Das Schalenmodell des Kerns: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. August 2011, 13:51 Uhr

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Das Schalenmodell des Kerns basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 7.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

Ausgangspunkt: Das Auftreten besonders stabiler Nukleonenkonfiguration mit charakteristischen Sprüngen in der Separationsenergie bei den sogenannten magischen Zahlen

N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126

(N) in großer Ähnlichkeit mit den Edelgaskonfigurationen der Atomhülle. Deshalb als Wiederholung:

Atomhülle

Aufhebung der l-Entartung, d-Elektronen (Übergangsmetalle) und f-Elektronen (Lanthaniden, Aktiniden) werden "zu spät" eingebaut. Schalenabschlüsse bei den Edelgasen

z = 2, 10, 18, 36, 54, 86

als den magischen Zahlen der Atomhülle.

Aufgabe für die Kernphysik: Ein Zentralpotential so zu wählen, dass bei den Schalenabschlüssen die magischen Zahlen erscheinen.

Wegen rechnerischer Einfachheit werden oft das Kastenpotential oder das 0szillatorpotential benutzt.

Da es zunächst nur auf die relative Reihenfolge der Energieniveaus ankommt, kann man die Potentiale nach $\infty$ fortsetzen.

Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential:

Äquidistante Abstände der Energieniveaus mit l-Entartung, die bei dem "abgeschnittenen" Potential aufgehoben wird.

Ebenso wie hier werden auch beim Kastenpotential und selbst für realistische Potentialformen wie das Wood-Saxon-Potential nur die ersten drei magischen Zahlen als Schalenabschlüsse erreicht.

Lösung: Zusätzliche (starke) Spin-Bahn-Kopplung

Goeppert-Mayer ^[1]
Haxel , Jensen, Suess: ^[2]

V = V (r) + V_{S B} (l s)

,

| V_{S B} | \approx 1 - 2 M e V, V_{S B} < 0

attraktiv

Dublettaufspa1tung: $\begin{aligned} \vec{l} \vec{s} = & \frac{1}{2} ({\vec{j}}^{2} - {\vec{l}}^{2} - {\vec{S}}^{2}) \\ \Rightarrow & \frac{1}{2} (j (j - 1) - l (l + 1) - \frac{3}{4}) \\ = & \frac{1}{2} l fuer j = l + \frac{1}{2} \\ = & - \frac{1}{2} (l + 1) fuer j = l + \frac{1}{2} \end{aligned}$

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Die Miniaturansicht konnte nicht am vorgesehenen Ort gespeichert werden

Die Aufspaltung wächst mit 1, solange

V_{S B}

keine große Abhängigkeit von l zeigt.

Verbesserungen des reinen Schalenmodells

Hinzunahme der Paarungskraft (bei Weizsäckerformel phänomenologisch als Paarungsterm $δ \approx 1 - 2 M e V$ eingeführt) als (kurzreichweitige) Teil der "Restwechselwirkung", die das Bestreben hat, einen möglichst guten Überlapp der Nukleonenwellenfunktionen zu erzielen. Dies gelingt besonders gut durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse und bewirkt den verschwindenden Kerndrehimpuls $I = 0$ aller (g, g)-Kerne im Grundzustand.

Damit wird für (u, g)- und (g, u)-Kerne der Kerndrehimpuls $I = j$ des letzten ungepaarten Nukleons. Diese Regel stimmt für (fast) alle (u, g)- und (g, u)-Kerne, wobei allerdings zu berücksichtigen ist, daß die Paarungskraft die Reihenfolge innerhalb einer Schale verändern kann, indern sie besonders große Einzeldrehimpulse $j$ möglichst paarweise absättigt, so daß hohe Gesamtdrehimpulse $I$ nicht so häufig vorkommen.

Eine weitere Verbesserung ist für Kerne zwischen den magischen zahlen mit großen Quadrupolmomenten (z.B. im Bereich der Seltenen Erden) die Verwendung eines 'deformierten' Potentials $V = V (r, θ)$ Nilsson-Modell.

