Phi }}^0:=\varphi \\ & {\mathrm{\Phi }}^i:=c{A}^{i}i=1..3\\ \end{array}$

Da

$j^{\mu }$

Vierervektoren sind (wie Vierervektoren transformieren), muss auch

${\mathrm{\Phi }}^{\mu }$

wie ein Vierervektor transformieren. Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:

${\partial }_{\alpha }{\partial }^{\alpha }$

lorentz- invariant!:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Phi }}^0\stackrel{´}{}=\gamma ({\mathrm{\Phi }}^0-\beta {\mathrm{\Phi }}^1)bzw.\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}=\gamma (\mathrm{\Phi }-v{A}^1)\\ & {\mathrm{\Phi }}^1\stackrel{´}{}=\gamma ({\mathrm{\Phi }}^1-\beta {\mathrm{\Phi }}^0)bzw.A{\stackrel{´}{}}^1=\gamma (A^1-\frac{v}{c^2}\mathrm{\Phi }),A^{\stackrel{´}{}2}=A^2,A{\stackrel{´}{}}^3=A^3\\ \end{array}$

Nun: Lorentz- Eichung:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\varphi =0$

Lorentz- Eichung ↔ Lorentz- Invarianz

${\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }=0$

(Gegensatz zur Coulomb- Eichung)

${\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }=0\iff \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\varphi =0$

Umeichung:

$\begin{array}{rl}& \tilde{\overline{A}}=\overline{A}+\mathrm{\nabla }F\\ & \tilde{\varphi }=\varphi -\frac{\partial }{\partial t}F\\ & \iff \\ & c{\tilde{A}}^{\alpha }=c{A}^{\alpha }+{\partial }_{\alpha }cF=c{A}^{\alpha }-{\partial }^{\alpha }cF\\ & {\tilde{\mathrm{\Phi }}}^0={\mathrm{\Phi }}^0-{\partial }_{0}cF={\mathrm{\Phi }}^0-{\partial }^{0}cF\\ \end{array}$

Also:

${\tilde{\mathrm{\Phi }}}^{\mu }={\mathrm{\Phi }}^{\mu }-{\partial }^{\mu }cF$

Felder E und B:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}=-grad\varphi -\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}\\ & \Rightarrow E^{\alpha }=-{\partial }_{\alpha }\varphi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}c{A}^{\alpha }=-{\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Phi }}^0-{\partial }_0{\mathrm{\Phi }}^{\alpha }={\partial }^{\alpha }{\mathrm{\Phi }}^0-{\partial }^0{\mathrm{\Phi }}^{\alpha }\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\\ & \Rightarrow c{B}^1={\partial }_{2}c{A}^3-{\partial }_{3}c{A}^2={\partial }_2{\mathrm{\Phi }}^3-{\partial }_3{\mathrm{\Phi }}^2={\partial }^3{\mathrm{\Phi }}^2-{\partial }^2{\mathrm{\Phi }}^3\\ \end{array}$

Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:

$\begin{array}{rl}& c{B}^2={\partial }^1{\mathrm{\Phi }}^3-{\partial }^3{\mathrm{\Phi }}^1\\ & c{B}^3={\partial }^2{\mathrm{\Phi }}^1-{\partial }^1{\mathrm{\Phi }}^2\\ \end{array}$

Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:

$\begin{array}{rl}& \left\{F_{\mu \nu }\right\}=\{{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Phi }}_{\mu }\}=\left(\begin{array}{cccc}0& \frac{1}{c}{E}_x& \frac{1}{c}{E}_y& \frac{1}{c}{E}_z\\ -\frac{1}{c}{E}_x& 0& -B_z& B_y\\ -\frac{1}{c}{E}_y& B_z& 0& -B_x\\ -\frac{1}{c}{E}_z& -B_y& B_x& 0\\ \end{array}\right)\\ & F^{\mu \nu }=\{{\partial }^{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }\}=\left(\begin{array}{cccc}0& -\frac{1}{c}{E}_x& -\frac{1}{c}{E}_y& -\frac{1}{c}{E}_z\\ \frac{1}{c}{E}_x& 0& -B_z& B_y\\ \frac{1}{c}{E}_y& B_z& 0& -B_x\\ \frac{1}{c}{E}_z& -B_y& B_x& 0\\ \end{array}\right)\\ & \iff F^{\mu \nu }=\{{\partial }^{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }\}=\left(\begin{array}{cccc}0& -E^1& -E^2& -E^3\\ E^1& 0& -c{B}^3& c{B}^2\\ E^2& c{B}^3& 0& -c{B}^1\\ E^3& -c{B}^2& c{B}^1& 0\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Wegen der Antisymmetrie hat

