Zwangsbedingungen und Zwangskräfte: Unterschied zwischen den Versionen

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:<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>




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{{Def|Die Zahl der '''Freiheitsgrade''' beträgt dann <math>f=3N-\nu </math>|Freiheitsgrade}}
{{Def|Die Zahl der '''Freiheitsgrade''' beträgt dann <math>f=3N-\nu </math>|Freiheitsgrade}}
{{Beispiel|'''Beispiel''':Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand
{{Beispiel|'''Beispiel''':Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand
[[Datei:Dreieck graph.svg|miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen <math>l_ij</math>]]
[[Datei:Dreieck_graph.svg|miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen <math>l_ij</math>]]


:<math>{{l}_{ij}}</math>
<math>{{l}_{ij}}</math>
einhalten, so erhalten wir 3 Zwangsbedingungen:
einhalten, so erhalten wir 3 Zwangsbedingungen:




:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
   & {{f}_{1}}=|{{{\vec{r}}}_{1}}-{{{\vec{r}}}_{2}}|-{{l}_{12}}=0 \\
   & {{f}_{1}}=|{{{\vec{r}}}_{1}}-{{{\vec{r}}}_{2}}|-{{l}_{12}}=0 \\
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  & {{f}_{2}}=|{{{\vec{r}}}_{2}}-{{{\vec{r}}}_{3}}|-{{l}_{23}}=0 \\
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{| class="float-right wikitable"
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|+ Starrer Körper aus N Teilchen
|+ Starrer Körper aus N Teilchen
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N!
! N
Hinzukommende Einschränkungen!
! Hinzukommende Einschränkungen
Zwangsbedingungen (<math>\nu </math>)!
! Zwangsbedingungen (<math>\nu </math>)
Freiheitsgrade <math>f=3N-\nu </math>
! Freiheitsgrade <math>f=3N-\nu </math>
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style="background: #FFDDDD;"|<math>N \ge 4</math>
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Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen:
Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen:


:<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=|{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N</math>
<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=|{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N</math>
Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen.
Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen.
Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint.
Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint.
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Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle
Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle
:<math>\lambda =1,...,\nu </math>
<math>\lambda =1,...,\nu </math>
die Zwangsbedingungen ein '''linear unabhängiges Gleichungssystem''' bilden, also
die Zwangsbedingungen ein '''linear unabhängiges Gleichungssystem''' bilden, also
:<math>\operatorname{Rang}\left( \frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}} \right)=\nu </math>
<math>\operatorname{Rang}\left( \frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}} \right)=\nu </math>
Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für <math>N \ge 3</math>.
Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für <math>N \ge 3</math>.
Nun sucht man eine Lösung für die '''Bewegungsgleichung'''. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve
Nun sucht man eine Lösung für die '''Bewegungsgleichung'''. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve
:<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>.
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
Alle Bahnen
. Alle Bahnen
:<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
müssen nun jedoch die
müssen nun jedoch die
:<math>\nu </math>
<math>\nu </math>
unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen:
unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen:
:<math>{{f}_{\lambda  }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math>
<math>{{f}_{\lambda  }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math>




Das {{FB|totale Differenzial}} (längs der Bahn
Das {{FB|totale Differenzial}} ( längs der Bahn
:<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>)
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
läßt sich schreiben:
) läßt sich schreiben:




:<math>\frac{d{{f}_{\lambda }}}{dt}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
<math>\frac{d{{f}_{\lambda }}}{dt}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>




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:<math>d{{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
<math>d{{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>


===Nichtholonome Zwangsbedingungen===
===Nichtholonome Zwangsbedingungen===
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:<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>|nichtholonome Zwangsbedingungen}}
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>|nichtholonome Zwangsbedingungen}}






Dies ist eine {{FB|Pfaffsche Differenzialform}}. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein {{FB|integrierender Faktor}}
Dies ist eine {{FB|Pfaffsche Differenzialform}}. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein {{FB|integrierender Faktor}}
:<math>{{g}_{\lambda }}</math>
<math>{{g}_{\lambda }}</math>
existiert, so dass
existiert, so dass




:<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+{{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)dt=}d{{f}_{\lambda }}\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+{{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)dt=}d{{f}_{\lambda }}\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>




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:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
   & {{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}={{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }} \\
   & {{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}={{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }} \\
  & {{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}=\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t} \\
  & {{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}=\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t} \\
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Dies kann man wieder so interpretieren, dass beliebige Positionen der Teilchen, also
Dies kann man wieder so interpretieren, dass beliebige Positionen der Teilchen, also
:<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)\quad i=1...N</math>
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)\quad i=1...N</math>
möglich sind, also
möglich sind, also
:<math>{{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},...{{\vec{r}}_{N}}</math>
<math>{{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},...{{\vec{r}}_{N}}</math>
beliebig, jedoch ist die momentane Bewegungsrichtung eingeschränkt. Man sagt auch, die lokalen Bewegungen sind eingeschränkt (längs der Bahn
beliebig, jedoch ist die momentane Bewegungsrichtung eingeschränkt. Man sagt auch, die lokalen Bewegungen sind eingeschränkt ( längs der Bahn
:<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)\quad i=1...N</math>)
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)\quad i=1...N</math>
)




 
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
:<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>


{{Beispiel|
{{Beispiel|
Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist
Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist
:<math>d{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
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durch die momentane Radrichtung bestimmt}}
durch die momentane Radrichtung bestimmt}}


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Es ist weiter zu unterscheiden
Es ist weiter zu unterscheiden
* zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen {{FB|rheonom}}
* zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen {{FB|rheonom}}
* zeitunabhängige (nicht explizit zeitabhängige), starre, ZB heißen {{FB|skleronom}}
* zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen {{FB|skleronom}}


====Zwangsbedingungen als Ungleichungen====
====Zwangsbedingungen als Ungleichungen====
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:<math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}}\quad i=1...N</math>
<math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}}\quad i=1...N</math>




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:<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> {{FB|holonome Nebenbedingungen}}
<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> {{FB|holonome Nebenbedingungen}}


oder
oder


:<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>{{FB|anholonome Nebenbedingungen}}
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>{{FB|anholonome Nebenbedingungen}}


zu lösen.
zu lösen.
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Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch {{FB|Zwangskräfte}}
Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch {{FB|Zwangskräfte}}
:<math>{{\vec{Z}}_{i}}</math>
<math>{{\vec{Z}}_{i}}</math>
erzwungen werden.
erzwungen werden.


