Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. August 2011, 15:59 Uhr

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

Die nahezu konstante Nukleonendichte $ρ \approx 1 0^{17} k g / m^{3}$ und der nahezu konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum Flüssigkeitstropfen nahe. Massenformel^[1]

Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:

B = \sum_{i = 1}^{5} B_{i}

1. Volumenenergie: $B_{1} = a_{1} A$ Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
2. Oberflächenenergie: $B_{2} = - a_{2} A^{2 / 3}$ ~ Anzahl der Nukleonen an der

Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.

3. Coulombenergie: $B_{3} = - \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{5}{3} \frac{Z (Z - 1) e^{2}}{R} = - a_{3} \frac{Z (Z - 1)}{A^{1 / 3}}$ einer homogen geladenen Kugel

Durch die Coulombenergie $B_{3}$ würden für Isobare (A = const) zu stark Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch $Z \approx N$ .

Genauer: Nuklidkarte

Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:

4. Asymmetrie-Energie: $B_{4} = - a_{4} \frac{(N - Z)^{2}}{A}$

Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:

$\begin{array}{l} (g, g) \to & (u, g), & (g, u) \to & (u, u) \to Abnahme der Stabilitaet \\ stab . Kerne & 158 & 50, & 53 & 6 \end{array}$

5. Parität: Deshalb $B_{5} = δ = a_{5} A^{- 1 / 2}$

mit $\begin{aligned} (g, g) : + δ \\ (u, g), (g, u) : 0 \\ (u, u) : - δ \end{aligned}$

Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter $a_{i} : a_{1} = 16 M e V, a_{2} = 18 M e V, a_{3} = 0, 7 M e V, a_{4} = 23 M e V$ und mit $a_{5} = 12 M e V$ ^[2]). Genauigkeit $\approx 1 % a b \approx 40$ .

Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel

I. Isobarenregeln

Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand $2 δ$ der Paarungsenergie $δ$ getrennt sind.

Isobarenparabeln

ANMERKUNG Schubotz: Siehe auch ^[3]

Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der "Talsohle des Massetals".

Umwandlung durch Beta-Zerfall:

$\begin{aligned} β^{+} : n & \to p + e^{-} + \tilde{ν} \\ β^{-} : n & \to p + e^{+} + ν \\ e^{-} + p & \to n + \tilde{ν} \end{aligned}$ Konkurrenzprozeß: Kerneinfang

II. Kernspaltung und Fusion

Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch Spaltschwelle behindert.

Spaltung

Coulombenergie: $B_{3} \to B_{3} (1 - \frac{1}{5} ϵ)^{2}$ nimmt ab.
Oberflächenenergie: $B_{2} \to B_{2} (1 + \frac{2}{5} ϵ)^{2}$ nimmt zu.

Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.

Rechnung: $Z^{2} / A ≲ 51$

Für $Z^{2} / A ≲ 51$ Spaltschwelle:

Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie

bei $235 U + n \to^{236} U + 6, 4 M e V (g, u) \underset{n}{\to} (g, g)$

bei $238 U + n \to^{239} U + 4, 8 M e V (g, g) \underset{n}{\to} (g, u)$

Die fehlende Paarungsenergie bei $239 U$ bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei $238 U$ der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.

Allgemein Spaltprozeß: $235 U + n (thermisch) \to^{236} U \to X + Y + k n$

Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, $β^{-}$ -Zerfall, z.B.

Grobe Abschätzung für $235 U$ -Verbrauch:

\begin{aligned} 1 k g^{235} U : E = N Δ E & ⋍ \frac{1000}{235} 6 \cdot 1 0^{23} \cdot 2 \cdot 1 0^{8} \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} W s \\ ⋍ 8 \cdot 1 0^{13} W s \\ ⋍ 1 0^{3} M W d \end{aligned}

Fusion

Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb von $1 k e V \approx 1, 21 0^{7} K$ möglich (z.B. Sonneninnere mit $T \approx 1, 51 0^{7} K$ und $ρ \approx 1 0^{5} k g / m^{3}$ ).

Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium

d +^{3} H \to \underset{3 M e V}{^{4} H e} + \underset{14 M e V}{n} + 17, 6 M e V

n +^{7} L i \to^{4} H e + \underset{t_{1 / 2} \approx 12 a}{\underset{⏟}{^{3} H}} + n - 2, 5 M e V

Einzelnachweise

↑ Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)
↑ (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)
↑ [Prof. Dr. Heinz Clement: Vorlesung Experimentalphysik VII - Kern- und Teilchenphysik], Vorlesung 32 Zeitcode: (ab 10:30)

Weitere Informationen

(gehört nicht zum Skript) Wikipedia-Artikel

Datei:Tröpfchenmodell.PNG

Prüfungsfragen

Äußere Eigenschaften eines Kerns
- Dichte (Größenordnungen)
Bethe-Weizäcker Formel
- Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel)
- Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso proportional zu V?
  - Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner
  - Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten)
  - Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen
  - Paarungsterm:->Isobarenregel
Spaltung/Fusion wo möglich?
Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)

[1] Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)

[2] (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)

[3] [Prof. Dr. Heinz Clement: Vorlesung Experimentalphysik VII - Kern- und Teilchenphysik], Vorlesung 32 Zeitcode: (ab 10:30)

[1]

[2]

[3]

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 <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
-Die nahezu konstante Nukleonendichte <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu
+Die nahezu konstante {{FB|Nukleonendichte}} <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu
-konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum
+konstante B/A-Wert ("{{FB|Kondensationswärme}}") legt die Analogie zum
-Flüssigkeitstropfen nahe. Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935) Massenformel
+Flüssigkeitstropfen nahe.
+Massenformel<ref>Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)</ref>
-Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
+{{FB|Bindungsenergie}} setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
 :<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math>
-;1. Volumenenergie: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
+;1. {{FB|Volumenenergie}}: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
-;2. Oberflächenenergie: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der
+;2. {{FB|Oberflächenenergie}}: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der
 Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.
-;3. Coulombenergie: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel
+;3. {{FB|Coulombenergie}}: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel
-Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für Isobare (A = const) zu stark
+Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für {{FB|Isobare}} (A = const) zu stark
 Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>.
 Genauer: Nuklidkarte
-[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png]]
+[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png|miniatur|zentriert|hochkant=3|Nuklidkarte]]
-Als Gegengewicht ~egenüber dem Coulombterm deshalb:
+Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:
-;4. Asymmetrie-Energie: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math>
+;4. {{FB|Asymmetrie-Energie}}: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math>
 Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:
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 \end{array}</math>
-;5. Parität: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math>
+;5. {{FB|Parität}}: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math>
 mit <math>\begin{align}
    & \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta  \\
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-Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)).
+Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> <ref>(Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)</ref>).
 Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>.
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 === I. Isobarenregeln ===
-Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z,
+Für {{FB|Isobare}} (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z,
-deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)Kerne
+deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne
-eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u,
+eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der
-u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der
+{{FB|Paarungsenergie}} <math>\delta</math> getrennt sind.
-Paarungsenergie <math>\delta</math> getrennt sind.
-[[Datei:IsobarenRegel13.png]]
+[[Datei:IsobarenRegel13.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Isobarenparabeln{{AnMS|Siehe auch {{Quelle|vlkp|32|ab 10:30}}}}]]
-Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene
+Trägt man die Massenwerte in die {{FB|Nuklidkarte}} auf der N-Z-Ebene
 nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der
-Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der
