Zwangsbedingungen und Zwangskräfte: Unterschied zwischen den Versionen
*>SchuBot K Interpunktion, replaced: . → . (4), ( → ( (3) |
K Änderungen von SchuBot (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von Schubotz wiederhergestellt |
||
Zeile 9: | Zeile 9: | ||
<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | |||
Zeile 15: | Zeile 15: | ||
{{Def|Die Zahl der '''Freiheitsgrade''' beträgt dann <math>f=3N-\nu </math>|Freiheitsgrade}} | {{Def|Die Zahl der '''Freiheitsgrade''' beträgt dann <math>f=3N-\nu </math>|Freiheitsgrade}} | ||
{{Beispiel|'''Beispiel''':Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand | {{Beispiel|'''Beispiel''':Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand | ||
[[Datei: | [[Datei:Dreieck_graph.svg|miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen <math>l_ij</math>]] | ||
<math>{{l}_{ij}}</math> | |||
einhalten, so erhalten wir 3 Zwangsbedingungen: | einhalten, so erhalten wir 3 Zwangsbedingungen: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{f}_{1}}=|{{{\vec{r}}}_{1}}-{{{\vec{r}}}_{2}}|-{{l}_{12}}=0 \\ | & {{f}_{1}}=|{{{\vec{r}}}_{1}}-{{{\vec{r}}}_{2}}|-{{l}_{12}}=0 \\ | ||
& {{f}_{2}}=|{{{\vec{r}}}_{2}}-{{{\vec{r}}}_{3}}|-{{l}_{23}}=0 \\ | & {{f}_{2}}=|{{{\vec{r}}}_{2}}-{{{\vec{r}}}_{3}}|-{{l}_{23}}=0 \\ | ||
Zeile 31: | Zeile 31: | ||
{| class="float-right wikitable" | {| class="float-right wikitable" | ||
|+ Starrer Körper aus N Teilchen | |+ Starrer Körper aus N Teilchen | ||
|- style="background: #DDFFDD;"! | |- style="background: #DDFFDD;" | ||
! N | |||
! Hinzukommende Einschränkungen | |||
! Zwangsbedingungen (<math>\nu </math>) | |||
! Freiheitsgrade <math>f=3N-\nu </math> | |||
|-! | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"| 1 | |||
| 0 | | 0 | ||
| 0 | | 0 | ||
| 3 | | 3 | ||
|-! | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"| 2 | |||
| 1 | | 1 | ||
| 1 | | 1 | ||
| 5 | | 5 | ||
|-! | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"| 3 | |||
| 2 | | 2 | ||
| 3 | | 3 | ||
| 6 | | 6 | ||
|-! | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"| 4 | |||
| 3 | | 3 | ||
| 6 | | 6 | ||
| 6 | | 6 | ||
|-! | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"| 5 | |||
| 3 | | 3 | ||
| 9 | | 9 | ||
| 6 | | 6 | ||
|-! | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"|... | |||
|.. | | .. | ||
|.. | | .. | ||
|.. | | .. | ||
|-! | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"|<math>N \ge 4</math> | |||
| 3 | | 3 | ||
| 3N-6 | | 3N-6 | ||
Zeile 75: | Zeile 75: | ||
Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen: | Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen: | ||
<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=|{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N</math> | |||
Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. | Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. | ||
Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. | Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. | ||
Zeile 82: | Zeile 82: | ||
Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle | Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle | ||
<math>\lambda =1,...,\nu </math> | |||
die Zwangsbedingungen ein '''linear unabhängiges Gleichungssystem''' bilden, also | die Zwangsbedingungen ein '''linear unabhängiges Gleichungssystem''' bilden, also | ||
<math>\operatorname{Rang}\left( \frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}} \right)=\nu </math> | |||
Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für <math>N \ge 3</math>. | Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für <math>N \ge 3</math>. | ||
Nun sucht man eine Lösung für die '''Bewegungsgleichung'''. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve | Nun sucht man eine Lösung für die '''Bewegungsgleichung'''. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | |||
. Alle Bahnen | |||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | |||
müssen nun jedoch die | müssen nun jedoch die | ||
<math>\nu </math> | |||
unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen: | unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen: | ||
<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math> | |||
Das {{FB|totale Differenzial}} (längs der Bahn | Das {{FB|totale Differenzial}} ( längs der Bahn | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | |||
) läßt sich schreiben: | |||
<math>\frac{d{{f}_{\lambda }}}{dt}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | |||
Zeile 107: | Zeile 107: | ||
<math>d{{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | |||
===Nichtholonome Zwangsbedingungen=== | ===Nichtholonome Zwangsbedingungen=== | ||
Zeile 113: | Zeile 113: | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>|nichtholonome Zwangsbedingungen}} | |||
Dies ist eine {{FB|Pfaffsche Differenzialform}}. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein {{FB|integrierender Faktor}} | Dies ist eine {{FB|Pfaffsche Differenzialform}}. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein {{FB|integrierender Faktor}} | ||
<math>{{g}_{\lambda }}</math> | |||
existiert, so dass | existiert, so dass | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+{{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)dt=}d{{f}_{\lambda }}\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | |||
Zeile 128: | Zeile 128: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}={{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }} \\ | & {{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}={{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }} \\ | ||
& {{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}=\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t} \\ | & {{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}=\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t} \\ | ||
