Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. August 2011, 15:59 Uhr

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

Die nahezu konstante Nukleonendichte $ρ \approx 1 0^{17} k g / m^{3}$ und der nahezu konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum Flüssigkeitstropfen nahe. Massenformel^[1]

Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:

B = \sum_{i = 1}^{5} B_{i}

1. Volumenenergie: $B_{1} = a_{1} A$ Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
2. Oberflächenenergie: $B_{2} = - a_{2} A^{2 / 3}$ ~ Anzahl der Nukleonen an der

Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.

3. Coulombenergie: $B_{3} = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{5}{3} \frac{Z (Z - 1) e^{2}}{R} = - a_{3} \frac{Z (Z - 1)}{A^{1 / 3}}$ einer homogen geladenen Kugel

Durch die Coulombenergie $B_{3}$ würden für Isobare (A = const) zu stark Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch $Z \approx N$ .

Genauer: Nuklidkarte

Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:

4. Asymmetrie-Energie: $B_{4} = - a_{4} \frac{(N - Z)^{2}}{A}$

Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:

$\begin{array}{l} (g, g) \to & (u, g), & (g, u) \to & (u, u) \to Abnahme der Stabilitaet \\ stab . Kerne & 158 & 50, & 53 & 6 \end{array}$

5. Parität: Deshalb $B_{5} = δ = a_{5} A^{- 1 / 2}$

mit $\begin{aligned} (g, g) : + δ \\ (u, g), (g, u) : 0 \\ (u, u) : - δ \end{aligned}$

Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter $a_{i} : a_{1} = 16 M e V, a_{2} = 18 M e V, a_{3} = 0, 7 M e V, a_{4} = 23 M e V$ und mit $a_{5} = 12 M e V$ ^[2]). Genauigkeit $\approx 1 % a b \approx 40$ .

Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel

I. Isobarenregeln

Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand $2 δ$ der Paarungsenergie $δ$ getrennt sind.

Isobarenparabeln

ANMERKUNG Schubotz: Siehe auch ^[3]

Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der "Talsohle des Massetals".

Umwandlung durch Beta-Zerfall:

$\begin{aligned} β^{+} : n & \to p + e^{-} + \tilde{ν} \\ β^{-} : n & \to p + e^{+} + ν \\ e^{-} + p & \to n + \tilde{ν} \end{aligned}$ Konkurrenzprozeß: Kerneinfang

II. Kernspaltung und Fusion

Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch Spaltschwelle behindert.

Spaltung

Coulombenergie: $B_{3} \to B_{3} (1 - \frac{1}{5} ϵ)^{2}$ nimmt ab.
Oberflächenenergie: $B_{2} \to B_{2} (1 + \frac{2}{5} ϵ)^{2}$ nimmt zu.

Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.

Rechnung: $Z^{2} / A ≲ 51$

Für $Z^{2} / A ≲ 51$ Spaltschwelle:

Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie

bei $235 U + n \to^{236} U + 6, 4 M e V (g, u) \underset{n}{\to} (g, g)$

bei $238 U + n \to^{239} U + 4, 8 M e V (g, g) \underset{n}{\to} (g, u)$

Die fehlende Paarungsenergie bei $239 U$ bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei $238 U$ der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.

Allgemein Spaltprozeß: $235 U + n (thermisch) \to^{236} U \to X + Y + k n$

Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, $β^{-}$ -Zerfall, z.B.

Grobe Abschätzung für $235 U$ -Verbrauch:

\begin{aligned} 1 k g^{235} U : E = N Δ E & ⋍ \frac{1000}{235} 6 \cdot 1 0^{23} \cdot 2 \cdot 1 0^{8} \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} W s \\ ⋍ 8 \cdot 1 0^{13} W s \\ ⋍ 1 0^{3} M W d \end{aligned}

Fusion

Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb von $1 k e V \approx 1, 21 0^{7} K$ möglich (z.B. Sonneninnere mit $T \approx 1, 51 0^{7} K$ und $ρ \approx 1 0^{5} k g / m^{3}$ ).

Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium

d +^{3} H \to \underset{3 M e V}{^{4} H e} + \underset{14 M e V}{n} + 17, 6 M e V

n +^{7} L i \to^{4} H e + \underset{t_{1 / 2} \approx 12 a}{\underset{⏟}{^{3} H}} + n - 2, 5 M e V

Einzelnachweise

↑ Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)
↑ (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)
↑ [Prof. Dr. Heinz Clement: Vorlesung Experimentalphysik VII - Kern- und Teilchenphysik], Vorlesung 32 Zeitcode: (ab 10:30)

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript) Wikipedia-Artikel

Datei:Tröpfchenmodell.PNG

Prüfungsfragen

Äußere Eigenschaften eines Kerns
- Dichte (Größenordnungen)
Bethe-Weizäcker Formel
- Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel)
- Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso proportional zu V?
  - Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner
  - Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten)
  - Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen
  - Paarungsterm:->Isobarenregel
Spaltung/Fusion wo möglich?
Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)

[1] Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)

[2] (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)

[3] [Prof. Dr. Heinz Clement: Vorlesung Experimentalphysik VII - Kern- und Teilchenphysik], Vorlesung 32 Zeitcode: (ab 10:30)

[1]

[2]

[3]

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 <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
-Die nahezu konstante Nukleonendichte p ~ 1017 kg/m3 und der nahezu
+Die nahezu konstante {{FB|Nukleonendichte}} <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu
-konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum
+konstante B/A-Wert ("{{FB|Kondensationswärme}}") legt die Analogie zum
-FlüSsigkeitstropfen nahe.
+Flüssigkeitstropfen nahe.
-weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935) Massenformel
+Massenformel<ref>Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)</ref>
-Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
-B = E Bi
+{{FB|Bindungsenergie}} setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
-i=l
+:<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math>
-. B
+;1. {{FB|Volumenenergie}}: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
-= -471r €o 0:5r
+;2. {{FB|Oberflächenenergie}}: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der
-=_aoZ(Z-l)
-~
-Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
-Oberflächenenergie ~ Anzahl der Nukleonen an der
 Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.
-Z(Z-1)e2
+;3. {{FB|Coulombenergie}}: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel
-R Coulombenergie einer homogen
-geladenen Kugel
+Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für {{FB|Isobare}} (A = const) zu stark
-Durch die Coulombenergie B3 würden für Isobare (A = const) zu stark
+Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>.
-Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch Z
-Rl N.
 Genauer: Nuklidkarte
-[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png]]
+[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png|miniatur|zentriert|hochkant=3|Nuklidkarte]]
-Z = N
-~~rrrni stabile Kerne
+Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:
-Z = const.: Isotope
+;4. {{FB|Asymmetrie-Energie}}: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math>
-A = Z + N = const.: Isobare
+Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:
-~----------------~~----~N
-N = const.
-Isotone
-Als Gegengewicht ~egenüber dem Coulombterm deshalb:
-. B4 = _a4o(N~Z) Asymmetrie-Energie
-Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader
-oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:
-stab 1 Kerne
-(g, g) ->
-(u, g), (g, u) ->
-, 53
-(u, u~ ->Abnahme der Stabilität
-Deshalb
+<math>\begin{array}{*{35}{l}}
-. 0 1 B mit (g, g) : +0 s = = as°y;AI
