Die Hamilton-Jacobi-Theorie

Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht.

Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung

Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:

$\overline{H}\equiv 0$

Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:

$M_2(\overline{q},\overline{P},t)=:S$

dann suchen wir die folgende Trafo:

$\begin{array}{rl}& (\overline{q},\overline{p})\to (\overline{Q},\overline{P})\\ & H(\overline{q},\overline{p},t)\to \overline{H}(\overline{Q},\overline{P})=H+\frac{\partial S}{\partial t}\\ \end{array}$

mit

$\begin{array}{rl}& p_k=\frac{\partial S}{\partial q_k}\\ & Q_k=\frac{\partial S}{\partial P_k}\\ \end{array}$

So dass:

$\overline{H}(\overline{Q},\overline{P})=H(q_1,...,q_f,\frac{\partial S}{\partial q_1},...,\frac{\partial S}{\partial q_f},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte

Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.

Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für $\begin{array}{rl}& S(\overline{q},\overline{\alpha },t)\\ & {\alpha }_k=P_k=const.\\ \end{array}$

Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen: $\overline{q},t$

Die kanonischen Gleichungen lauten:

$\begin{array}{rl}& {\dot{P}}_k=-\frac{\partial H}{\partial Q_k}\equiv 0\Rightarrow P_k={\alpha }_k=cons\\ & {\dot{Q}}_k=\frac{\partial \overline{H}}{\partial P_k}\equiv 0\Rightarrow Q_k={\beta }_k=const\\ \end{array}$

Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:

$\begin{array}{rl}& H(\overline{q},\overline{p},t)\\ & p_k=\frac{\partial S}{\partial q_k}\\ & H(\overline{q},\frac{\partial S}{\partial \overline{q}},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0Ham.Jac.DGL\\ \end{array}$

1. Lösung der Ham- Jacobi-DGL:

$\begin{array}{rl}& S(\overline{q},\overline{\alpha },t)\\ & {\alpha }_k=P_k=const.\\ \end{array}$

1. Aus der Erzeugenden

$S(\overline{q},\overline{\alpha },t)$ folgt:

$Q_k=\frac{\partial S(\overline{q},\overline{\alpha },t)}{\partial {\alpha }_k}={\beta }_k$

mit der implizierten Umkehrung:

$q_j=q_j(\overline{\alpha },\overline{\beta },t)$

möglich wegen

$\det \frac{{\partial }^{2}S(\overline{q},\overline{\alpha },t)}{\partial {\alpha }_k\partial q_l}\ne 0$

Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf

4. $p_j=\frac{\partial S}{\partial q_j}=p_j(\overline{q},\overline{\alpha },t)=p_j(\overline{q}(\overline{\alpha },\overline{\beta }),\overline{\alpha },t)$

5. Bestimmung von $\overline{\alpha },\overline{\beta }$ aus den Anfangsbedingungen:

In drei (3.): $q_j(0)=q_j(\overline{\alpha },\overline{\beta },0)$

In vier ( 4.): $p_j(0)=p_j(\overline{\alpha },\overline{\beta },0)$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \overline{\alpha }(\overline{q}(0),\overline{p}(0))\\ & \overline{\beta }(\overline{q}(0),\overline{p}(0))\\ \end{array}$

Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit $q_j(t)$ und $p_j(t)$ bestimmt

Physikalische Bedeutung von S:

$\begin{array}{rl}& \frac{dS}{dt}=\sum _j\frac{\partial S}{\partial q_j}{\dot{q}}_j+\frac{\partial S}{\partial t}=\sum _j{p}_j{\dot{q}}_j+\frac{\partial S}{\partial t}\\ & \frac{\partial S}{\partial t}=\overline{H}-H=-H\\ & \frac{dS}{dt}=\sum _j{p}_j{\dot{q}}_j-H=L\\ & \Rightarrow S=\int Ldt\\ \end{array}$

S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.

