Aktuelle Version vom 16. September 2010, 22:00 Uhr

Bilder in der QM

Schrödinger-Bild

nur Zustände

{| ψ ⟩}_{t}

zeitabhängig

Eigenvektoren

| n ⟩

und Operatoren

{\hat{A}}_{S}

sind nicht zeitabhängig

zeitentwicklung mit Zeitentwicklungsoperator

\hat{U} = \exp (- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}_{s} t)

:

{| ψ ⟩}_{t} = \hat{U} {| ψ ⟩}_{0}

{\hat{A}}_{S}

definiert eine symmetrische quadratische From

geometrisch

Zustandsvektor wird um feste Hauptachsen mit Zeitentwicklungsooerator gedreht.

Schrödinger Gleichung

E | ψ ⟩ = H | ψ ⟩

E = i ℏ \partial_{t}

Heisenberg-Bild

Zustände zeitunabhängig

{| ψ ⟩}_{t} = {| ψ ⟩}_{0}

Operatoren

{\hat{A}}_{W} (t)

und Eigenvektoren

{| n ⟩}_{t}

zeitabhängig.

transfomration von Operatoren ins Heisenbergbild

⟨ {\hat{A}}_{S} ⟩ =_{t} {⟨ ψ | {\hat{A}}_{S} | ψ ⟩}_{t} =_{0} \underset{0}{⟨ ψ | \underset{: = {\hat{A}}_{H}}{\underset{⏟}{{\hat{U}}^{+} {\hat{A}}_{S} \hat{U}}} | ψ ⟩} = ⟨ {\hat{A}}_{H} ⟩

Hamilton Operator

{\hat{H}}_{S} = {\hat{H}}_{H}

folgt aus Bewegungsgleichung

Wechselwirkungsbild

{\hat{H}}_{w} = {\hat{H}}_{0, S} + {\hat{H}}_{1, S}

{\hat{H}}_{1}

ist als Störung zu interpretieren

{\hat{A}}_{W} = {\hat{U}}_{0}^{+} {\hat{A}}_{S} U_{0}

mit

{\hat{U}}_{0} = \exp (- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}_{0} t)

{\overset{˘}{A}}_{W} = d_{t} {\hat{A}}_{W} = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, \hat{A}]

\begin{aligned} ⟨ {\hat{A}}_{S} ⟩ =_{t} \underset{t}{⟨ \underset{⟨ ψ_{W} |}{\underset{⏟}{ψ | {\hat{U}}_{0}}} \underset{{\hat{A}}_{W}}{\underset{⏟}{{\hat{U}}_{0}^{+} {\hat{A}}_{S} {\hat{U}}_{0}}} {\hat{U}}_{0}^{+} | ψ ⟩} =_{W} {⟨ ψ | {\hat{A}}_{W} | ψ ⟩}_{W} \\ d_{t} {| ψ ⟩}_{W} = \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}_{0, S} {\hat{U}}_{0}^{+} {| ψ ⟩}_{t} + {\hat{U}}_{0}^{+} \partial_{t} {| ψ ⟩}_{t} \\ \partial_{t} {| ψ ⟩}_{t} = \frac{1}{i ℏ} {\hat{H}}_{0, S} {| ψ ⟩}_{t} = \frac{1}{i ℏ} {\hat{H}}_{0, S} {\hat{U}}_{0} {| ψ ⟩}_{W} \\ \Rightarrow d_{t} {| ψ ⟩}_{W} = \frac{1}{ℏ i} (- {\hat{H}}_{0, S} + \underset{{\hat{H}}_{W} = H_{0, S} + H_{1, S}}{\underset{⏟}{{\hat{U}}_{0}^{+} {\hat{H}}_{0, S} {\hat{U}}_{0}}}) {| ψ ⟩}_{W} = \frac{1}{i ℏ} ({\hat{H}}_{W}) {| ψ ⟩}_{W} \\ \Rightarrow i ℏ d_{t} {| ψ ⟩}_{W} = {\hat{H}}_{1, S} {| ψ ⟩}_{W} \end{aligned}

