Entropie und Ökologie

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Entropie und Ökologie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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1. Stahl: " Du sollst nicht leichtfertig Entropie erzeugen " (Thermodynamische Grundlagen einer ökologischen Ethik)

S. Daecke : Naturwissenschaft und Religion

Hier soll auf die ökologische Bedeutung der Entropie als Maß für den Anteil an Energie, der in eine nicht mehr beliebig nutzbare Form verwandelt wurde, eingegangen werden.

Durchschnittlicher Energieverbrauch eines Mitteleuropäers:

150 kWh / Tag (umgerechnet von allem, was man verbraucht)

Aber: Energie ist Erhaltungsgröße! → wird nicht verbraucht, sondern in "Wärmemüll" verwandelt

• Wertverlust der Energie

" Energieverbrauch" = Umwandlung von höher- in niedrig- wertige Energie

Quantitativer Wertmaßstab: Entropie (2. Hauptsatz)

Wertverlust = Entropiezuwachs

Beispiele

• Umweltverschmutzung → Entropiezuwachs (z.B. Verteilung von in Wasser gelösten Schadstoffen auf eine größere Wassermenge) → Mischungsentropie!

• Ausrottung von Tier- und Pflanzenarten → Zerstörung der genetischen Information → Zuwachs der Informationsentropie:
• ${10}^{-22}J/K$
• pro bit!

• Wärmeverlust der Heizung eines Hauses:

$S_i=\frac{Q}{T_i}<S_a=\frac{Q}{T_a}$ da $T_i>T_a$

• Entropieproduktion in der Wand:

$\mathrm{\Delta }S=Q(\frac{1}{T_a}-\frac{1}{T_i})$

Allgemein:

Wertverlust beim Verbrauch von Entropie und Rohstoffen = Entropieproduktion

Ökologisch sinnvoll: Entropiesteuer!

Offene dissipative Systeme:

derartige Systeme, Lebewesen, die Ökonomie oder auch das System Erde werden

• versorgt:
• mit einem Energiefluss / Materiefluss, der klar entropiearm ist.

• entsorgt
• durch einen entropiereichen Strom (Entropieabfuhr = Müllabfuhr!) im Rahmen der Erhaltungssätze

Entropie bei irreversiblen Prozessen: Keine Erhaltungsgröße!

• Möglichkeit der Definition von Irreversibilität

Beispiele:

1. irreversible Wärmekraftmaschine

Das System erhält aus T2 einen entropiebeladenen Energiefluss (= Wärmeaufnahme) in Form des Wärmestroms Q2

• aus dem System entweicht Arbeit. für dQ=0, also reine mechanische sonstige Arbeit, handelt es sich hier um einen entropiefreien Energiefluss (Exergie)

mit -Q1 erfolgt dann der Wärmefluss zur Entropieentsorgung (= Anergie) (durch Entropie verschmutzte Energie)

(Anergie)

• je nachdem, welche Form von Energie kommt / Entwicht, kann diese Energie entropiearm oder entropiereich sein! Je nachdem, welche Möglichkeiten der Umwandlung diese Energie bietet

Bsp. Stern: Wärme im Stern ist entropiereich, aber die Strahlungsleistung ist energiearm → Entropie des Sterns steigt, weil die entropiearme Strahlung entkommt!

Energiebilanz:

$Q_1+Q_2+W=0$

Entropieabgabe:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }S=\frac{-Q_1}{T_1}=\frac{Q_2}{T_2}+S_{\mathrm{\int }.}\\ & S_{\mathrm{\int }.}>0\\ \end{array}$ mit $S_{\mathrm{\int }.}>0$

wird die Irreversibilität erzeugt. Es handelt sich um die irreversibel in der Maschine erzeugte Entropie!

Es ergibt sich als irreversibler Wirkungsgrad:

Allgemeingültig:

${\eta }_{irr}=\frac{-W}{Q_2}=1+\frac{Q_1}{Q_2}$

wegen:

$\begin{array}{rl}& \frac{-Q_1}{T_1}=\frac{Q_2}{T_2}+S_{\mathrm{\int }.}\\ & \Rightarrow \frac{Q_1}{Q_2}=-\frac{T_1}{T_2}-\frac{T_1}{T_2}{S}_{\mathrm{\int }.}\\ \end{array}$

folgt:

$\begin{array}{rl}& {\eta }_{irr}=\frac{-W}{Q_2}=1+\frac{Q_1}{Q_2}\\ & =1-\frac{T_1}{T_2}-\frac{T_1}{T_2}{S}_{\mathrm{\int }.}\\ \end{array}$

ii) Müllentsorgung

Müll = entropiereiche Materie

Zerstreuung und Vermischung von Materie

• Erzeugung materieller Entropie

Beispiel: Ng Getränkedosen, Nj Jogurthbecher, Nm Milchtüten usw... in der Mülltonne:

Insgesamt: N=Ng+Nj+Nm Gegenstände in der Mülltonne

Vorher:

Entropie von 1 Getränkedose, herausgegriffen aus einer Ansammlung von Ng

S=$-k\ln \frac{1}{N_g}$

Denn: Phasenraumvolumen ist Ng!

