Nakajima-Zwanzig-Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 9. Dezember 2010, 15:15 Uhr

Die Nakajima-Zwangzig Gleichung ist eine Integrodifferentialgleichung die die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteopertorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung angesehen werden.

Herleitung

Beginnend mit der Liouville von Neumann Gleichung

d_{t} χ = L χ

wobei der Dichteoperator durch den Projektionsoperator $𝒫$ in zwei Anteile $χ = (𝒫 + 𝒬) χ$ zerlegt wird. Wobei Q folglich durch $𝒬 \equiv 1 - 𝒫$ definiert ist.

Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch

d_{t} (\begin{matrix} 𝒫 \\ 𝒬 \end{matrix}) χ = (\begin{matrix} 𝒫 \\ 𝒬 \end{matrix}) L (\begin{matrix} 𝒫 \\ 𝒬 \end{matrix}) χ + (\begin{matrix} 𝒫 \\ 𝒬 \end{matrix}) L (\begin{matrix} 𝒬 \\ 𝒫 \end{matrix}) χ

dargestellt werden.

Die zweite Zeile wird formal durch

𝒬 χ = e^{𝒬 L t} Q χ (t = 0) + \int_{0}^{t} d t e^{𝒬 L t^{'}} 𝒬 L 𝒫 χ (t - {t^{'}}^{'})

gelöst.

Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:

d_{t} 𝒫 χ = 𝒫 L 𝒫 χ + \underset{= 0}{\underset{⏟}{𝒫 L e^{𝒬 L t} Q χ (t = 0)}} + 𝒫 L \int_{0}^{t} d t e^{𝒬 L t^{'}} 𝒬 L 𝒫 χ (t - {t^{'}}^{'})

Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung

𝒦 (t) = 𝒫 L e^{𝒬 L t} 𝒬 L 𝒫

,

$𝒫 χ \equiv χ_{r e l}$ sowie der Ausnutzung von $𝒫^{2} = 𝒫$ erhält man die endgültige Form

d_{t} χ_{r e l} = 𝒫 L χ_{r e l} + \int_{0}^{t} d t^{'} 𝒦 ({t^{'}}^{'}) χ_{r e l} (t - {t^{'}}^{'})

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 ==Herleitung==
 Beginnend mit der {{FB|Liouville von Neumann Gleichung }}
-:<math>{{d}_{t}}\chi =L\chi </math>
+:<math>{d}_{t} \chi = L \chi </math>
 wobei der {{FB|Dichteoperator}} durch den {{FB|Projektionsoperator}}
 <math>\mathcal{P}</math>
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 Die zweite Zeile wird formal durch
-:<math>\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math>
+:<math>\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}</math> gelöst.
- gelöst wird.
 Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die
 Nakajima-Zwanzig-Gleichung:
-::<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math>
+:<math>{\text{d}}_{t} \mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}</math>
 Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung
-:<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}</math>
+:<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P} </math>,
+<math>\mathcal{P}\chi \equiv {{\chi }_{rel}}</math>
 sowie der Ausnutzung von
-<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P}</math>
+<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math>
 erhält man die endgültige Form
-{{Gleichung|
+{{Gln|<math>{\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')}</math>
-<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}')\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math>
 |Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}
+__SHOWFACTBOX__
-<math>
-\begin{align}
- & {{d}_{t}}\left( \begin{matrix}
-   \mathcal{P}  \\
-   \mathcal{Q}  \\
-\end{matrix} \right)\chi =\left( \begin{matrix}
-   \mathcal{P}  \\
-   \mathcal{Q}  \\
-\end{matrix} \right)L\left( \begin{matrix}
-   \mathcal{P}  \\
-   \mathcal{Q}  \\
-\end{matrix} \right)\chi +\left( \begin{matrix}
-   \mathcal{P}  \\
-   \mathcal{Q}  \\
-\end{matrix} \right)L\left( \begin{matrix}
-   \mathcal{Q}  \\
-   \mathcal{P}  \\
-\end{matrix} \right)\chi  \\
- & \Rightarrow \mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q{{\chi }_{0}}+\int '{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}') \\
- & \Rightarrow {{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q{{\chi }_{0}}}_{=0}+\mathcal{P}L\int '{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}') \\
-\end{align}
-</math>
 [[Kategorie:Quantenmechanik]]

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