Für das deformierte Potential ist der Bahndrehimpuls $\vec{l}$ und damit auch $\vec{j} = \vec{l} + \vec{s}$ keine Konstante der Bewegung mehr. Nur die Projektion $m$ auf die Symmetrieachse bleibt konstant, wobei es zu einer Energieaufspaltung bezüglich der verschiedenen $m$ kommt, je nachdem $j$ die "Bahn" $1$ mehr oder weniger lang $m$ im Bereich des anziehenden Potentials verläuft.

Für angeregte Kernzustände ist die Einteilchenvorstellung eines "Valenznukleons" nur sehr bedingt verwendbar. Am besten geht es noch ganz in der Nähe der magischen Zahlen, z.B. bei

82209 P b \hat{=}'^{'}_{82}^{208} P b'^{'} + (2 g_{9 / 2}) -

Valenzneutronen mit

82208 P b

doppelmagischer Rumpf

Besonders zwischen den magischen Zahlen treten Anregungsspektren auf, die sehr viel besser durch kollektive Nukleonenbewegungen, z.B. durch Rotations- und Vibrationszustände - ähnlich wie bei Molekülspektren - beschrieben werden können. Im Gegensatz zu den Molekülspektren sind die Verhältnisse jedoch weitaus komplizierter, da die Trennung in Einteilchenzustände, Vibrationen und Rotationen keine gute Näherung darstellt, da die Bedingung

E (E i n t e i l c h e n) ≫ E (V i b r a t i o n) ≫ E (R o t a t i o n)

im Kern nur sehr schlecht erfüllt ist.

ANMERKUNG Schubotz: Die starke WW im Kern ist viel größer als die elektromagnetische WW in der Hülle

Einzelnachweise

↑ Goeppert-Mayer: Phys. Rev. 75, 1969 (49)
↑ Haxel, Jensen, Suess:Phys. Rev. 75, 1966 (49)

Ergänzende Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

Schalernnodell (Wood-Saxon-Potential, Spin-Bahn-Kopplung(Goeppert Mayer, vgl. Atomhülle), Magische Zahlen bis 28 aufmalen können)
- Grenzen des Modells (Valenznukleonen, uu-Kerne werden schlecht beschrieben)
- Kollektive Anregungen
- Deformationen des Kerns -> Quadrupoltenne (Energieaufspaltung messbar mit dEldx)
- Nielssonmodell (Aufhebung der rn-Entartung, ansonsten nichts genaueres)
Heutige Experimente und Theorien der Kerne (hier wollte sie, glaube ich, die Verbindung zwischen Streuexperimenten und theoretischen Modellentwickhmgen wissen)
Woher kommt das Geraffel am Anfang der Bindungsenergiekurve E_B/A(A)?->Schalenabschlüsse
Schalenmodell: erst nur harmonischer Oszillator dann Spinbahnterm zur Erklärung der magischen Zahlen.

[1] Goeppert-Mayer: Phys. Rev. 75, 1969 (49)

[2] Haxel, Jensen, Suess:Phys. Rev. 75, 1966 (49)

[1]

[2]