Zeile 135: | Zeile 135: | ||
Dies kann man wieder so interpretieren, dass beliebige Positionen der Teilchen, also | Dies kann man wieder so interpretieren, dass beliebige Positionen der Teilchen, also | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)\quad i=1...N</math> | |||
möglich sind, also | möglich sind, also | ||
<math>{{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},...{{\vec{r}}_{N}}</math> | |||
beliebig, jedoch ist die momentane Bewegungsrichtung eingeschränkt. Man sagt auch, die lokalen Bewegungen sind eingeschränkt (längs der Bahn | beliebig, jedoch ist die momentane Bewegungsrichtung eingeschränkt. Man sagt auch, die lokalen Bewegungen sind eingeschränkt ( längs der Bahn | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)\quad i=1...N</math> | |||
) | |||
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | |||
{{Beispiel| | {{Beispiel| | ||
Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist | Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist | ||
<math>d{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | |||
durch die momentane Radrichtung bestimmt}} | durch die momentane Radrichtung bestimmt}} | ||
Zeile 153: | Zeile 153: | ||
Es ist weiter zu unterscheiden | Es ist weiter zu unterscheiden | ||
* zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen {{FB|rheonom}} | * zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen {{FB|rheonom}} | ||
* zeitunabhängige (nicht explizit zeitabhängige), starre, ZB heißen {{FB|skleronom}} | * zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen {{FB|skleronom}} | ||
====Zwangsbedingungen als Ungleichungen==== | ====Zwangsbedingungen als Ungleichungen==== | ||
Zeile 163: | Zeile 163: | ||
<math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}}\quad i=1...N</math> | |||
Zeile 171: | Zeile 171: | ||
<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> {{FB|holonome Nebenbedingungen}} | |||
oder | oder | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>{{FB|anholonome Nebenbedingungen}} | |||
zu lösen. | zu lösen. | ||
Zeile 182: | Zeile 182: | ||
Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch {{FB|Zwangskräfte}} | Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch {{FB|Zwangskräfte}} | ||
<math>{{\vec{Z}}_{i}}</math> | |||
erzwungen werden. | erzwungen werden. | ||
Zeile 188: | Zeile 188: | ||
<math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}}\quad i=1...N</math> | |||
{{Beispiel| | {{Beispiel| | ||
Zeile 198: | Zeile 198: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \vec{Z}=mg\cos \vartheta \cdot \left( \begin{matrix} | & \vec{Z}=mg\cos \vartheta \cdot \left( \begin{matrix} | ||
\sin \vartheta \\ | \sin \vartheta \\ |
Aktuelle Version vom 18. September 2010, 11:36 Uhr
Der Artikel Zwangsbedingungen und Zwangskräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
Ein System von N Massepunkten hat 3N Freiheitsgrade, wenn keine Zwangsbedingungen vorliegen. Die Zahl der Freiheitsgrade wird verringert durch
Holonome (integrable) Zwangsbedingungen
Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine Zwangsbedingung gilt:
Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt dann |
Beispiel:Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand |
N | Hinzukommende Einschränkungen | Zwangsbedingungen () | Freiheitsgrade |
---|---|---|---|
1 | 0 | 0 | 3 |
2 | 1 | 1 | 5 |
3 | 2 | 3 | 6 |
4 | 3 | 6 | 6 |
5 | 3 | 9 | 6 |
... | .. | .. | .. |
3 | 3N-6 | 6 |
Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen:
Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6.
Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle
die Zwangsbedingungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden, also
Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für .
Nun sucht man eine Lösung für die Bewegungsgleichung. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve
. Alle Bahnen
müssen nun jedoch die
unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen:
Das totale Differenzial ( längs der Bahn
) läßt sich schreiben:
In differenzieller Schreibweise gewinnen wir das vollständige Differential:
Nichtholonome Zwangsbedingungen
Nun sind jedoch nichtholonome Zwangsbedingungen der Art: |
Dies ist eine Pfaffsche Differenzialform. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein integrierender Faktor existiert, so dass
Gleichbedeutend mit
Dies kann man wieder so interpretieren, dass beliebige Positionen der Teilchen, also
möglich sind, also
beliebig, jedoch ist die momentane Bewegungsrichtung eingeschränkt. Man sagt auch, die lokalen Bewegungen sind eingeschränkt ( längs der Bahn
)
Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist durch die momentane Radrichtung bestimmt |
Zeitabhängigkeit
Es ist weiter zu unterscheiden
- zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen rheonom
- zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen skleronom
Zwangsbedingungen als Ungleichungen
z.B. bei einem Gas in einem Behälter mit Wänden
Zwangskräfte
Bewegungsgleichungen
diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der äußeren Kräfte, eine äußere Kraft auf das i-te Teilchen und die Summe über die inneren Kräfte durch Wechselwirkung mit den weiteren j Teilchen, die anwesend sind. Die Summe aller Kräfte nennt man eingeprägte Kräfte.
Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den Nebenbedingungen
oder
zu lösen.
Dazu soll die Beschreibung gewechselt werden.
Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch Zwangskräfte erzwungen werden.
Damit folgt für unsere Bewegungsgleichung:
Beim Beispiel der schiefen Ebene wirkt die Zwangskraft gerade der Normalkraft entgegen und verhindert somit das Fallen des Körpers durch die schiefe Ebene. Es gilt: |