Entropie von Ng Getränkedosen insgesamt ist also:

$S=-k{N}_g\ln \frac{1}{N_g}$

Die Entropie von Ni Gegegenständen (i=1..3) geordnet in 3 Behältern folgt damit als:

$S_{vor}=-k\sum _{i=1}^3{N}_i\ln \frac{1}{N_i}$

Nachher

Entropie von $N=\sum _{i=1}^3{N}_i$

Gegenständen nach der Vermischung:

$S_{nach}=-k\sum _{i=1}^3{N}_i\ln \frac{1}{N}=-kN\ln \frac{1}{N}$

Also ergibt sich eine Mischungsentropie von

$\begin{array}{rl}& S_{mix}=S_{nach}-S_{vor}=-k\sum _{i=1}^3{N}_i(\ln \frac{1}{N}-\ln \frac{1}{N_i})=-k\sum _{i=1}^3{N}_i\ln \frac{N_i}{N}\\ & \frac{N_i}{N}<1\\ & \Rightarrow S_{mix}>0\\ \end{array}$

Interpretation

Stirling- Formel:

$\ln (n!)\approx n\ln n$

für sehr große n

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow S_{mix}=S_{nach}-S_{vor}=-k\sum _{i=1}^3{N}_i\ln \frac{N_i}{N}=-k(\sum _{i=1}^3{N}_i\ln N_i-N\ln N)\approx -k(\sum _{i=1}^3\ln N_i!-\ln N!)\\ & =k\ln \left(\frac{N!}{N_g!N_m!N_J!}\right)\\ & \frac{N!}{N_g!N_m!N_J!}=\mathrm{\Omega }\\ \end{array}$

$\mathrm{\Omega }$

ist dabei die Zahl der Möglichkeiten der Anordnung der N Objekte in der Mülltonne.

Also: Entropie eines Systems = kln(O)

wobei O die Anzahl der Möglichkeiten ist, diese Objekte anzuordnen.

2 ununterscheidbare Teilchen (auf 2 Plätzen): k ln2

2 unterscheidbare Teilchen: kln1=0

4 ununterscheidbare Teilchen (auf 4 Plätzen) kln(4!)

Alternativ interpretiert man Entropie als Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand, wie er vorliegt realisiert = besetzt wird, ist also proportional zur Energie der Zustände (da die Besetzungswahrscheinlichkeit exponenziell mit der Energie sinkt und davon wieder der ln gebildet wird)

Schließlich wie hier: Maß für die Energie, die nicht wieder beliebig verwertet werden kann.

${\log }_2\mathrm{\Omega }$

ist die Bitzahl (Information), um sämtliche mögliche Anordnungen durchzunummerieren!

Beispiel: $N_g,N_j,N_m\stackrel{~}{}10-100$

• $\Rightarrow S_{mix}\approx k\approx {10}^{-23}\frac{J}{K}$
• ist ein sehr kleiner Wert!

$\frac{J}{K}$

ist keine angepasste Entropieeinheit für Makroobjekte!, ist nur sinnvoll bei $N\stackrel{~}{}{10}^{23}$ .

Sinnvoll wäre die Entropieeinheit "bit"

$\Rightarrow S_{mix}={\log }_2\mathrm{\Omega }$

Übung

Man berechne die Mischungsentropie der in 1 mol Meerwasser gelösten Salze : ~ 190 J/K

Photosynthese

Grüne Pflanzen erzeugen mit Hilfe von flüssigem Wasser aus Kohlendioxid : Glukose, Wasserdampf und Sauerstoff!

Glukosesynthese:

$6C{O}_2+6H_{2}O->C_6{H}_{12}{O}_6+6O_2$

Entropiebilanz pro Mol:

$S_{in}=6S_{CO2}+6S_{H2Ofl\ddot{u}ssig}+S_{strahl}$

Dabei ist, wie bereits erörtert, die Entropie der Strahlung sehr klein!

$\begin{array}{rl}& S_{out}=S_{Glukose}+6S_{O_2}\\ & \Rightarrow S_{out}<S_{in}\\ & \mathrm{\Delta }S=-40bit\\ \end{array}$

Erniedrigung der Entropie durch Biosynthese

Entsorgung der Entropie ?

