Diskussion:Euler-Lagrange-Gleichungen

FILMTEXT: Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen nach dem Hamilton'schen Variationsprinzip.

Betrachtet man zwei Punkte im Konfigurationsraum (q1 und q2) und bezeichnet M als die Menge aller 2 mal stetig differenzierbaren Funktionen aus dem Ereignisraum deren Funktionswert an der Stelle t1 q1 und an der stelle t2 q2 ist so kann man alle Elemente von M als Summe einer bestimmten Funktion q0 von t aus M und einer Abweichung von dieser Funktion delta q von t beschreiben. Diese Abweichung delta q muss an der Stelle t1 sowie an der Stelle t2 verschwinden. Die Zeitabhängigkeit von q geben wir hier nicht explizit an, um zu verdeutlichen, dass die Funktionen q von t als Punkte in dem Konfigurationsraum angesehen werden.

Das Hamiltonsche Variationsprinzip postuliert, dass grade diejenige Bahn die wir q0 nennen und hier gelb gekennzeichnet haben, tatsächlich eingeschlagen wird, bei der die Wirkung s von q minimal wird. Das Funktional s von q ist dabei das Wegintegral der Langrangefunktion längst des Weges q. S von q0 ist also folglich, dass das kleinste aller Funktionale.

Was nun folgt ist eine Variationsrechnung. Jede Wirkung kann in die kleinste Wirkung plus einem Teil delta S von q dargestellt werden. Stellt man dies nach Delta S um und setzt q als q0 + delta q ein so erhält man diese Gleichung.

Für genügend kleine delta kann die analytische Lagrangefunktion am Ort q0 plus delta q durch ihre Taylor Entwicklung in erster Ordnung ersetzt werden. Führt man die Integration für L von q0 aus so erhält man wieder die Wirkung von q0 und somit kann dieser Term gestrichen werden.

Nun fassen wir q wieder als Funktion der Zeit auf und verwenden die Kettenregel um delta q punkt umzuschreiben.

Integrieren wir die totale Ableitung einer Funktion muss diese an den Integrationsgrenzen ausgewertet haben. Mit einem lächeln erinnern wir uns daran, dass Delta q an den Stellen t1 und t2 null sein muss. Also können wir wieder einen Term streichen.

Wir sortieren die Terme jetzt in der Reihenfolge Operator auf L angewendet mal delta q. Da delta q im Allgmeinen ungleich 0 ist muss der mittlere Teil im Integral, Operator auf L, 0 sein damit detla S 0 ist.

Damit haben wir unser Ziel erreicht und die Euler Lagrange Gleichungen stehen da.