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 =Schrödinger-Bild=
 nur Zustände
-<math>{{\left| \psi  \right\rangle }_{t}}</math>
+:<math>{{\left| \psi  \right\rangle }_{t}}</math>
 zeitabhängig
 Eigenvektoren
-<math>\left| n \right\rangle </math>
+:<math>\left| n \right\rangle </math>
 und Operatoren
-<math>{{{\hat{A}}}_{S}}</math>
+:<math>{{{\hat{A}}}_{S}}</math>
 sind nicht zeitabhängig
 zeitentwicklung mit Zeitentwicklungsoperator
-<math>\hat{U}=\exp \left( -\frac{\mathfrak{i}}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{s}}t \right)</math>:
+:<math>\hat{U}=\exp \left( -\frac{\mathfrak{i}}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{s}}t \right)</math>:
-<math>{{\left| \psi  \right\rangle }_{t}}=\hat{U}{{\left| \psi  \right\rangle }_{0}}</math>
+:<math>{{\left| \psi  \right\rangle }_{t}}=\hat{U}{{\left| \psi  \right\rangle }_{0}}</math>
-<math>{{{\hat{A}}}_{S}}</math>
+:<math>{{{\hat{A}}}_{S}}</math>
 definiert eine symmetrische quadratische From
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 ==Schrödinger Gleichung==
-<math>E\left| \psi  \right\rangle =H\left| \psi  \right\rangle </math>
+:<math>E\left| \psi  \right\rangle =H\left| \psi  \right\rangle </math>
-<math>E=i\hbar {{\partial }_{t}}</math>
+:<math>E=i\hbar {{\partial }_{t}}</math>
 =Heisenberg-Bild=
 Zustände zeitunabhängig
-<math>{{\left| \psi  \right\rangle }_{t}}={{\left| \psi  \right\rangle }_{0}}</math>
+:<math>{{\left| \psi  \right\rangle }_{t}}={{\left| \psi  \right\rangle }_{0}}</math>
 Operatoren
-<math>{{{\hat{A}}}_{W}}\left( t \right)</math>
+:<math>{{{\hat{A}}}_{W}}\left( t \right)</math>
 und Eigenvektoren
-<math>{{\left| n \right\rangle }_{t}}</math>
+:<math>{{\left| n \right\rangle }_{t}}</math>
 zeitabhängig.
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-<math>\left\langle {{{\hat{A}}}_{S}} \right\rangle ={}_{t}{{\left\langle \psi |{{{\hat{A}}}_{S}}|\psi  \right\rangle }_{t}}={}_{0}{{\left\langle \psi \left| \underbrace{{{{\hat{U}}}^{+}}{{{\hat{A}}}_{S}}\hat{U}}_{:={{{\hat{A}}}_{H}}} \right|\psi  \right\rangle }_{0}}=\left\langle {{{\hat{A}}}_{H}} \right\rangle </math>
+:<math>\left\langle {{{\hat{A}}}_{S}} \right\rangle ={}_{t}{{\left\langle \psi |{{{\hat{A}}}_{S}}|\psi  \right\rangle }_{t}}={}_{0}{{\left\langle \psi \left| \underbrace{{{{\hat{U}}}^{+}}{{{\hat{A}}}_{S}}\hat{U}}_{:={{{\hat{A}}}_{H}}} \right|\psi  \right\rangle }_{0}}=\left\langle {{{\hat{A}}}_{H}} \right\rangle </math>
 ==Hamilton Operator==
-<math>{{{\hat{H}}}_{S}}={{{\hat{H}}}_{H}}</math>
+:<math>{{{\hat{H}}}_{S}}={{{\hat{H}}}_{H}}</math>
 folgt aus [[Bewegungsgleichung]]
 =Wechselwirkungsbild=
-<math>{{{\hat{H}}}_{w}}={{{\hat{H}}}_{0,S}}+{{{\hat{H}}}_{1,S}}</math>
+:<math>{{{\hat{H}}}_{w}}={{{\hat{H}}}_{0,S}}+{{{\hat{H}}}_{1,S}}</math>
