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| {{Scripthinweis|Elektrodynamik|6}
| | </noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6|0}}</noinclude> |
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| = Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie=
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| Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:
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| Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904).
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| Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !
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| * Kugelwellen sind
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| * -> Lorentz- Invariant, also:
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| *
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| * <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute{\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute{\ }}^{2}}</math>
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| *
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| Für Lorentz- Transformationen !
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| <u>'''Formalisierung:'''</u>
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| <u>'''Der Raumzeitliche Abstand als'''</u>
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| <math>{{\left( ds \right)}^{2}}:={{\left( cdt \right)}^{2}}-{{\left( d\bar{r} \right)}^{2}}</math>
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| Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen :
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| <math>\Sigma \leftrightarrow \Sigma \acute{\ }</math>
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| Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein.
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| Dann schreibt man
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| <math>{{\left( ds \right)}^{2}}</math>
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| als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der '''linearen orthogonalen '''Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:
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| In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:
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| <u>'''kontravariante Komponenten:'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & {{x}^{i}} \\
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| & {{x}^{1}}:=ct \\
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| & {{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}} \\
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| \end{align}</math>
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| als Komponenten des Ortsvektors
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| <math>\bar{r}</math>
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| :
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| <u>'''kovariante Komponenten'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & {{x}_{i}}: \\
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| & {{x}_{0}}:=ct \\
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| & {{x}_{\alpha }}=-{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3 \\
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| \end{align}</math>
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| kovarianter Vektor
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| <math>\in \tilde{V}</math>
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| , dualer Vektorraum zu V !
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| Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten
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| ->
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| <math>\in \tilde{V}</math>
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| als Raum der linearen Funktionale l:
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| <math>V\to R</math>
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| Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !
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| Schreibe
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| <math>{{\left( ds \right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}</math>
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| Mit: Summenkonvention !
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| über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !
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| <u>'''Physikalische Anwendung'''</u>
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| Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt
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| <math>{{a}^{i}}{{a}_{i}}</math>
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| schreiben !
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| '''Beispiel: dÁlemebert- Operator:'''
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| <math>\#=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}=-\frac{\partial }{\partial {{x}^{i}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>
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| <u>'''Vierergeschwindigkeit'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & {{u}^{i}}:=\frac{d{{x}^{i}}}{ds}\Rightarrow {{u}^{i}}{{u}_{i}}=\frac{d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{{{\left( ds \right)}^{2}}}=1 \\
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| & mit \\
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| & ds={{\left( d{{x}^{i}}d{{x}_{i}} \right)}^{\frac{1}{2}}}=c{{\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)}^{\frac{1}{2}dt}}=\frac{c}{\gamma }dt \\
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| & \Rightarrow {{u}^{0}}=\gamma \\
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| & {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }} \\
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| & {{v}^{\alpha }}:=\frac{d{{x}^{\alpha }}}{dt} \\
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| & \beta :=\frac{v}{c} \\
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| & \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \\
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| \end{align}</math>
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| '''Physikalische Interpretation'''
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| <math>\begin{align}
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| & {{u}^{\alpha }}=\frac{1}{c}\frac{d{{x}^{\alpha }}}{d\tau } \\
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| & d\tau =\frac{dt}{\gamma } \\
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| \end{align}</math>
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| '''Viererimpuls'''
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| <math>{{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}}</math>
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| mit der Ruhemasse m0
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| Also:
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| <math>\begin{align}
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| & {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}} \\
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| & {{u}^{i}}{{u}_{i}}=1 \\
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| & \Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}} \\
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| & {{p}^{0}}={{m}_{0}}\gamma c=m(v)c=\frac{E}{c} \\
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| & {{p}^{\alpha }}={{m}_{0}}\gamma {{v}^{\alpha }}=m(v){{v}^{\alpha }} \\
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| & {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\Leftrightarrow {{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}} \\
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| \end{align}</math>
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| Mit der Energie
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| <math>E=m(v){{c}^{2}}</math>
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| '''Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:'''
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| <math>\begin{align}
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| & {{A}^{ik}},{{A}^{i}}_{k},{{A}_{i}}^{k},{{A}_{ik}} \\
