Grenzfälle der Dichtematrixgleichungen

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

Der Artikel Grenzfälle der Dichtematrixgleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 5) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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Ableitung der Ratengleichugnen

Ratengleichungen sind dynamische Gleichungen dfür die Bestzungswahrscheinlichkeiten ${\rho }_{nn}={\rho }_n$ die qnatenmechanischen Übergangswahrscheinlichketen ${\rho }_{nm}$ mit $n\ne m$ werden dabei vernachlässigt, also auch bestimmte Aspektee der Quantentehorie:

Stöße werden nicht zeitlich aufgelöst

Start:

$\mathfrak{i}\hslash {\rho }_{nn}=\sum _m(V_{nm}{\rho }_{nm}-V_{mn}{\rho }_{nm})$ (Diagonalelemente von ${\rho }_{nn}$)

koppeln an Nichtdiagonalelemente

$\mathfrak{i}\hslash {\rho }_{mn}=({ϵ}_n-{ϵ}_m){\rho }_{nm}+\sum _i(V_{mi}{\rho }_{in}-V_{in}{\rho }_{mi})$

müssten eigentlich selbstkonsistent gelöst werden. kommt aus $H=H_0+V$ wobei $V$ Stöße oder schwach zeitlich abhängiges Feld sind

wie bekommt man Gleichungen für ${\rho }_{nm}$ allein?

naiv: Nichdiagonalemente in ${\dot{\rho }}_{nm}$ weglassen $({\rho }_{nm}\to {\delta }_{nm}{\rho }_{nm})$ dann rechte Seite = 0 --> also nicht zielführend.

besser: iteriere die Gleichung für ${\rho }_{mn}$'s unter besserer Näherung zu kriegen

löse ${\partial }_t{\rho }_{mn}=-i({\omega }_m-{\omega }_n){\rho }_{m}n-iQ(t)$ mit $\omega =\frac{ϵ}{\hslash },Q(t)=su{m}_i(V_{mi}{\rho }_{in}-V_{in}{\rho }_{mi})$