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| Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen: | | Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen: |
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| also: Für die Normalkomponenten: h -> 0 | | also: Für die Normalkomponenten: h → 0 |
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| Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist, | | Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist, |
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| :<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)</math> | | :<math>\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\left( \bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \right)</math> |
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| Auch hier: h-> 0 | | Auch hier: h→ 0 |
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| Bildlich: | | Bildlich: |
| Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D ( wichtig: Polarisationseffekt -> Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig ! | | Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D ( wichtig: Polarisationseffekt → Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig ! |
| Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig ! | | Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig ! |
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Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Grenzbedingungen für Felder basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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_ Frage ist: Wie verhalten sich
an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien ( Vakuum/ Materie) trennen ?
Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:
Bildlich:
Normalkomponenten:
Betrachte einen Zylinder, der senkrecht auf einer Grenzfläche steht.
Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:
also: Für die Normalkomponenten: h → 0
Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist,
springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt:
Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte
trägt:
Somit müssen die Integranden übereinstimmen:
Tangentialkomponenten
Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:
Auch hier: h→ 0
In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder ! senkrecht auf Flächenvektor und Feld
Wegen:
Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte
wie es bei metallen der Fall ist !,
dann:
Weiter:
können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn
Unendlichkeitsstellen besitzen.
Annahme:
- und
sind beschränkt:
Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:
Das heißt:
Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig
Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte !
Bildlich:
Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D ( wichtig: Polarisationseffekt → Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig !
Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig !
Zusammenfassung:
Maxwellgleichung Grenzbedingung
Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig
Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte ( Flächendivergenz)
Die Tangentialkomponente von H springt ( Flächenrotation) um die Flächenstromdichte
Die Normalkomponente von B ist stetig.
Beispiele:
- Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien mit
Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin !
letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte !
Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien
Achtung ! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen
- Grenzfläche zwischen Vakuum ( Luft) und magnetischem Material
2.1 Sei speziell
Grenzfläche ( z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso !)):
In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist
grundsätzlich stetig !
B ist eh immer grundsätzlich stetig ! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer ( wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.
- Paramagnetisch:
- Paramagnetisch:
2.2 Sei speziell
Grenzfläche ( z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso !)):
Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen ( E und H):
In diesem Fall ist
stetig für
( kein Oberflächenstrom)