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| & {{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}} \\
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| & {{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}} \\
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| & {{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}} \\
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| \end{align}</math>
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| <u>'''Der metrische Tensor'''</u>
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| <math>{{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left. \left\{ \begin{matrix}
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| {{\delta }^{i}}_{k}\quad k=0 \\
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| -{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=1,2,3 \\
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| \end{matrix} \right. \right\}={{g}_{ik}}</math>
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| <math>{{g}^{ik}}={{g}_{ik}}=\left( \begin{matrix}
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| 1 & 0 & 0 & 0 \\
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| 0 & -1 & 0 & 0 \\
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| 0 & 0 & -1 & 0 \\
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| 0 & 0 & 0 & -1 \\
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| \end{matrix} \right)</math>
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| Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:
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| <math>{{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}</math>
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| Wichtig fürs Skalarprodukt:
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| <math>d{{s}^{2}}={{g}^{ik}}d{{x}_{i}}d{{x}_{k}}={{g}_{ik}}d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}</math>
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| <u>Lorentz- Trafo</u>
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| zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo
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| die Lorentz- Transformation für
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| <math>\begin{align}
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| & \left( {{x}^{0}}\begin{matrix}
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| , & {{x}^{1}}, & {{x}^{2}}, & {{x}^{3}} \\
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| \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
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| ct, & x, & y, & z \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| & d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{x}^{2}}-d{{y}^{2}}-d{{z}^{2}} \\
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| \end{align}</math>
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| Nämlich:
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| <math>\begin{align}
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| & \left( \begin{matrix}
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| {{x}_{0}}\acute{\ } \\
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| {{x}_{1}}\acute{\ } \\
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| {{x}_{2}}\acute{\ } \\
| |
| {{x}_{3}}\acute{\ } \\
| |
| \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
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| \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
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| \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
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| 0 & 0 & 1 & 0 \\
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| 0 & 0 & 0 & 1 \\
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| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
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| {{x}_{0}} \\
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| {{x}_{1}} \\
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| {{x}_{2}} \\
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| {{x}_{3}} \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| & x{{\acute{\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}} \\
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| \end{align}</math>
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| Mit
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| <math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
| |
| \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
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| \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
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| 0 & 0 & 1 & 0 \\
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| 0 & 0 & 0 & 1 \\
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| \end{matrix} \right)</math>
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| für
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| <math>v||{{x}_{1}}</math>
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| Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):
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| U ist orthogonale Trafo:
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| <math>\begin{align}
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| & {{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}=\delta _{k}^{l} \\
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| & \Rightarrow a{{\acute{\ }}^{i}}b{{\acute{\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}={{a}^{k}}{{b}_{k}} \\
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| \end{align}</math>
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| Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist
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| Bzw.
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| Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !
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| Umkehr- Transformation:
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| <math>{{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute{\ }}^{k}}</math>
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| = Transformationsverhalten der Ströme und Felder=
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| <u>'''Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum'''</u>
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| Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie !!
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| Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt !
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| '''Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:'''
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| <math>\begin{align}
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| & div\bar{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial {{j}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{j}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{j}_{z}}}{\partial z}+\frac{\partial c\rho }{\partial ct}=0 \\
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| & 0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum\limits_{\alpha =1}^{3}{{}}{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }} \\
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| \end{align}</math>
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| Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich
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| <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
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| in Viererschreibweise.
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| Die Vierer- Stromdichte ist
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| <math>\left\{ {{j}^{\mu }} \right\}=\left\{ c\rho ,\bar{j} \right\}</math>
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| ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor . Er heißt Vierer- Stromdichte.
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| Die Kontinuitätsgleichung ist gleich
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| <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
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| '''Forderung:'''
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| Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten !
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| ->
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| <math>{{j}^{\mu }}=0</math>
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| muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt
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| <math>{{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0</math>
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| Lorentz- invariant ist !:
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| <math>\begin{align}
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| & {{x}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{0}}-\beta {{x}^{1}} \right)\Leftrightarrow t\acute{\ }=\gamma \left( t-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{x}^{1}} \right) \\
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| & {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-\beta {{x}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{x}^{1}}-vt \right) \\
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| & {{x}^{2}}\acute{\ }={{x}^{2}} \\
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| & {{x}^{3}}\acute{\ }={{x}^{3}} \\
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| \end{align}</math>
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| Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:
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| <math>\begin{align}
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| & {{j}^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{0}}-\beta {{j}^{1}} \right)\Leftrightarrow \rho \acute{\ }=\gamma \left( \rho -\frac{v}{{{c}^{2}}}{{j}^{1}} \right) \\
| |
| & {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-\beta {{j}^{0}} \right)\Leftrightarrow {{j}^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{j}^{1}}-v\rho \right) \\
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| & {{j}^{2}}\acute{\ }={{j}^{2}} \\
| |
| & {{j}^{3}}\acute{\ }={{j}^{3}} \\
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| \end{align}</math>
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| Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo.
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| Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.
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| <u>'''4- Potenziale:'''</u>
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| <u>Die </u>Potenziale
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| <math>\Phi ,\bar{A}</math>
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| sind in der Lorentz- Eichung
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| <math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
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| Lösungen von
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| <math>\begin{align}
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| & \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
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| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
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| & \#=-{{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }} \\
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| & {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
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| & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}c{{A}^{\alpha }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\alpha }} \\
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| & \alpha =1,2,3 \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \Delta \phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}=-{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}\rho \\
| |
| & \#\phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
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| \end{align}</math>
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| Zusammen:
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| <math>\begin{align}
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| & -\#{{\Phi }^{\mu }}={{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{\mu }}={{\mu }_{0}}{{j}^{\mu }} \\
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| & {{\Phi }^{0}}:=\phi \\
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| & {{\Phi }^{i}}:=c{{A}^{i}}\quad i=1..3 \\
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| \end{align}</math>
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| Da
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| <math>{{j}^{\mu }}</math>
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| Vierervektoren sind ( wie Vierervektoren transformieren), muss auch
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| <math>{{\Phi }^{\mu }}</math>
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| wie ein Vierervektor transformieren.
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| Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:
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| <math>{{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}</math>
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| lorentz- invariant !:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\Phi }^{0}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{0}}-\beta {{\Phi }^{1}} \right)\quad bzw.\quad \Phi \acute{\ }=\gamma \left( \Phi -v{{A}^{1}} \right) \\
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| & {{\Phi }^{1}}\acute{\ }=\gamma \left( {{\Phi }^{1}}-\beta {{\Phi }^{0}} \right)\quad bzw.\quad A{{\acute{\ }}^{1}}=\gamma \left( {{A}^{1}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}\Phi \right),{{A}^{\acute{\ }2}}={{A}^{2}},A{{\acute{\ }}^{3}}={{A}^{3}} \\
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| \end{align}</math>
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| Nun: Lorentz- Eichung:
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| <math>\nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
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| Lorentz- Eichung <-> Lorentz- Invarianz
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| <math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
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| ( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)
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| <math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot \bar{A}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\phi =0</math>
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| <u>'''Umeichung:'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & \tilde{\bar{A}}=\bar{A}+\nabla F \\
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| & \tilde{\phi }=\phi -\frac{\partial }{\partial t}F \\
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| & \Leftrightarrow \\
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| & c{{{\tilde{A}}}^{\alpha }}=c{{A}^{\alpha }}+{{\partial }_{\alpha }}cF=c{{A}^{\alpha }}-{{\partial }^{\alpha }}cF \\
| |
| & {{{\tilde{\Phi }}}^{0}}={{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}cF={{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}cF \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| '''Also:'''