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 <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=7|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
-Asgangspunkt: Das Auftreten besonders stabiler Nukleonenkonfiguration
+Ausgangspunkt: Das Auftreten besonders stabiler Nukleonenkonfiguration
-mit charakteristischen Sprüngen in der Separationsenergie bei den Sogenannten <math>magischen Zahlen</math> N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126  (N) in großer Ähnlichkeit mit den Edelgaskonfigurationen der
+mit charakteristischen Sprüngen in der Separationsenergie bei den sogenannten {{FB|magischen Zahlen}}
-Atomhülle. Deshalb als Wiederholung:
+:<math>N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126</math>
+(N) in großer Ähnlichkeit mit den Edelgaskonfigurationen der Atomhülle. Deshalb als Wiederholung:
+:'''Atomhülle'''
-[[Datei:AtomhuelleNieveau24.png]]
+[[Datei:AtomhuelleNieveau24.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Edelgaskonfiguration der Atomhülle{{AnMS|Ry ist wahrscheinlich <math>R_\infty</math>]]
+Aufhebung der {{FB|l-Entartung}}, d-Elektronen (Übergangsmetalle) und f-Elektronen (Lanthaniden, Aktiniden) werden "zu spät" eingebaut.
+Schalenabschlüsse bei den Edelgasen
+:<math>z = 2, 10, 18, 36, 54, 86</math> als den '''magischen Zahlen der Atomhülle'''.
-Aufhebung der l-Entartung, d-Elektronen (Übergangsmetalle) und f-Elektronen (Lanthaniden, Aktiniden) werden "zu spät" eingebaut.
-Schalenabschlüsse bei den Edelgasen z = 2, 10, 18, 36, 54, 86 als den "magischen" Zahlen der Atomhülle.
+'''Aufgabe für die Kernphysik:''' Ein Zentralpotential so zu wählen, dass bei den '''Schalenabschlüssen''' die magischen Zahlen erscheinen.
-Aufgabe für die Kernphysik: Ein Zentralpotential so zu wählen, daß
+Wegen rechnerischer Einfachheit werden oft das {{FB|Kastenpotential}} oder das {{FB|0szillatorpotential}} benutzt.
-bei den Schalenabschlüssen die magischen Zahlen erscheinen. Wegen
-rechnerischer Einfachheit werden oft das Kastenpotential oder das
-zillatorpotential benutzt.
+[[Datei:KastenOszillatropotential25.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Kastenpotential]]
-[[Datei:KastenOszillatropotential25.png]]
+Da es zunächst nur auf die relative Reihenfolge der Energieniveaus ankommt, kann man die Potentiale nach <math>\infty</math> fortsetzen.
-Da es zunächst nur auf die relative Reihenfolge der Energiertiveaus
-ankommt, kann man die Potentiale nach <math>\infty</math> fortsetzen.
 Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential:
+:Äquidistante Abstände der Energieniveaus mit l-Entartung, die bei dem "abgeschnittenen" Potential aufgehoben wird.
-äquidistante Abstände der Energieniveaus mit l-Entartung, die bei
+[[Datei:Aufhebung_l-entartung26.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential]]
-dem "abgeschnittenen" Potential aufgehoben wird
+Ebenso wie hier werden auch beim Kastenpotential und selbst für realistische Potentialformen wie das {{FB|Wood-Saxon-Potential}} nur die ersten drei magischen Zahlen als Schalenabschlüsse erreicht.
-[[Datei:Aufhebung_l-entartung26.png]]
+Lösung: Zusätzliche (starke) {{FB|Spin-Bahn-Kopplung}}
-Ebenso wie hier werden auch beim Kastenpotential und selbst für
+;Goeppert-Mayer <ref>Goeppert-Mayer: Phys. Rev. 75, 1969 (49) </ref>
-realistische Potentialformen wie das Wood-Saxon-Potential nur die
+;Haxel , Jensen, Suess: <ref>Haxel, Jensen, Suess:Phys. Rev. 75, 1966 (49)</ref>