Beispiel: 1 dim Oszi

1. $\begin{array}{rl}& H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2\\ & S(q,P,t)\\ \end{array}$

H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit $\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}=p$

Hamilton- Jacobi DGL:

$\frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}\right)+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

2. Lösungsansatz:

$S(q,P,t)=W(q;P)+V(t;P)$

Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{dW}{dq}\right)}^2+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2=-\frac{dV}{dt}$

Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:

$\frac{1}{2m}{\left(\frac{dW}{dq}\right)}^2+\frac{m}{2}{\omega }^2{q}^2=-\frac{dV}{dt}=\alpha \equiv const$

$V(t)=-\alpha t+V_0$

Es folgt:

$\begin{array}{rl}& {\left(\frac{dW}{dq}\right)}^2=m^2{\omega }^2(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)\\ & W=m\omega \int dq\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}\\ \end{array}$

Also:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int dq\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}-\alpha t+V_0$

Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:

$S(q,\alpha ,t)=m\omega \int dq\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega [\frac{q}{2}\sqrt{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}+\frac{\alpha }{m{\omega }^2}\arcsin \left(q\sqrt{\frac{m{\omega }^2}{2\left|\alpha \right|}}\right)]$ 3. $\begin{array}{rl}& Q=\left(\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha }\right)=-t+\frac{1}{\omega }\int dq{(\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2)}^{-\frac{1}{2}}=\beta \\ & Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left(q\sqrt{\frac{m{\omega }^2}{2\left|\alpha \right|}}\right)\\ & \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin (\omega (t+\beta ))\\ \end{array}$

Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) !

4. $p=\left(\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}\right)=\frac{dW}{dq}=m\omega \sqrt{\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}-q^2}=\sqrt{2\alpha m}\cos (\omega (t+\beta ))$

5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0 !

$p(0)=0,q(0)=q_0\ne 0$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow q_0=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin (\omega (\beta ))\\ & 0=p_0=\sqrt{2\alpha m}\cos (\omega (\beta ))\\ & \Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2\omega }\Rightarrow q_0=\sqrt{\frac{2\alpha }{m{\omega }^2}}\\ & \Rightarrow \alpha =\frac{m}{2}{\omega }^2{q_0}^2=E\\ \end{array}$

Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.

Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch $S(q,P,t)$ erzeugt wird.

Spezialfall:

Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H

$\frac{\partial H}{\partial t}=0\iff \frac{dH}{dt}=\{H,H\}=0$ H ist dann Integral der Bewegung

Hamilton- Jacobi DGL:

$H(\overline{q},\frac{\partial S}{\partial q_1},...,\frac{\partial S}{\partial q_f})+\frac{\partial S}{\partial t}=0$

Lösungsansatz:

$S(\overline{q},\overline{P},t)=W(\overline{q};\overline{P})-Et$

Somit folgt:

$H(\overline{q},\frac{\partial W}{\partial q_1},...,\frac{\partial W}{\partial q_f})=E$ Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen

$W(\overline{q};\overline{P})$ heißt verkürztes Wirkungsfunktional

Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo ( im engeren Sinn) aufgefasst werden:

$\begin{array}{rl}& p_j=\frac{\partial W}{\partial q_j}\\ & Q_j=\frac{\partial W}{\partial P_j}\\ & \overline{H}=H=E\\ & \Rightarrow {\dot{Q}}_j=\frac{\partial \overline{H}}{\partial P_j}=\frac{\partial E}{\partial {\alpha }_j}={\omega }_j\Rightarrow Q_j={\omega }_{j}t+{\beta }_j=\frac{\partial W}{\partial P_j}\\ \end{array}$

Bezug zur Quantenmechanik

• Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial

$V(\overline{q}),\overline{q}\in R^3$ , gilt auch für $V(\overline{q}),\overline{q}\in R^f$

$W(\overline{q})=const$ sind dann Flächen im R³:

Dabei sind $S(\overline{q},t)=W(\overline{q})-Et$ Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit

$\overline{u}\approx \mathrm{\nabla }W(\overline{q})$ mit $\overline{u}\mathrm{\perp }W(\overline{q})=const$

Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:

$\overline{p}=\mathrm{\nabla }W(\overline{q})$

Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p ( Welle- Teilchen- Dualismus).