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:<math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}}\quad i=1...N</math>
<math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}}\quad i=1...N</math>


{{Beispiel|
{{Beispiel|
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:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
   & \vec{Z}=mg\cos \vartheta \cdot \left( \begin{matrix}
   & \vec{Z}=mg\cos \vartheta \cdot \left( \begin{matrix}
   \sin \vartheta  \\
   \sin \vartheta  \\

Aktuelle Version vom 18. September 2010, 11:36 Uhr




Ein System von N Massepunkten hat 3N Freiheitsgrade, wenn keine Zwangsbedingungen vorliegen. Die Zahl der Freiheitsgrade wird verringert durch

Holonome (integrable) Zwangsbedingungen

Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine Zwangsbedingung λ gilt:


fλ(r1,r2,r3,...rN)=0λ=1,...ν



Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt dann f=3Nν


Beispiel:Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand
Punkte 1,2,3 mit Abständen lij

lij einhalten, so erhalten wir 3 Zwangsbedingungen:


f1=|r1r2|l12=0f2=|r2r3|l23=0f3=|r1r3|l13=0

Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt f=3Nν=93=6


Starrer Körper aus N Teilchen
N Hinzukommende Einschränkungen Zwangsbedingungen (ν) Freiheitsgrade f=3Nν
1 0 0 3
2 1 1 5
3 2 3 6
4 3 6 6
5 3 9 6
... .. .. ..
N4 3 3N-6 6

Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen:

fλ(r1,r2,r3,...rN)=|rirj|lij=0i,j=1,2,...,N Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6.


Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle λ=1,...,ν die Zwangsbedingungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden, also Rang(fλri)=ν Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für N3. Nun sucht man eine Lösung für die Bewegungsgleichung. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve ri(t) . Alle Bahnen ri(t) müssen nun jedoch die ν unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen: fλ(r1(t),r2(t),r3(t),...rN(t),t)=0λ=1,...νfu¨rallet


Das totale Differenzial ( längs der Bahn ri(t) ) läßt sich schreiben:


dfλdt=i=1Nrifλvi+fλt=0λ=1,...ν


In differenzieller Schreibweise gewinnen wir das vollständige Differential:


dfλ=i=1Nrifλdri+fλtdt=0λ=1,...ν

Nichtholonome Zwangsbedingungen

Nun sind jedoch nichtholonome Zwangsbedingungen der Art:


i=1Naλi(r1,r2,...,rN,t)dri+aλ0(r1,r2,...,rN,t)dt=0λ=1,...ν



Dies ist eine Pfaffsche Differenzialform. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein integrierender Faktor gλ existiert, so dass


i=1Ngλaλi(r1,r2,...,rN,t)dri+gλaλ0(r1,r2,...,rN,t)dt=dfλλ=1,...ν


Gleichbedeutend mit


gλaλi=rifλgλaλ0=fλt


Dies kann man wieder so interpretieren, dass beliebige Positionen der Teilchen, also ri(t)i=1...N möglich sind, also r1,r2,...rN beliebig, jedoch ist die momentane Bewegungsrichtung eingeschränkt. Man sagt auch, die lokalen Bewegungen sind eingeschränkt ( längs der Bahn ri(t)i=1...N )


i=1Naλi(r1,r2,...,rN,t)vi+aλ0(r1,r2,...,rN,t)=0λ=1,...ν


Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist dri(t) durch die momentane Radrichtung bestimmt


Zeitabhängigkeit

Es ist weiter zu unterscheiden

  • zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen rheonom
  • zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen skleronom

Zwangsbedingungen als Ungleichungen

z.B. bei einem Gas in einem Behälter mit Wänden

Zwangskräfte

Bewegungsgleichungen

mir¨i(t)=Fi+jFij=:Xii=1...N


diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der äußeren Kräfte, eine äußere Kraft auf das i-te Teilchen und die Summe über die inneren Kräfte durch Wechselwirkung mit den weiteren j Teilchen, die anwesend sind. Die Summe aller Kräfte nennt man eingeprägte Kräfte.

Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den Nebenbedingungen


fλ(r1,r2,r3,...rN)=0λ=1,...ν holonome Nebenbedingungen

oder

i=1Naλi(r1,r2,...,rN,t)vi+aλ0(r1,r2,...,rN,t)=0λ=1,...νanholonome Nebenbedingungen

zu lösen.

Dazu soll die Beschreibung gewechselt werden.

Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch Zwangskräfte Zi erzwungen werden.

Damit folgt für unsere Bewegungsgleichung:


mir¨i(t)=Fi+jFij+Zi=:Xi+Zii=1...N


Beim Beispiel der schiefen Ebene wirkt die Zwangskraft gerade der Normalkraft entgegen und verhindert somit das Fallen des Körpers durch die schiefe Ebene.

schiefe Ebene mit der Zwangskraft Z im Bild mit N Bezeichnet und Schwerkraft G=mg

Es gilt:


Z=mgcosϑ(sinϑcosϑ)F=mg(01)Z+F=mgsinϑ(cosϑsinϑ)