-ersten drei magischen Zahlen als Schalenabschlüsse erreicht.
-Lösung: Zusätzliche (starke) Spin-Bahn-Kopplung
-;Goeppert-Mayer: Phys. Rev. 75, 1969 (49)
-;Haxe1 , Jensen, Suess: Phys. Rev. 75, 1966 (49)
 : <math>V = V(r) + V_{SB}  (ls)</math>, <math>|V_{SB}|\approx 1-2 MeV, V_{SB}<0 </math> attraktiv
-Dub1ettaufspa1tung:
+{{FB|Dublettaufspa1tung}}:
 <math>\begin{align}
-ls= & \frac{1}{2}\left(j^{2}-l^{2}-S^{2}\right)\\
+\vec l \vec s= & \frac{1}{2}\left( \vec j^{2}- \vec l^{2}- \vec S^{2}\right)\\
 \Rightarrow & \frac{1}{2}\left(j(j-1)-l(l+1)-\frac{3}{4}\right)\\
 = & \frac{1}{2}l\quad\text{fuer}\quad j=l+{\frac{1}{2}}\\
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-[[Datei:Feinstruktur29.png]]
+[[Datei:Feinstruktur29.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|]]
-[[Datei:KernSchalenModell50-30.png]]
+[[Datei:KernSchalenModell50-30.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|]]
 === Verbesserungen des reinen Schalenmodells  ===
-Hinzunahme der Paarungskraft (bei Weizsäckerformel phänomenologisch als Paarungsterm <math>\delta \approx   1 -2 MeV</math> eingeführt) als (kurzreich
+Hinzunahme der {{FB|Paarungskraft}} (bei Weizsäckerformel phänomenologisch als Paarungsterm <math>\delta \approx   1 -2 MeV</math> eingeführt) als (kurzreichweitige) Teil der "Restwechselwirkung", die das Bestreben hat,
-weitige) Teil der "Restwechselwirkung", die das Bestreben hat,
+einen '''möglichst guten Überlapp''' der Nukleonenwellenfunktionen zu
-einen möglichst guten Überlapp der Nukleonenwellenfunktionen zu
 erzielen. Dies gelingt besonders gut durch "Antiparallelstellung"
-der Einzeldrehimpulse und bewirkt den verschwindenden Kerndrehimpuls I = 0 aller (g, g)-Kerne im Grundzustand.
+der Einzeldrehimpulse und bewirkt den '''verschwindenden Kerndrehimpuls''' <math>I = 0</math> aller (g, g)-Kerne im Grundzustand.
-[[Datei:UeberlagerungKerndrehimpulse-31.png]]
+[[Datei:UeberlagerungKerndrehimpulse-31.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Überlapp der Nukleonenwellenfunktionen]]
-Damit wird für (u, g)- und (g, u)-Kerne der Kerndrehimpuls I = j
+Damit wird für (u, g)- und (g, u)-Kerne der Kerndrehimpuls <math>I = j</math> des '''letzten ungepaarten Nukleons'''. Diese Regel stimmt für (fast)
-des letzten ungepaarten Nukleons. Diese Regel stimmt für (fast)
+alle (u, g)- und (g, u)-Kerne, wobei allerdings zu berücksichtigen ist, daß die Paarungskraft die Reihenfolge innerhalb einer Schale
-alle (u, g)- und (g, u)-Kerne, wobei allerdings zu berücksichtigen
+verändern kann, indern sie besonders große Einzeldrehimpulse <math>j</math> möglichst paarweise absättigt, so daß hohe Gesamtdrehimpulse <math>I</math>
-ist, daß die Paarungskraft die Reihenfolge innerhalb einer Schale
-verändern kann, indern sie besonders große Einzeldrehimpulse j
-möglichst paarweise absättigt, so daß hohe Gesamtdrehimpulse I
 nicht so häufig vorkommen.
+Eine weitere Verbesserung ist für Kerne zwischen den magischen zahlen mit großen Quadrupolmomenten (z.B. im Bereich der Seltenen Erden) die Verwendung eines ''''deformierten' Potentials''' <math>V = V(r, \theta)</math> {{FB|Nilsson-Modell}}.
+[[Datei:DeformiertesPotential32.png|miniatur]]
-Eine weitere Verbesserung ist für Kerne zwischen den magischen
-zahlen mit großen Quadrupolmomenten (z.B. im Bereich der Seltenen
-Erden) die Verwendung eines 'deformierten' Potentials <math>V = V(r, \theta)</math>
-[Nilsson-Modell].
-[[Datei:DeformiertesPotential32.png|miniatur]