In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:

$H(\overline{q},\mathrm{\nabla }W)=\frac{1}{2m}{(\mathrm{\nabla }W(\overline{q}))}^2+V(\overline{q})=E$

Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik ( Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen ( gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie

Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:

$(\frac{-{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+V(\overline{r}))\mathrm{\Psi }(\overline{r})=E\mathrm{\Psi }(\overline{r})$

links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung. $\mathrm{\Psi }(\overline{r})=e^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}$ als Wellenfunktion

Unsere Koordinatentrafo lautet:

$\begin{array}{rl}& \overline{q}\to \overline{r}\\ & \overline{p}\to \frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }\\ \end{array}$

Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:

$\mathrm{\Delta }{e}^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}=\mathrm{\nabla }\frac{i}{\hslash }\left(\mathrm{\nabla }W{e}^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}\right)\cong -\frac{1}{{\hslash }^2}{\left(\mathrm{\nabla }W\right)}^2{e}^{\frac{i}{\hslash }W(\overline{r})}$

Veranschaulichung der Zusammenhänge:

Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.

führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein ( optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik ( Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.

Wirkungs- und Winkelvariable

Nun betrachten wir eine Modifikation des Hamilton- Jacobi- Verfahrens. Dabei geht es speziell um periodische Systeme. Das Ganze soll an einem Beispiel skizziert werden und erst dann Verallgemeinerung finden.

Klassifikation von periodischem Verhalten:

• geschlossene Phasenraumkurvn welcher Art auch immer sind Librationen. Diese sind beispielsweise Schwingungen.
• dabei gilt:

$\begin{array}{rl}& q(t+\tau )=q(t)\\ & p(t+\tau )=p(t)\\ \end{array}$

• periodische ( hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen ( dies sind nicht Schwingungen im ortsraum !) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt:

$\begin{array}{rl}& q(t+\tau )=q(t)+q_0\\ & p(t+\tau )=p(t)\\ \end{array}$

• Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse:

$\begin{array}{rl}& q(t)=\varphi \\ & q_0=2\pi \\ \end{array}$

Beispiel: Das mathematische Pendel ( mit beliebig großen Auslenkungen)

f= 1, verallgemeinerte Koordinate: Winkel $\varphi$ ., s= $\varphi$ l

$\begin{array}{rl}& T=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\varphi }}^2\\ & V=mgl(1-\cos \varphi )\\ \end{array}$

verallgemeinerter kanonischer Impuls:

$\begin{array}{rl}& p_{\varphi }=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi }}=m{l}^2\dot{\varphi }\\ & H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})=T+V=\frac{{p_{\varphi }}^2}{2m{l}^2}+mgl(1-\cos \varphi )\\ \end{array}$ für ein konservatives System

Es folgen die Hamiltonschen Gleichungen:

$\begin{array}{rl}& \dot{\varphi }=\frac{\partial H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})}{\partial p_{\varphi }}=\frac{p_{\varphi }}{m{l}^2}\\ & {\dot{p}}_{\varphi }=-\frac{\partial H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})}{\partial \varphi }=-mgl\sin \varphi \\ \end{array}$

1. Integral ( Enrgieerhaltung): Phasenbahn

$H(\varphi ,p_{\dot{\varphi }})=T+V=\frac{{p_{\varphi }}^2}{2m{l}^2}+mgl(1-\cos \varphi )=E=const.$

Für kleine Winkel gilt die bekannte Kleinwinkelnäherung:

$\frac{{p_{\varphi }}^2}{2m{l}^2}+mgl\frac{{\varphi }^2}{2}=E=const.$

-> Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt.