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| <math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}-{{\partial }^{\mu }}cF</math>
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| '''Felder E und B:'''
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A} \\
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| & \Rightarrow {{E}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}\phi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}c{{A}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}{{\Phi }^{\alpha }}={{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}{{\Phi }^{\alpha }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
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| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
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| & \Rightarrow c{{B}^{1}}={{\partial }_{2}}c{{A}^{3}}-{{\partial }_{3}}c{{A}^{2}}={{\partial }_{2}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }_{3}}{{\Phi }^{2}}={{\partial }^{3}}{{\Phi }^{2}}-{{\partial }^{2}}{{\Phi }^{3}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:
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| <math>\begin{align}
| |
| & c{{B}^{2}}={{\partial }^{1}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }^{3}}{{\Phi }^{1}} \\
| |
| & c{{B}^{3}}={{\partial }^{2}}{{\Phi }^{1}}-{{\partial }^{1}}{{\Phi }^{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:
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| <math>\begin{align}
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| & \left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| & {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & -\frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
| |
| \frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
| |
| \frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\
| |
| \frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| & \Leftrightarrow {{F}^{\mu \nu }}=\left\{ {{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & -{{E}^{1}} & -{{E}^{2}} & -{{E}^{3}} \\
| |
| {{E}^{1}} & 0 & -c{{B}^{3}} & c{{B}^{2}} \\
| |
| {{E}^{2}} & c{{B}^{3}} & 0 & -c{{B}^{1}} \\
| |
| {{E}^{3}} & -c{{B}^{2}} & c{{B}^{1}} & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Wegen der Antisymmetrie hat
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| <math>{{F}^{\mu \nu }}</math>
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| nur 6 unabhängige Komponenten !
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| Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen
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| <math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
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| während die Raum- zeit- Komponenten:
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| <math>\bar{E}=-grad\phi -\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}</math>
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| erfüllen.
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| <u>'''Lorentz- Trafo der Felder:'''</u>
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| Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation.
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| Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit
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| <math>\bar{v}</math>
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| bewegtes System K´ gilt:
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| <math>{{F}_{{}}}{{\acute{\ }}^{\mu \nu }}={{U}^{\mu }}_{\lambda }{{U}^{\nu }}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}</math>
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| <math>{{U}^{i}}_{k}=\left( \begin{matrix}
| |
| \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
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| \frac{-\beta }{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & \frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} & 0 & 0 \\
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| 0 & 0 & 1 & 0 \\
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| 0 & 0 & 0 & 1 \\
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| \end{matrix} \right)</math>
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| Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder
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| <math>\bar{E}</math>
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| und
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| <math>rot\bar{A}=\bar{B}</math>
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| berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden !!
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| <math>\begin{align}
| |
| & E{{\acute{\ }}^{1}}=F{{\acute{\ }}^{10}}={{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=-\beta \gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{0\kappa }}+\gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{1\kappa }}={{\left( \beta \gamma \right)}^{2}}{{F}^{01}}+{{\gamma }^{2}}{{F}^{10}}= \\
| |
| & ={{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right){{F}^{10}}={{E}^{1}} \\
| |
| & {{\gamma }^{2}}\left( 1-{{\beta }^{2}} \right)=1 \\
| |
| & \\
| |
| & E{{\acute{\ }}^{2}}=F{{\acute{\ }}^{20}}={{U}^{2}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{2\kappa }}=\gamma {{F}^{20}}-\beta \gamma {{F}^{21}}=\gamma \left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>E{{\acute{\ }}^{3}}=F{{\acute{\ }}^{30}}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{3\kappa }}=\gamma {{F}^{30}}-\beta \gamma {{F}^{31}}=\gamma \left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right)</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & B{{\acute{\ }}^{1}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{32}}=\frac{1}{c}{{U}^{3}}_{\lambda }{{U}^{2}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{F}^{32}}={{B}^{1}} \\
| |
| & B{{\acute{\ }}^{2}}=\frac{1}{c}F{{\acute{\ }}^{13}}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{3}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=\frac{1}{c}{{U}^{1}}_{\kappa }{{F}^{\kappa 3}}=-\frac{\beta \gamma }{c}{{F}^{03}}+\frac{\gamma }{c}{{F}^{13}}=\gamma \left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>B{{\acute{\ }}^{3}}=\gamma \left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right)</math>
| |
| | |
| '''Zusammenfassung'''
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{E}^{1}}\acute{\ }={{E}^{1}} \\
| |
| & {{E}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{2}}-v{{B}^{3}} \right) \\
| |
| & {{E}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{E}^{3}}+v{{B}^{2}} \right) \\
| |
| & {{B}^{1}}\acute{\ }={{B}^{1}} \\
| |
| & {{B}^{2}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{2}}+\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{3}} \right) \\
| |
| & {{B}^{3}}\acute{\ }=\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}\left( {{B}^{3}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}{{E}^{2}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert !
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| | |
| <u>'''Umeichung:'''</u>
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| | |
| <math>{{\tilde{\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi </math>
| |
| | |
| Somit:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\tilde{F}}}^{\mu \nu }}={{\partial }^{\mu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{{\tilde{\Phi }}}^{\mu }}={{\partial }^{\mu }}\left( {{\Phi }^{\nu }}+{{\partial }^{\nu }}\phi \right)-{{\partial }^{\nu }}\left( {{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi \right) \\
| |
| & ={{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}{{\partial }^{\nu }}\phi -{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={{F}^{\mu \nu }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Homogene Maxwell- Gleichungen'''</u>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \nabla \cdot \bar{B}={{\partial }_{1}}{{B}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{B}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{B}^{3}}=0 \\
| |
| & \Rightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{32}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{13}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{21}}=0 \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\partial }_{1}}=-{{\partial }^{1}} \\
| |
| & {{F}^{32}}=-{{F}^{23}} \\
| |
| & \Rightarrow {{\partial }^{1}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{31}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{12}}=0 \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| + zyklisch in (123)
| |
| | |
| '''innere Feldgleichung für E- Feld'''
| |
| | |
| <math>\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}</math>
| |
| | |
| # Komponente
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| | |
| <math>{{\partial }_{2}}{{E}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{E}^{2}}+\frac{\partial }{\partial t}{{B}^{1}}=0</math>
| |
| | |
| <math>\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{30}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{02}}=0</math>
| |
| und zyklisch (023)
| |
| | |
| zyklische Permutation 1 -> 2 -> 3 -> 1 und mit
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| | |
| <math>{{F}^{ik}}=-{{F}^{ki}}</math>
| |
| | |
| liefert:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{13}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{01}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{30}}=0\quad zyklisch(013) \\
| |
| & \Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{12}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{20}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{01}}=0\quad zyklisch(012) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen'''
| |
| | |
| <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }_{\lambda }}{{F}_{\mu \nu }}=0</math>
| |
| | |
| <math>{{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0</math>
| |
| | |
| Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet !
| |
| | |
| '''Levi- Civita- Tensor:'''
| |
| '''+1 für gerade Permutation von 0123'''
| |
| '''-1 für ungerade Permutation von 0123'''
| |
| '''0, sonst'''
| |
| | |
| '''Bemerkungen'''
| |
| | |
| # Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch ( per Definition).
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| | |
| #
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| # <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
| |
| # transformiert unter Lorentz- Trafo
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }} \\
| |
| & =\left| \begin{matrix}
| |
| {{U}^{\kappa }}_{0} & {{U}^{\kappa }}_{1} & {{U}^{\kappa }}_{2} & {{U}^{\kappa }}_{3} \\
| |
| {{U}^{\lambda }}_{0} & {{U}^{\lambda }}_{1} & {{U}^{\lambda }}_{2} & {{U}^{\lambda }}_{3} \\
| |
| {{U}^{\mu }}_{0} & {{U}^{\mu }}_{1} & {{U}^{\mu }}_{2} & {{U}^{\mu }}_{3} \\
| |
| {{U}^{\nu }}_{0} & {{U}^{\nu }}_{1} & {{U}^{\nu }}_{2} & {{U}^{\nu }}_{3} \\
| |
| \end{matrix} \right|=\left( \det U \right)\cdot {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }} \\
| |
| & \left( \det U \right)=\pm 1 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also
| |
| | |
| <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}</math>
| |
| , muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet
| |
| | |
| <math>{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\acute{\ }=\left( \det U \right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}</math>
| |
| | |
| Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor !
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| | |
| Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:
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| | |
| <math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma }}{{\partial }_{\beta }}{{A}_{\gamma }}</math>
| |
| | |
| Mit Pseudovektor
| |
| | |
| <math>{{\left( \nabla \times \bar{A} \right)}_{\alpha }}</math>
| |
| | |
| =Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum=
| |
| ( Erregungsgleichungen)
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\
| |
| & \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{E}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{E}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{E}^{3}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}c\rho \\
| |
| & \Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{10}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{20}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{30}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
| |
| & \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
| |
| & wegen{{\partial }_{0}}{{F}^{00}}=0 \\
| |
| & auch{{\partial }_{i}}{{F}^{i0}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{0}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| #
| |
| # <math>\nabla \times \bar{B}-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}={{\mu }_{0}}\left( \nabla \times \bar{H}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \right)={{\mu }_{0}}\bar{j}</math>
| |
| #
| |
| | |
| # Komponente
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\partial }_{2}}{{B}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{B}^{2}}={{\mu }_{0}}{{j}^{1}}+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{E}^{1}} \\
| |
| & {{\mu }_{0}}c=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c} \\
| |
| & \Leftrightarrow {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}-.{{\partial }_{3}}{{F}^{13}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}}+.{{\partial }_{0}}{{F}^{10}} \\
| |
| & {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{31}}+{{\partial }_{0}}{{F}^{01}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\
| |
| & \Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 1}}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{1}} \\
| |
| & wegen{{\partial }_{1}}{{F}^{11}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
| |
| & {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu \mu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\mu }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !
| |
| | |
| '''Bemerkungen'''
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| | |
| # die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz
| |
| | |
| <math>\left\{ {{F}_{\mu \nu }} \right\}=\left\{ {{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \right\}=\left( \begin{matrix}
| |
| 0 & \frac{1}{c}{{E}_{x}} & \frac{1}{c}{{E}_{y}} & \frac{1}{c}{{E}_{z}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{x}} & 0 & -{{B}_{z}} & {{B}_{y}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{y}} & {{B}_{z}} & 0 & -{{B}_{x}} \\
| |
| -\frac{1}{c}{{E}_{z}} & -{{B}_{y}} & {{B}_{x}} & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
| |
| | |
| automatisch erfüllt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }} \\
| |
| & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}=0, \\
| |
| & da:{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}\quad symmetrisch \\
| |
| & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}\quad antisymmetrisch \\
| |
| & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen
| |
| | |
| <math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
| |
| | |
| folgt mit Lorentz- Eichung
| |
| | |
| <math>{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={{\partial }^{\nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\Phi }^{\beta }}=0 \\
| |
| & also: \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }}</math>
| |
| als inhomogene Wellengleichung
| |
| | |
| '''Die Maxwellgleichungen'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0 \\
| |
| & {{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}c}{{j}^{\nu }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind.
| |
| Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!