+Linie '''A = Z + N = const'''. Die stabilen Kerne liegen in der
 "Talsohle des Massetals".
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    {{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu  \\
    {{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\
-\end{align}</math> Konkurrenzprozeß: K-Einfang
+\end{align}</math> Konkurrenzprozeß: {{FB|Kerneinfang}}
 === II. Kernspaltung und Fusion ===
-Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für
+Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch {{FB|Fusion}}, für
-schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch
+schwerere Kerne durch {{FB|Spaltung}} möglich. Spontane Fusion durch
-Coulombabstoßung, spentane Spaltung durch Spaltschwelle behindert.
+Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch {{FB|Spaltschwelle}} behindert.
+====Spaltung====
-Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung
+[[Datei:SpontaneSpaltung14.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung]]
+;Coulombenergie: <math>B_3 \to B_3(1-\frac{1}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''ab'''.
+;Oberflächenenergie: <math>B_2 \to B_2(1+\frac{2}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''zu'''.
+Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme
+der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.
-[[Datei:SpontaneSpaltung14.png]]
+Rechnung: <math>Z^2/A \lesssim 51</math>
-Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme
-der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.
-Rechnung: Z2/A ~ 51
 Für <math>Z^2/A \lesssim 51</math> Spaltschwelle:
-[[Datei:SpaltSchwelle15.png]]
+[[Datei:SpaltSchwelle15.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Spaltschwelle]]
-Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie
+Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende {{FB|Bindungsenergie}} bei {{FB|Neutroneneinfang}}. Für {{FB|thermische Neutronen}} ist diese Bindungsenergie
 bei <math>^{235}U+n\to^{236}U+6,4MeV\quad(g,u)\underset{n}{\to}(g,g)</math>
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 bei <math>^{238}U+n\to^{239}U+4,8MeV\quad(g,g)\underset{n}{\to}(g,u)</math>
-Die fehlende Paarungsenergie bei <math>^{239}U</math> bedingt die niedrigere Bind
+Die fehlende {{FB|Paarungsenergie}} bei <math>^{239}U</math> bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei <math>^{238}U</math> der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.
-dungsenergie, so daß bei <math>^{238}U</math> der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.
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 z.B.
-[[Datei:BSPSpaltprozess.png]]
+[[Datei:BSPSpaltprozess.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|instabile Spaltbruchstücke]]
 Grobe Abschätzung für <math>^{235}U</math>-Verbrauch:
-:<math>1kg\quad^{235}U:E=N\Delta E\backsimeq\frac{1000}{235}6\times10^{23}\times2\times10^{8}\times1,6\times10^{-19}{ Ws}\backsimeq8\times10^{13}{ Ws}\backsimeq10^{8}{ MWd}</math>
+:<math>\begin{align}
+kg\quad^{235}U:E=N\Delta E & \backsimeq\frac{1000}{235}6\cdot10^{23} \cdot 2 \cdot 10^{8} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}{ Ws}\\
+& \backsimeq8 \cdot 10^{13}{ Ws}\\
+& \backsimeq10^{3}{ MWd}\end{align}</math>
 ====Fusion====
-Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb von <math>1 keV \approx 1,2 10^7 K</math> möglich (z.B. Sonneninnere mit <math>T \approx 1,5 10^7 K</math> und <math>\rho \approx 10^5 kg /m^3</math>).
+Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des {{FB|Coulombwalls}} oberhalb von <math>1 keV \approx 1,2 10^7 K</math> möglich (z.B. Sonneninnere mit <math>T \approx 1,5 10^7 K</math> und <math>\rho \approx 10^5 kg /m^3</math>).
 Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium
-<math>d+^{3}H\to\underset{3MeV}{^{4}He}+\underset{14MeV}{n}+17,6MeV</math>
+:<math>d+^{3}H\to\underset{3MeV}{^{4}He}+\underset{14MeV}{n}+17,6MeV</math>
-<math>n+^{7}Li\to^{4}He+\underbrace{^{3}H}_{t_{1/2}\approx12a}+n-2,5MeV</math>
+:<math>n+^{7}Li\to^{4}He+\underbrace{^{3}H}_{t_{1/2}\approx12a}+n-2,5MeV</math>
-==siehe auch==
+==Einzelnachweise==
-http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel
+<references />
+==Weitere Informationen==
+(gehört nicht zum Skript)
+[http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel Wikipedia-Artikel]
 [[Datei:Isotopentabelle_Segre.svg|miniatur]]
+[[Datei:Tröpfchenmodell.PNG|miniatur]]
+[[Datei:Mattauch1.PNG|miniatur]]
+[[Datei:Doppelbeta-massenparabel.png|miniatur]]
+===Prüfungsfragen===
+* Äußere Eigenschaften eines Kerns
+** Dichte (Größenordnungen)
+*Bethe-Weizäcker Formel
+**Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel)
+**Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso  proportional zu V?
+***Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner
+***Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten)
+***Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen
+***Paarungsterm:->Isobarenregel
+*Spaltung/Fusion wo möglich?
+*Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)

Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. August 2011, 15:59 Uhr

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