$F^{\mu \nu }$

nur 6 unabhängige Komponenten!

Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen

$rot\overline{A}=\overline{B}$

während die Raum- zeit- Komponenten:

$\overline{E}=-grad\varphi -\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}$

erfüllen.

Lorentz- Trafo der Felder:

Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation. Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit

$\overline{v}$

bewegtes System K´ gilt:

$F_{}{\stackrel{´}{}}^{\mu \nu }={U^{\mu }}_{\lambda }{U^{\nu }}_{\kappa }{F}^{\lambda \kappa }$

${U^i}_k=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$

Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder

$\overline{E}$ und $rot\overline{A}=\overline{B}$

berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden!!

$\begin{array}{rl}& E{\stackrel{´}{}}^1=F{\stackrel{´}{}}^{10}={U^1}_{\lambda }{U^0}_{\kappa }{F}^{\lambda \kappa }=-\beta \gamma {U^0}_{\kappa }{F}^{0\kappa }+\gamma {U^0}_{\kappa }{F}^{1\kappa }={\left(\beta \gamma \right)}^2{F}^{01}+{\gamma }^2{F}^{10}=\\ & ={\gamma }^2(1-{\beta }^2)F^{10}=E^1\\ & {\gamma }^2(1-{\beta }^2)=1\\ & \\ & E{\stackrel{´}{}}^2=F{\stackrel{´}{}}^{20}={U^2}_{\lambda }{U^0}_{\kappa }{F}^{\lambda \kappa }={U^0}_{\kappa }{F}^{2\kappa }=\gamma F^{20}-\beta \gamma F^{21}=\gamma (E^2-v{B}^3)\\ \end{array}$

$E{\stackrel{´}{}}^3=F{\stackrel{´}{}}^{30}={U^0}_{\kappa }{F}^{3\kappa }=\gamma F^{30}-\beta \gamma F^{31}=\gamma (E^3+v{B}^2)$

$\begin{array}{rl}& B{\stackrel{´}{}}^1=\frac{1}{c}F{\stackrel{´}{}}^{32}=\frac{1}{c}{U^3}_{\lambda }{U^2}_{\kappa }{F}^{\lambda \kappa }=\frac{1}{c}{F}^{32}=B^1\\ & B{\stackrel{´}{}}^2=\frac{1}{c}F{\stackrel{´}{}}^{13}=\frac{1}{c}{U^1}_{\lambda }{U^3}_{\kappa }{F}^{\lambda \kappa }=\frac{1}{c}{U^1}_{\kappa }{F}^{\kappa 3}=-\frac{\beta \gamma }{c}{F}^{03}+\frac{\gamma }{c}{F}^{13}=\gamma (B^2+\frac{v}{c^2}{E}^3)\\ \end{array}$

$B{\stackrel{´}{}}^3=\gamma (B^3-\frac{v}{c^2}{E}^2)$

Zusammenfassung

$\begin{array}{rl}& E^1\stackrel{´}{}=E^1\\ & E^2\stackrel{´}{}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(E^2-v{B}^3)\\ & E^3\stackrel{´}{}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(E^3+v{B}^2)\\ & B^1\stackrel{´}{}=B^1\\ & B^2\stackrel{´}{}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(B^2+\frac{v}{c^2}{E}^3)\\ & B^3\stackrel{´}{}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(B^3-\frac{v}{c^2}{E}^2)\\ \end{array}$

Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert!