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| | |
| <u>'''Gauß- System:'''</u>
| |
| | |
| <math>{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}=\frac{4\pi }{c}{{j}^{\nu }}</math>
| |
| | |
| =Relativistisches Hamiltonprinzip=
| |
| | |
| <u>'''Ziel: '''</u>Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie
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| | |
| Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \delta W=0 \\
| |
| & W=\int_{1}^{2}{{}}ds \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| letzteres: Wirkungsintegral
| |
| Wichtig:
| |
| <math>{{\left. \delta {{x}^{i}} \right|}_{1,2}}=0</math>
| |
| | |
| Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:
| |
| | |
| <math>W=-{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds</math>
| |
| | |
| Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left( {{\phi }^{i}} \right)({{x}^{j}}) \\
| |
| & \Rightarrow \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}cds-{{\phi }^{i}}d{{x}_{i}} \right\}</math>
| |
| | |
| mit den Lorentz- Invarianten
| |
| | |
| <math>{{m}_{0}}cds</math>
| |
| | |
| und
| |
| | |
| <math>{{\phi }^{i}}d{{x}_{i}}</math>
| |
| | |
| '''Variation:'''
| |
| | |
| <math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c\delta \left( ds \right)-\delta \left( {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>
| |
| | |
| Nun:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \delta \left( ds \right)=\delta {{\left( d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right)}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\frac{\left( d\delta {{x}^{\mu }} \right)d{{x}_{\mu }}+d{{x}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)}{ds} \\
| |
| & \left( d\delta {{x}^{\mu }} \right)d{{x}_{\mu }}=d{{x}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right) \\
| |
| & =\frac{d{{x}^{\mu }}}{ds}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)={{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Außerdem:
| |
| | |
| <math>\delta \left( {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right)=\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}+{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)</math>
| |
| | |
| Somit:
| |
| | |
| <math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>
| |
| | |
| Weiter mit partieller Integration:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{1}^{2}{{}}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\left[ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \\
| |
| & \left[ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right]_{1}^{2}=0,weil\delta {{x}_{\mu }}_{1}^{2}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \int_{1}^{2}{{}}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=\int_{1}^{2}{{}}{{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)ds \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Weiter:
| |
| | |
| <math>\int_{1}^{2}{{}}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)=-\left[ {{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\mu }} \right]_{1}^{2}+\int_{1}^{2}{{}}d{{\phi }^{\mu }}\left( \delta {{x}_{\mu }} \right)</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & d{{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}{{u}_{\nu }}ds \\
| |
| & \delta {{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }} \\
| |
| & \delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}d{{x}_{\mu }}=i<->k={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}{{u}_{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}ds \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Einsetzen in
| |
| | |
| <math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left( d\delta {{x}_{\mu }} \right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left( \delta {{x}_{\mu }} \right) \right\}</math>
| |
| | |
| liefert:
| |
| | |
| <math>\delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}-\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }} \right\}\delta {{x}_{\mu }}</math>
| |
| | |
| '''Wegen'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \delta W=\int_{1}^{2}{{}}\left\{ {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}-\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }} \right\}\delta {{x}_{\mu }}=0 \\
| |
| & {{m}_{0}}c\frac{d{{u}^{\mu }}}{ds}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right){{u}_{\nu }}:={{f}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }} \\
| |
| & {{f}^{\mu \nu }}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.
