Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel: Unterschied zwischen den Versionen
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Die nahezu konstante Nukleonendichte | Die nahezu konstante {{FB|Nukleonendichte}} <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu | ||
konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum | konstante B/A-Wert ("{{FB|Kondensationswärme}}") legt die Analogie zum | ||
Flüssigkeitstropfen nahe. | |||
Massenformel<ref>Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)</ref> | |||
Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen: | |||
B = | {{FB|Bindungsenergie}} setzt sich aus 5 Anteilen zusammen: | ||
i= | :<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math> | ||
;1. {{FB|Volumenenergie}}: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um | |||
;2. {{FB|Oberflächenenergie}}: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der | |||
= | |||
Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um | |||
Oberflächenenergie ~ Anzahl der Nukleonen an der | |||
Oberfläche, die weniger stark gebunden sind. | Oberfläche, die weniger stark gebunden sind. | ||
Z(Z-1) | ;3. {{FB|Coulombenergie}}: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel | ||
R | |||
geladenen Kugel | Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für {{FB|Isobare}} (A = const) zu stark | ||
Durch die Coulombenergie | Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>. | ||
Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch Z | |||
Genauer: Nuklidkarte | Genauer: Nuklidkarte | ||
[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png|miniatur|zentriert|hochkant=3|Nuklidkarte]] | |||
Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb: | |||
;4. {{FB|Asymmetrie-Energie}}: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math> | |||
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet: | |||
<math>\begin{array}{*{35}{l}} | |||
Als Gegengewicht | {} & (g,g)\to & (u,g), & (g,u)\to & (u,u)\to \text{Abnahme der Stabilitaet} \\ | ||
4. | \text{stab}\text{. Kerne}\quad & 158 & 50, & 53 & 6 \\ | ||
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader | \end{array}</math> | ||
oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet: | |||
;5. {{FB|Parität}}: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math> | |||
(g, g) -> | mit <math>\begin{align} | ||
& \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta \\ | |||
(u, g), (g, u) -> | & \text{(u}\text{, g) }\text{, (g}\text{, u) : }\text{0} \\ | ||
& \text{(u}\text{, u) : }\text{-}\delta \\ | |||
(u, u | \end{align}</math> | ||
Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> <ref>(Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)</ref>). | |||
Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>. | |||
== Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel == | |||
=== I. Isobarenregeln === | |||
Für {{FB|Isobare}} (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, | |||
deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne | |||
eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der | |||
{{FB|Paarungsenergie}} <math>\delta</math> getrennt sind. | |||
[[Datei:IsobarenRegel13.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Isobarenparabeln{{AnMS|Siehe auch {{Quelle|vlkp|32|ab 10:30}}}}]] | |||
Trägt man die Massenwerte in die {{FB|Nuklidkarte}} auf der N-Z-Ebene | |||
Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene | |||
nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der | nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der | ||
Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der | Linie '''A = Z + N = const'''. Die stabilen Kerne liegen in der | ||
"Talsohle des Massetals" . | "Talsohle des Massetals". | ||
durch Beta-: | Umwandlung durch Beta-Zerfall: | ||
n | |||
<math>\begin{align} | |||
e +p | {{\beta }^{+}}:\quad n &\to p+{{e}^{-}}+\tilde{\nu } \\ | ||
{{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu \\ | |||
{{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\ | |||
Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für | \end{align}</math> Konkurrenzprozeß: {{FB|Kerneinfang}} | ||
schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch | |||
Coulombabstoßung, | === II. Kernspaltung und Fusion === | ||
Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch {{FB|Fusion}}, für | |||
Coulombenergie | schwerere Kerne durch {{FB|Spaltung}} möglich. Spontane Fusion durch | ||
Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch {{FB|Spaltschwelle}} behindert. | |||
Oberflächenenergie | |||
====Spaltung==== | |||
[[Datei:SpontaneSpaltung14.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung]] | |||
;Coulombenergie: <math>B_3 \to B_3(1-\frac{1}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''ab'''. | |||
;Oberflächenenergie: <math>B_2 \to B_2(1+\frac{2}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''zu'''. | |||
Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme | Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme | ||
der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie. | der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie. | ||
Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende | Rechnung: <math>Z^2/A \lesssim 51</math> | ||
Für <math>Z^2/A \lesssim 51</math> Spaltschwelle: | |||
thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie | |||
[[Datei:SpaltSchwelle15.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Spaltschwelle]] | |||
bei | |||
n 1 keV | |||
Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende {{FB|Bindungsenergie}} bei {{FB|Neutroneneinfang}}. Für {{FB|thermische Neutronen}} ist diese Bindungsenergie | |||