Gleichgewichtslagen: Fixpunkte: $\begin{array}{rl}& \dot{\varphi }={\dot{p}}_{\varphi }=0\\ & p_{\varphi }=0\\ & \varphi =n\pi ,n\in N\\ \end{array}$

$E\le 2mgl$ Libration: Schwingung mit $\left|\varphi \right|\le {\varphi }_0$

$E>2mgl$ Rotation: überschlagendes Pendel: $\varphi$ unbeschränkt

Für E=2mgl haben wir den Spezialfall einer Kriechbahn ( Separatrix zwischen a) und b):

Übergang zu neuen kanonischen Variablen ( f=1)

$\begin{array}{rl}& (q,p)\to (\theta ,I)\\ & I(E):=\underset{{\mathrm{\Gamma }}_E}{\oint }pdq\\ \end{array}$

I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn ${\mathrm{\Gamma }}_E$ zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. ( = Phasenintegral).

$\theta$ ist die Winkelvariable, auf Periode 1 normiert.

Gelegentlich findet sich:

$\begin{array}{rl}& (q,p)\to (\theta ,I)\\ & I(E):=\frac{1}{2\pi }\underset{{\mathrm{\Gamma }}_E}{\oint }pdq\\ \end{array}$

In diesem Fall ist $\theta$ auf $2\pi$ normiert.

gesucht ist die zugehörige kanonische Transformation:

$\begin{array}{rl}& p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}\\ & \theta =\frac{\partial W(q,I)}{\partial I}\\ \end{array}$

Mit der neuen Hamiltonfunktion:

$H(q,\frac{\partial W(q,I)}{\partial q})=E(I)$

Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn $\frac{dI}{dE}\ne 0$ .

Da $\theta$ zyklisch ist muss I konstant sein.

Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für $\theta$ lautet:

$\begin{array}{rl}& \dot{\theta }=\frac{\partial E(I)}{\partial I}:={\nu }_I=const.\\ & \theta ={\nu }_{I}t+{\theta }_{0}mod1\\ & I=const\\ \end{array}$

Die Lösung für $\theta$

ist bei Normierung auf

$2\pi$ natürlich modulo $2\pi$

zu verstehen.

Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz ${\nu }_I$ berechnet.

Das Phasenraumportrait ist der folgenden gestalt:

Beispiel: eindimensionaler Oszillator

$H(q,p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q})=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2}{2}{q}^2=E(I)$

Phasenbahn:

$\frac{\partial W(q,I)}{\partial q}=p=\pm m\omega \sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}-q^2}$

Umkehrpunkte:

$q_{\pm }=\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}}$

Wirkungsvariable:

$\begin{array}{rl}& I(E)=\oint pdq=2m\omega \underset{q_{-}}{\overset{q_{+}}{\int }}\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}-q^2}dq\\ & I(E)=2m\omega {[\frac{q}{2}\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}-q^2}+\frac{E}{m{\omega }^2}\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m{\omega }^2}}}]}_{q+}^{q-}=\frac{2\pi }{\omega }E\\ \end{array}$

Transformierte Hamiltonfunktion:

$\begin{array}{rl}& \overline{H}=E=\frac{\omega }{2\pi }I\\ & \dot{\theta }=\frac{\partial E}{\partial I}=\frac{\omega }{2\pi }:={\nu }_I\\ \end{array}$

Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)

Nebenbemerkungen:

1. $I=\frac{2\pi }{\omega }E=\tau E$ hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung

$\theta$ ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum ! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum ( des Pendels Phi) zu tun

Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.

• die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 ( Kreis mit Radius 1) abgebildet.

Verallgemeinerung auf beliebiges f:

Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz

${\omega }_j=\frac{2\pi }{{\tau }_j}$ ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls !

Falls: ${\omega }_1:{\omega }_2:{\omega }_3:...:{\omega }_f$ rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.

Falls: $\mathrm{\exists }i,j\to {\omega }_i:{\omega }_j$ irrational -> offene Bahn ( quasiperiodisch).

Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable ${\theta }_j$ zu ${\omega }_j$

Abbildung auf $S^1\times S^1\times S^1\times ...\times S^1=:T^f$ (f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus

Beispiel: 2Torus:

Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus !

Satz über integrable Systeme

Einautonomes System ( Hamiltonsch) habe f unabhängige Integrale der Bewegung

$g_k(\overline{q},\overline{p})$ k=1,...,f

mit $g_1(\overline{q},\overline{p})=H(\overline{q},\overline{p})$ Energie und

$\{g_i,g_j\}=0\mathrm{\forall }i,j$

Dann gilt:

1. die durch

$g_k(\overline{q},\overline{p})={\alpha }_k=const$ gegebene Hyperfläche des Phasenraums ( falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus $T^f$ abbilden.

1. die Allgemeine Bewegung auf

$T^f$ ist quasiperiodisch: $\frac{d{\theta }_i}{dt}={\omega }_i$ , ${\theta }_i$ ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f

1. das System ist INTEGRABEL, das heißt, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich vollständig und global integrieren.

Beispiele: 2- Körper- Problem mit Zentralkraft, gekoppelte harmonische Oszillatoren

Gegenbeispiel: 3- Körperproblem mit Zentralkraft (f=9, nur 6 unabhängige Integrale der Bewegung:

$E,{\overline{P}}_{gesamt},l^2,l_3$

Nebenbemerkung:

Wegen $\{l_3,l_1\}=l_3$ und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung $\{g_i,g_j\}=0$ obgleich gilt: $\{l_i,H\}=0$ .

Wirkunsgvariable:

$I_k({\alpha }_1,...,{\alpha }_f):=\underset{{\mathrm{\Gamma }}_k}{\oint }{p}_{k}d{q}_k(k=1,..,f)$

Für ein separables System gilt:

$\begin{array}{rl}& W=\sum _{j=1}^f{W}_j(q_j,\overline{\alpha })\\ & p_k=\frac{d{W}_k}{d{q}_k}\\ \end{array}$

Die Umkehrung liefert die Energie:

$E\equiv {\alpha }_1={\alpha }_1(I_1,...,I_f)$

Die Hamiltongleichungen lauten:

$\begin{array}{rl}& \dot{\theta }=\frac{\partial E(I_1,...,I_f)}{\partial I_k}={\nu }_k(I_1,...,I_f)\\ & \Rightarrow {\theta }_k={\nu }_{k}t+{\beta }_k\\ & {\nu }_k=\frac{1}{{\tau }_k}\\ \end{array}$

Fazit:

Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen ${\nu }_k$ periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen.

Störungen integrabler Systeme

Betrachte ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen

$\overline{I}(I_1,...,I_f)$ und der Winkelvariablen $\overline{\theta }({\theta }_1,...,{\theta }_f)$ , Hamiltonfunktion $H_0(\overline{I})$

Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke $\epsilon$

$H(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )=H_0(\overline{I})+\epsilon H_1(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )$

In diesem Fall ist $\theta$ nicht mehr zyklisch. $\overline{I}(I_1,...,I_f)$ ist also keine Bewegungskonstante mehr !

Beispiel:

Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem

System: Sonne, Erde, Mond

• integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
• Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?

Also:

Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.

Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?

• Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto !

Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)

• Stabilitätsaussagen

Voraussetzung:

Die Frequenzen des integrablen Systems $H_0(\overline{I})$

sind rational unabhängig, also:

$\sum _{i=1}^f{r}_i{\omega }_i=0r_i\in Z\iff r_1=...=r_f=0$

Dann überdeckt jede Bahn für festes $I_k={\alpha }_k$ den Torus $T^f$ dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

ERGODISCHE Bewegung ( nichtresonanter Torus)

KAM- Theorem

Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt

$\left|\sum _{i=1}^f{r}_i{\omega }_i\right|\ge \gamma {\left|\overline{r}\right|}^{\alpha }\alpha ,\gamma >0$

So hat das gestörte System $H(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )=H_0(\overline{I})+\epsilon H_1(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )$ für kleine $\epsilon$ überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von $H_0$ werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

Anwendung:

Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems !

Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

• störungstheoretische Entwicklung in

$\epsilon$

• Mittelung über die Störungen