$S_{H2Ofl\ddot{u}ssig}<<S_{H2Odampf}$

• Wasserdampf ist sehr viel entropiereicher als flüssiges Wasser!
• So müsste Entropie verloren gehen!

Verdunstungsentropie: 18 bit / mol!

Entsorgung der Entropie ist nur durch Wärmeabstrahlung in den Weltraum möglich!

Globale Energie- und Entropiebilanz der Erde

Energiebilanz (stationär): $Q^{+}=Q^{-}\equiv Q$

Entropiebilanz (stationär): $\mathrm{\Delta }S=\frac{Q^{-}}{T^{-}}-\frac{Q^{+}}{T^{+}}\approx \frac{Q}{T^{-}}$

Entropieproduktion = abgegebene - aufgenommene Entropie

• Entsorgungs kapazität der Erde für dissipative prozesse aller Art (Wetter, Leben, Wirtschaft):

~ 1,2 W/ m²

(aus der Solarkonstante)

Treibhauseffekt

CO2 und andere Spurengase in der Atmosphäre vermindern die Wärmeabstrahlung, erhöhen dadurch $T^{-}$

und verringern somit die in den Weltraum abgegebene Entropiemenge $\mathrm{\Delta }S$ .

→ Der Planet wird zum Entropiemüllplatz!

Ergänzung

• man sieht: pro Energieeinheit ist langwellige Strahlung (Temperatur der Quelle ist niedriger) WESENTLICH entropiereicher als kurzwellige Strahlung. Das bedeutet, während die Strahlung von der Erde Entropie abtransportiert, ist die Strahlung der Sonne sehr entropiearm!

Die vom Menschen physiologisch erzeugte Entropie liegt bei 0,5 W / K (durch Stoffwechsel)

Die ökonomisch erzeugte Entropie pro Mensch dagegen bei 25 W/ K

dabei:

75 % durch Energieverbrauch,

20 % durch Wasserverschmutzung,

Rest: Mischungsentropie vom Feststoffmüll

auf die Fläche bezogen produziert im Verhältnis zur maximal vorhandenen Entsorgungskapazität

die BRD 2,5 %

New York 400 %

weltweit: 0,5 %

Entropiebilanz der Erde

1. Infrarot - Entsorgungskapazität der Erde / m²: 1,2 W/K
2. Entropieabsenkung durch Photosynthese / m²: -1,3 * ${10}^{-3}W/K$
4. physiologische Entropieproduktion eines Erwachsenen (Stoffwechsel): $0,5W/K$
6. Ökonomische Zusatzentropie pro Einwohner:

• Weltdurchschnitt: 10 W/K
• USA: 35 W/K
• Indien: 2W/K

Stadtgebiet New York pro m²: 4 W/K

setzt man 2) = 3), also die physiologische Entropieproduktion eines Erwachsenen gegen die Entropieabsenkung durch Photosynthese, so liegt die Obergrenze der Bevölkerungsdichte bei 2500 / km².

Natürlich viel zu hoch, weil andere Faktoren viel Stärker limitieren!

'Entropische Effizienz (2nd 'Law Efficiency)

• $\epsilon =\frac{{\mathrm{\Sigma }}_D}{{\mathrm{\Sigma }}_{tot}}=\frac{n\ddot{u}tzlicheEntropieerzeugung}{gesamteEntropieerzeugung}$

z.B. Raumheizung:

Wärmefluss

• $Q=kF(T_i-T_a)$

k ist hier ein Faktor der Wärmedurchlässigkeit der Wände!

• ${\mathrm{\Sigma }}_D=S_a-S_i=Q(\frac{1}{T_a}-\frac{1}{T_i})=kF\frac{{(T_i-T_a)}^2}{T_a{T}_i}$

• Energiewirkungsgrad $\eta \stackrel{~}{}90\%$

!!

Entropiewirkungsgrad:

• ${\mathrm{\Sigma }}_{tot}={\mathrm{\Sigma }}_D+{\mathrm{\Sigma }}_V+{\mathrm{\Sigma }}_K$

mit

• ${\mathrm{\Sigma }}_V$
• als Verbrennungsentropie und ${\mathrm{\Sigma }}_K$

als Abkühl- Entropie, um von Brenntemperatur auf Raumtemperatur zu kommen! (beides irreversible Prozesse → Entropie steigt!)

• es folgt ein gesamter Entropiewirkungsgrad $\epsilon \stackrel{~}{}7\%$

Besser: Kraft- Wärme- Kopplung

Gas- Wärme- Pumpe!