| |
| | |
| Man setze:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{p}^{\mu }}={{m}_{0}}c{{u}^{\mu }} \\
| |
| & {{f}^{\mu \nu }}=\frac{q}{c}{{F}^{\mu \nu }}=\left( {{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }} \right) \\
| |
| & {{\phi }^{\mu }}=\frac{q}{c}{{\Phi }^{\mu }} \\
| |
| & \frac{d}{ds}{{p}^{\mu }}=\frac{q}{c}{{F}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }}\Leftrightarrow \delta W=\delta \int_{1}^{2}{{}}\left\{ -{{m}_{0}}cds-\frac{q}{c}{{\Phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }} \right\}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Man bestimmt die Ortskomponenten
| |
| <math>\alpha =1,2,3</math>
| |
| über
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{d}{dt}\bar{p}=q\left( \bar{E}+\bar{v}\times \bar{B} \right) \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| überein, denn mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{u}^{0}}=\gamma \\
| |
| & {{u}^{\alpha }}=\frac{\gamma }{c}{{v}^{\alpha }}=-{{u}_{\alpha }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| folgt dann:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{d}{dt}{{p}^{1}}=q\left( {{E}^{1}}+{{v}^{2}}{{B}^{3}}-{{v}^{3}}{{B}^{2}} \right) \\
| |
| & =q\left( {{F}^{10}}+{{F}^{21}}\frac{1}{c}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}\frac{1}{c}{{v}^{3}} \right) \\
| |
| & =\frac{q}{\gamma }\left( {{F}^{10}}\gamma +{{F}^{21}}\frac{\gamma }{c}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}\frac{\gamma }{c}{{v}^{3}} \right)=\frac{q}{\gamma }{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| mit
| |
| | |
| <math>ds=\frac{c}{\gamma }dt</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>\frac{d}{ds}{{p}^{1}}=\frac{q}{c}{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }}</math>
| |
| | |
| Die zeitartige Komponente
| |
| <math>\mu =0</math>
| |
| gibt wegen
| |
| <math>{{p}^{0}}=\frac{E}{c}</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \frac{d}{ds}\frac{E}{c}=\frac{\gamma }{{{c}^{2}}}\frac{dE}{dt}=\frac{q}{c}\left( {{F}^{01}}{{u}_{1}}+{{F}^{02}}{{u}_{2}}+{{F}^{03}}{{u}_{3}} \right)= \\
| |
| & =\frac{q\gamma }{{{c}^{2}}}\left( -{{E}^{1}}{{v}_{1}}-{{E}^{2}}{{v}_{2}}-{{E}^{3}}{{v}_{3}} \right)=\frac{q\gamma }{{{c}^{2}}}\left( {{E}^{1}}{{v}^{1}}+{{E}^{2}}{{v}^{2}}+{{E}^{3}}{{v}^{3}} \right) \\
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| & \frac{dE}{dt}=q\bar{E}\cdot \bar{v} \\
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| \end{align}</math>
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| Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit
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| =Eichinvarianz und Ladungserhaltung=
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| Wirkungsintegral:
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| <math>W=-{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}</math>
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| Dabei:
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| <math>{{m}_{0}}c\int_{1}^{2}{{}}ds={{W}_{t}}</math>
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| ( Teilchen)
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| <math>-\frac{q}{c}\int_{1}^{2}{{}}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}={{W}_{tf}}</math>
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| ( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)
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| Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte
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| <math>m\left( {{x}^{\mu }} \right)</math>
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| :
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| Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!
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| <math>\begin{align}
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| & {{W}_{t}}=-c\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}rm\int_{1}^{2}{{}}ds=-\int_{\Omega }^{{}}{{}}d\Omega m\frac{ds}{dt} \\
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| & d\Omega :={{d}^{3}}rcdt=d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}d{{x}^{3}} \\
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| \end{align}</math>
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| dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum !!!
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| Bemerkungen:
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| #
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| # <math>d\Omega </math>
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| # ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen
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| <math>{{U}^{\mu }}_{\nu }</math>
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| erhalten bleibt.
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| 2) Aus
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| <math>d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega </math>
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| folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m=
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| <math>d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}=\frac{\mu }{c}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}d\Omega </math>
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| :
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| <math>{{m}_{0}}\frac{d{{x}^{\mu }}}{dt}\equiv {{g}^{\mu }}</math>
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| ein Vier- Vektor ist, da
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| <math>d{{m}_{0}},d\Omega </math>
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| Lorentz- Skalare sind und natürlich
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| <math>d{{x}^{\mu }}</math>
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| selbst auch ein Vierervektor
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| #
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| # <math>{{\mu }^{2}}\frac{d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}}{{{\left( dt \right)}^{2}}}={{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}={{\left( \mu \frac{ds}{dt} \right)}^{2}}</math>
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| # ist Lorentz - Invariant.
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| Also
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| <math>{{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}</math>
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| ist Lorentz- Invariant. Also auch
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| <math>\left( \mu \frac{ds}{dt} \right)</math>
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| .
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| Somit ist
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| <math>{{W}_{t}}</math>
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| insgesamt Lorentz- Invariant !
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