bei <math>^{235}U+n\to^{236}U+6,4MeV\quad(g,u)\underset{n}{\to}(g,g)</math> | |||
bei <math>^{238}U+n\to^{239}U+4,8MeV\quad(g,g)\underset{n}{\to}(g,u)</math> | |||
Die fehlende {{FB|Paarungsenergie}} bei <math>^{239}U</math> bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei <math>^{238}U</math> der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht. | |||
Allgemein Spaltprozeß: | |||
<math>^{235}U+n\textrm{(thermisch)}\to^{236}U\to X+Y+kn</math> | |||
Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, <math>\beta^-</math>-Zerfall, | |||
z.B. | |||
[[Datei:BSPSpaltprozess.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|instabile Spaltbruchstücke]] | |||
Grobe Abschätzung für <math>^{235}U</math>-Verbrauch: | |||
:<math>\begin{align} | |||
1kg\quad^{235}U:E=N\Delta E & \backsimeq\frac{1000}{235}6\cdot10^{23} \cdot 2 \cdot 10^{8} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}{ Ws}\\ | |||
& \backsimeq8 \cdot 10^{13}{ Ws}\\ | |||
& \backsimeq10^{3}{ MWd}\end{align}</math> | |||
====Fusion==== | |||
Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des {{FB|Coulombwalls}} oberhalb von <math>1 keV \approx 1,2 10^7 K</math> möglich (z.B. Sonneninnere mit <math>T \approx 1,5 10^7 K</math> und <math>\rho \approx 10^5 kg /m^3</math>). | |||
Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium | Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium | ||
:<math>d+^{3}H\to\underset{3MeV}{^{4}He}+\underset{14MeV}{n}+17,6MeV</math> | |||
+ | |||
:<math>n+^{7}Li\to^{4}He+\underbrace{^{3}H}_{t_{1/2}\approx12a}+n-2,5MeV</math> | |||
==Einzelnachweise== | |||
<references /> | |||
==Weitere Informationen== | |||
(gehört nicht zum Skript) | |||
[http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel Wikipedia-Artikel] | |||
[[Datei:Isotopentabelle_Segre.svg|miniatur]] | |||
[[Datei:Tröpfchenmodell.PNG|miniatur]] | |||
[[Datei:Mattauch1.PNG|miniatur]] | |||
[[Datei:Doppelbeta-massenparabel.png|miniatur]] | |||
===Prüfungsfragen=== | |||
* Äußere Eigenschaften eines Kerns | |||
** Dichte (Größenordnungen) | |||
*Bethe-Weizäcker Formel | |||
**Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel) | |||
**Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso proportional zu V? | |||
***Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner | |||
***Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten) | |||
***Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen | |||
***Paarungsterm:->Isobarenregel | |||
*Spaltung/Fusion wo möglich? | |||
*Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen) | |||
Aktuelle Version vom 28. August 2011, 16:59 Uhr
Der Artikel Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann. |
|}}
Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.
Die nahezu konstante Nukleonendichte und der nahezu konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum Flüssigkeitstropfen nahe. Massenformel[1]
Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
- 1. Volumenenergie
- Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
- 2. Oberflächenenergie
- ~ Anzahl der Nukleonen an der
Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.
- 3. Coulombenergie
- einer homogen geladenen Kugel
Durch die Coulombenergie würden für Isobare (A = const) zu stark Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch .
Genauer: Nuklidkarte
![](/images/Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png)
Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:
- 5. Parität
- Deshalb
Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter und mit [2]).
Genauigkeit .
Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel
I. Isobarenregeln
Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand der Paarungsenergie getrennt sind.
Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der "Talsohle des Massetals".
Umwandlung durch Beta-Zerfall:
Konkurrenzprozeß: Kerneinfang
II. Kernspaltung und Fusion
Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch Spaltschwelle behindert.
Spaltung
![](/images/SpontaneSpaltung14.png)
Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.
![](/images/SpaltSchwelle15.png)
Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie
Die fehlende Paarungsenergie bei bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.
Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, -Zerfall,
z.B.
![](/images/BSPSpaltprozess.png)
Grobe Abschätzung für -Verbrauch:
Fusion
Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb von möglich (z.B. Sonneninnere mit und ).
Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium
Einzelnachweise
- ↑ Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)
- ↑ (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)
- ↑ [Prof. Dr. Heinz Clement: Vorlesung Experimentalphysik VII - Kern- und Teilchenphysik], Vorlesung 32 Zeitcode: (ab 10:30)
Weitere Informationen
(gehört nicht zum Skript) Wikipedia-Artikel
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Isotopentabelle_Segre.svg/langde-300px-Isotopentabelle_Segre.svg.png)
![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Doppelbeta-massenparabel.png/300px-Doppelbeta-massenparabel.png)
Prüfungsfragen
- Äußere Eigenschaften eines Kerns
- Dichte (Größenordnungen)
- Bethe-Weizäcker Formel
- Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel)
- Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso proportional zu V?
- Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner
- Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten)
- Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen
- Paarungsterm:->Isobarenregel
- Spaltung/Fusion wo möglich?
- Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)