 Für das deformierte Potential ist der
-Bahndrehimpuls l und damit auch <math>j=1+1</math>
+Bahndrehimpuls <math>\vec l</math> und damit auch <math>\vec j=\vec l+\vec s</math>
-keine Konstante der Bewegung mehr. Nur
+''keine'' Konstante der Bewegung mehr.
-die Projektion m auf die Symmetrie
+Nur die Projektion <math>m</math> auf die Symmetrieachse bleibt konstant, wobei es zu einer Energieaufspaltung bezüglich
-achse bleibt konstant, wobei es zu
+der verschiedenen <math>m</math> kommt, je nachdem <math>j</math> die "Bahn" <math>1</math> mehr oder weniger lang <math>m</math> im Bereich des anziehenden Potentials verläuft.
-einer Energieaufspaltung bezüglich
-der verschiedenen m kommt, je nachdem j die "Bahn" 1 mehr oder weniger lang m
-im Bereich des anziehenden Potentials verläuft.
 Für '''angeregte''' Kernzustände ist die Einteilchenvorstellung eines
 "Valenznukleons" nur sehr bedingt verwendbar. Am besten geht es
-noch ganz in der Nähe der magischen Zahlen,
+noch ganz in der Nähe der magischen Zahlen, z.B. bei
+:<math>^{209}_{82}Pb \hat {=} \textrm{''} {}^{208}_{82}Pb \textrm{''} + (2g_{9/2})-</math>Valenzneutronen mit <math>^{208}_{82}Pb</math> doppelmagischer Rumpf
-z.B. bei <math>^{209}_{82}Pb \hat {=} \textrm{''} {}^{208}_{82}Pb \textrm{''} + (2g_{9/2})-</math>Valenzneutronen mit <math>^{208}_{82}Pb</math> doppelmagischer Rumpf
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 Besonders zwischen den magischen Zahlen treten Anregungsspektren
 auf, die sehr viel besser durch '''kollektive''' Nukleonenbewegungen, z.B.
-durch Rotations- und Vibrationszustände - ähnlich wie bei Mole
+durch '''Rotations'''- und '''Vibrationszustände''' - ähnlich wie bei Molekülspektren - beschrieben werden können. Im Gegensatz zu den Molekülspektren sind die Verhältnisse jedoch weitaus komplizierter, da
-külspektren - beschrieben werden können. Im Gegensatz zu den Mole
-külspektren sind die Verhältnisse jedoch weitaus komplizierter, da
 die Trennung in Einteilchenzustände, Vibrationen und Rotationen
-keine gute Näherung darstellt, da die Bedingung E (Einteilchen) ))
+keine gute Näherung darstellt, da die Bedingung
-E (Vibration) )) E (Rotation) im Kern nur '''sehr schlecht''' erfüllt
+:<math>\rm E (Einteilchen) \gg E (Vibration) \gg E (Rotation)</math> im Kern nur '''sehr schlecht''' erfüllt ist.
-ist.
+{{AnMS|Die starke WW im Kern ist viel größer als die elektromagnetische WW in der Hülle}}
+==Einzelnachweise==
+<references />
+==Ergänzende Informationen==
+(gehört nicht zum Skript)
+===Prüfungsfragen===
+* Schalernnodell (Wood-Saxon-Potential, Spin-Bahn-Kopplung(Goeppert Mayer, vgl. Atomhülle), Magische Zahlen bis 28 aufmalen können)
+** Grenzen des Modells (Valenznukleonen, uu-Kerne werden schlecht beschrieben)
+** Kollektive Anregungen
+** Deformationen des Kerns -> Quadrupoltenne (Energieaufspaltung messbar mit dEldx)
+** Nielssonmodell (Aufhebung der rn-Entartung, ansonsten nichts genaueres)
+* Heutige Experimente und Theorien der Kerne (hier wollte sie, glaube ich, die Verbindung zwischen Streuexperimenten und theoretischen Modellentwickhmgen wissen)
+*Woher kommt das Geraffel am Anfang der Bindungsenergiekurve E_B/A(A)?->Schalenabschlüsse
+*Schalenmodell: erst nur harmonischer Oszillator dann Spinbahnterm zur Erklärung der magischen Zahlen.

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Verbesserungen des reinen Schalenmodells

Einzelnachweise

Ergänzende Informationen

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