Umeichung:

${\tilde{\mathrm{\Phi }}}^{\mu }={\mathrm{\Phi }}^{\mu }+{\partial }^{\mu }\varphi$

Somit:

$\begin{array}{rl}& {\tilde{F}}^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{\tilde{\mathrm{\Phi }}}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\tilde{\mathrm{\Phi }}}^{\mu }={\partial }^{\mu }({\mathrm{\Phi }}^{\nu }+{\partial }^{\nu }\varphi )-{\partial }^{\nu }({\mathrm{\Phi }}^{\mu }+{\partial }^{\mu }\varphi )\\ & ={\partial }^{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }+{\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }\varphi -{\partial }^{\nu }{\partial }^{\mu }\varphi =F^{\mu \nu }\\ \end{array}$

Homogene Maxwell- Gleichungen

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}={\partial }_1{B}^1+{\partial }_2{B}^2+{\partial }_3{B}^3=0\\ & \Rightarrow {\partial }_1{F}^{32}+{\partial }_2{F}^{13}+{\partial }_3{F}^{21}=0\\ & \\ \end{array}$

Mit

$\begin{array}{rl}& {\partial }_1=-{\partial }^1\\ & F^{32}=-F^{23}\\ & \Rightarrow {\partial }^1{F}^{23}+{\partial }^2{F}^{31}+{\partial }^3{F}^{12}=0\\ & \\ \end{array}$

+ zyklisch in (123)

innere Feldgleichung für E- Feld

$\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}$

1. Komponente

${\partial }_2{E}^3-{\partial }_3{E}^2+\frac{\partial }{\partial t}{B}^1=0$

$\Rightarrow {\partial }^0{F}^{23}+{\partial }^2{F}^{30}+{\partial }^3{F}^{02}=0$

und zyklisch (023)

zyklische Permutation 1 → 2 → 3 → 1 und mit

$F^{ik}=-F^{ki}$

liefert:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow {\partial }^0{F}^{13}+{\partial }^3{F}^{01}+{\partial }^1{F}^{30}=0zyklisch(013)\\ & \Rightarrow {\partial }^0{F}^{12}+{\partial }^1{F}^{20}+{\partial }^2{F}^{01}=0zyklisch(012)\\ \end{array}$

Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen

${\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }{\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \nu }=0$

${\epsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }{\partial }^{\lambda }{F}^{\mu \nu }=0$

Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet!

Levi- Civita- Tensor: +1 für gerade Permutation von 0123 -1 für ungerade Permutation von 0123 0, sonst

Bemerkungen

1. Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch (per Definition).

2. ${\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }$
3. transformiert unter Lorentz- Trafo

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }\stackrel{´}{}={U^{\kappa }}_{\alpha }{U^{\lambda }}_{\beta }{U^{\mu }}_{\gamma }{U^{\nu }}_{\delta }{\epsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }\\ & =\left|\begin{array}{cccc}{U^{\kappa }}_0& {U^{\kappa }}_1& {U^{\kappa }}_2& {U^{\kappa }}_3\\ {U^{\lambda }}_0& {U^{\lambda }}_1& {U^{\lambda }}_2& {U^{\lambda }}_3\\ {U^{\mu }}_0& {U^{\mu }}_1& {U^{\mu }}_2& {U^{\mu }}_3\\ {U^{\nu }}_0& {U^{\nu }}_1& {U^{\nu }}_2& {U^{\nu }}_3\\ \end{array}\right|=(\det U)\cdot {\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }\\ & (\det U)=\pm 1\\ \end{array}$

Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also

${\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }\stackrel{´}{}={\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }$,

muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet

${\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }\stackrel{´}{}=(\det U){U^{\kappa }}_{\alpha }{U^{\lambda }}_{\beta }{U^{\mu }}_{\gamma }{U^{\nu }}_{\delta }{\epsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }$

Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor!

Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:

${(\mathrm{\nabla }\times \overline{A})}_{\alpha }={\epsilon }^{\alpha \beta \gamma }{\partial }_{\beta }{A}_{\gamma }$

Mit Pseudovektor

${(\mathrm{\nabla }\times \overline{A})}_{\alpha }$