-<math>{{{\hat{H}}}_{1}}</math> ist als Störung zu interpretieren
+:<math>{{{\hat{H}}}_{1}}</math> ist als Störung zu interpretieren
-<math>{{{\hat{A}}}_{W}}=\hat{U}_{0}^{+}{{{\hat{A}}}_{S}}{{U}_{0}}</math>
+:<math>{{{\hat{A}}}_{W}}=\hat{U}_{0}^{+}{{{\hat{A}}}_{S}}{{U}_{0}}</math> mit <math>{{{\hat{U}}}_{0}}=\exp \left( -\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)</math>
-mit
-<math>{{{\hat{U}}}_{0}}=\exp \left( -\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0}}t \right)</math>
-<math>{{{\breve{A}}}_{W}}={{d}_{t}}{{{\hat{A}}}_{W}}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{A} \right]</math>
+:<math>{{{\breve{A}}}_{W}}={{d}_{t}}{{{\hat{A}}}_{W}}=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{A} \right]</math>
+:<math>\begin{align}
+  & \left\langle {{{\hat{A}}}_{S}} \right\rangle ={}_{t}{{\left\langle \underbrace{\psi |{{{\hat{U}}}_{0}}}_{\left\langle  {{\psi }_{W}} \right|}\underbrace{\hat{U}_{0}^{+}{{{\hat{A}}}_{S}}{{{\hat{U}}}_{0}}}_{{{{\hat{A}}}_{W}}}\hat{U}_{0}^{+}|\psi  \right\rangle }_{t}}={}_{W}{{\left\langle \psi \left| {{{\hat{A}}}_{W}} \right|\psi  \right\rangle }_{W}} \\
+ & {{d}_{t}}{{\left| \psi  \right\rangle }_{W}}=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}_{0,S}}\hat{U}_{0}^{+}{{\left| \psi  \right\rangle }_{t}}+\hat{U}_{0}^{+}{{\partial }_{t}}{{\left| \psi  \right\rangle }_{t}} \\
+ & {{\partial }_{t}}{{\left| \psi  \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{0,S}}{{\left| \psi  \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{0,S}}{{{\hat{U}}}_{0}}{{\left| \psi  \right\rangle }_{W}} \\
+ & \Rightarrow {{d}_{t}}{{\left| \psi  \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{\hbar i}\left( -{{{\hat{H}}}_{0,S}}+\underbrace{\hat{U}_{0}^{+}{{{\hat{H}}}_{0,S}}{{{\hat{U}}}_{0}}}_{{{{\hat{H}}}_{W}}={{H}_{0,S}}+{{H}_{1,S}}} \right){{\left| \psi  \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }\left( {{{\hat{H}}}_{W}} \right){{\left| \psi  \right\rangle }_{W}} \\
+ & \Rightarrow i\hbar {{d}_{t}}{{\left| \psi  \right\rangle }_{W}}={{{\hat{H}}}_{1,S}}{{\left| \psi  \right\rangle }_{W}} \\
+\end{align}</math>
+[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Bilder: Unterschied zwischen den Versionen

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Inhaltsverzeichnis

Schrödinger-Bild

geometrisch

Schrödinger Gleichung

Heisenberg-Bild

transfomration von Operatoren ins Heisenbergbild

Hamilton Operator

Wechselwirkungsbild

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Bilder: Unterschied zwischen den Versionen

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Schrödinger-Bild

geometrisch

Schrödinger Gleichung

Heisenberg-Bild

transfomration von Operatoren ins Heisenbergbild

Hamilton Operator

Wechselwirkungsbild

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