+   {} & (g,g)\to  & (u,g), & (g,u)\to  & (u,u)\to \text{Abnahme der Stabilitaet} \\
-(u, g) , (g, u) : 0
+   \text{stab}\text{.  Kerne}\quad  & 158 & 50, & 53 & 6  \\
-(u, u) : -0
+\end{array}</math>
-Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen
-Wertesatz für die 5 Parameter a i : a 1 = 16 MeV, a 2 = 18 MeV, a 3 =
+;5. {{FB|Parität}}: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math>
-,7 MeV, a 4 = 23 MeV und mit a s = 12 MeV (Seeger Nucl. Phys. ]2, 1
+mit <math>\begin{align}
-(1961)).
+  & \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta  \\
-Genauigkeit ~ 1% ab ~ 40.
+ & \text{(u}\text{, g) }\text{, (g}\text{, u) : }\text{0} \\
+ & \text{(u}\text{, u) : }\text{-}\delta  \\
+\end{align}</math>
+Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> <ref>(Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)</ref>).
+Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>.
 == Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel ==
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 === I. Isobarenregeln ===
-Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z,
+Für {{FB|Isobare}} (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z,
-deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)Kerne
+deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne
-eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u,
+eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der
-u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand 2 0 der
+{{FB|Paarungsenergie}} <math>\delta</math> getrennt sind.
-Paarungsenergie 0 getrennt sind .
-[[Datei:IsobarenRegel13.png]]
+[[Datei:IsobarenRegel13.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Isobarenparabeln{{AnMS|Siehe auch {{Quelle|vlkp|32|ab 10:30}}}}]]
-M( Z, A
-~
+Trägt man die Massenwerte in die {{FB|Nuklidkarte}} auf der N-Z-Ebene
-= const.) rv + M( Z, A = const . )
-(u, g)
-A ungerade !J (g, u)
-/ "r
-(u, u)
-20
-(g, g)
-L---~~-L--~~------7 Z
-Jf~"'ie\ (,abC1J
-Nur ein stabiles Isobar
-)-;> -
-l«cJ.J UAOJß cL.
-Mehrere stabile Isobare möglich
-mit LlZ = 2
-Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene
 nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der
-Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der
+Linie '''A = Z + N = const'''. Die stabilen Kerne liegen in der
-"Talsohle des Massetals" .
+"Talsohle des Massetals".
-z
-- 9 umwandlung
-durch Beta-:erfall:
+Umwandlung durch Beta-Zerfall:
-n-tp+e +LI
-p -t n + e+ + LI
+<math>\begin{align}
-e +p-tn + LI Konkurrenzprozeß:
+   {{\beta }^{+}}:\quad n &\to p+{{e}^{-}}+\tilde{\nu } \\
-K-Einfang
+  {{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu  \\
+  {{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\
+\end{align}</math> Konkurrenzprozeß: {{FB|Kerneinfang}}
 === II. Kernspaltung und Fusion ===
-Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für
+Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch {{FB|Fusion}}, für
-schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch
+schwerere Kerne durch {{FB|Spaltung}} möglich. Spontane Fusion durch
-Coulombabstoßung, spentane Spaltung durch Spaltschwelle behindert.
+Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch {{FB|Spaltschwelle}} behindert.
-stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung
-[[Datei:SpontaneSpaltung14.png]]
+====Spaltung====
-R ..".....---; o + o
-Coulombenergie B3 -t B3(1 - !€)2 nimmt ab
+[[Datei:SpontaneSpaltung14.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung]]
+;Coulombenergie: <math>B_3 \to B_3(1-\frac{1}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''ab'''.
-Oberflächenenergie B2 -t B2(1 + 3.€) 2 nimmt zu ,"
+;Oberflächenenergie: <math>B_2 \to B_2(1+\frac{2}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''zu'''.
 Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme
 der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.
-Rechnung: Z2/A ~ 51
-Für Z2/A ~ 51 Spaltschwelle:
-Spaltschwelle, für Uran ~ 6 MeV 23sU: 5,8 Mev)
+Rechnung: <math>Z^2/A \lesssim 51</math>
-[[Datei:SpaltSchwelle15.png]]
-( 238U: 6,3 MeV
+Für <math>Z^2/A \lesssim 51</math> Spaltschwelle:
-Energiegewinn ca.
-(8,5-7,5) MeV ~ 200 MeV
-r o -t
+[[Datei:SpaltSchwelle15.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Spaltschwelle]]
+Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende {{FB|Bindungsenergie}} bei {{FB|Neutroneneinfang}}. Für {{FB|thermische Neutronen}} ist diese Bindungsenergie
+bei <math>^{235}U+n\to^{236}U+6,4MeV\quad(g,u)\underset{n}{\to}(g,g)</math>
+bei <math>^{238}U+n\to^{239}U+4,8MeV\quad(g,g)\underset{n}{\to}(g,u)</math>
+Die fehlende {{FB|Paarungsenergie}} bei <math>^{239}U</math> bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei <math>^{238}U</math> der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.
+Allgemein Spaltprozeß:
+<math>^{235}U+n\textrm{(thermisch)}\to^{236}U\to X+Y+kn</math>
+Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, <math>\beta^-</math>-Zerfall,
+z.B.
+[[Datei:BSPSpaltprozess.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|instabile Spaltbruchstücke]]
+Grobe Abschätzung für <math>^{235}U</math>-Verbrauch:
+:<math>\begin{align}
+kg\quad^{235}U:E=N\Delta E & \backsimeq\frac{1000}{235}6\cdot10^{23} \cdot 2 \cdot 10^{8} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}{ Ws}\\
+& \backsimeq8 \cdot 10^{13}{ Ws}\\
+& \backsimeq10^{3}{ MWd}\end{align}</math>
+====Fusion====
+Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des {{FB|Coulombwalls}} oberhalb von <math>1 keV \approx 1,2 10^7 K</math> möglich (z.B. Sonneninnere mit <math>T \approx 1,5 10^7 K</math> und <math>\rho \approx 10^5 kg /m^3</math>).
-Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb
-sehr
-Bei
-bei 235U + n --l- 236U + 6,4 MeV (g, u) --l- (g, g)
-n 1 keV ~ 1,2 0107 K möglich (z.B. Sonneninnere mit T ~ 1,5 010 7 K
-bei 238U + n --l- 239U + 4,8 MeV (g, g) --l- (g, u) von 3
-n und P ~ 105 kg/m ).
 Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium
-Die fehlende Paarungsenergie bei 239U bedingt die niedrigere Bind
+:<math>d+^{3}H\to\underset{3MeV}{^{4}He}+\underset{14MeV}{n}+17,6MeV</math>
-+ 3H --l- 4He + n + 17 , 6 MeV
-dungsenergie, so daß bei 238U der Einbau thermischer Neutronen 3MeV 14MeV
+:<math>n+^{7}Li\to^{4}He+\underbrace{^{3}H}_{t_{1/2}\approx12a}+n-2,5MeV</math>
-nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.
-H + n - 2,5 MeV)
+==Einzelnachweise==
-Allgemein Spaltprozeß: ........t~ ~ 12a
+<references />
-U + n (thermisch) --l- 236U --l- X + Y + kon (schnell Rl 1 MeV, k ""- 2,5)
+==Weitere Informationen==
-Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, ß-Zerfall,
+(gehört nicht zum Skript)
-z.B.
+[http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel Wikipedia-Artikel]
-U + n --l- 90Kr + 143Ba + 3n 92 36 56
+[[Datei:Isotopentabelle_Segre.svg|miniatur]]
-!32S !208
+[[Datei:Tröpfchenmodell.PNG|miniatur]]
+[[Datei:Mattauch1.PNG|miniatur]]
-Rb + 143
+[[Datei:Doppelbeta-massenparabel.png|miniatur]]
-La
+===Prüfungsfragen===
-!2min !14min
+* Äußere Eigenschaften eines Kerns
-Sr + 143
+** Dichte (Größenordnungen)
-Ce
+*Bethe-Weizäcker Formel
-!28a !33h
+**Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel)
-y + 143pr 39 59
+**Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso  proportional zu V?
-!64h !l3d
+***Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner
+***Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten)
-Zr + 143
+***Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen
-Nd
+***Paarungsterm:->Isobarenregel
-Grobe Abschätzung für 235U-Verbrauch:
+*Spaltung/Fusion wo möglich?
-kg 235U: E = Noill: ~ [[Benutzer:Schubotz|Schubotz]]00601023i2.0108.:2:,6010~19ws
+*Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)
-MeV

Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. August 2011, 15:59 Uhr

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