Stark Effekt im H- Atom

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Stark Effekt im H- Atom basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Anwendung der Störungsrechnung bei Entartung. Das H- Atom befinde sich dabei in einem homogenen äußeren elektrischen Feld $\overline{E}$.

Für den Hamiltonian gilt:

$\begin{array}{rl}& \hat{H}=\frac{{\hat{\overline{p}}}^2}{2m}-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hat{r}}-e\overline{E}\hat{\overline{r}}\\ & -e\overline{E}\hat{\overline{r}}={\hat{H}}^{(1)}\\ & \frac{{\hat{\overline{p}}}^2}{2m}-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hat{r}}={\hat{H}}^{(0)}\\ \end{array}$

Sei das elektrische Feld parallel zur z- Achse:

$-e\overline{E}{\hat{\overline{x}}}_3={\hat{H}}^{(1)}$

Eigenwerte und - zustände von >${\hat{H}}^{(0)}$

$\begin{array}{rl}& {\hat{H}}^{(0)}|n,l,m⟩={E_n}^{(0)}|n,l,m⟩\\ & {E_n}^{(0)}=-R_H\frac{1}{n^2}\\ \end{array}$

Die Energie ist im Bahndrehimpuls insgesamt $n^2=\sum _{l=0}^{n-1}(2l+1)$

entartet. (zu jedem n gibt es n-1 mögliche verschiedene Bahndrehimpulszustände, die jeweils 2l+1 mögliche Einstellungen bezüglich der z- Achse einnehmen können (magnetische Quantenzahl m). Mit dem Spin ist die Entartung sogar $2n^2=\sum _{l=0}^{n-1}2(2l+1)$

- fach. Dies ist leicht zu verstehen: Durch den Spin wird der bestehende Hilbertraum um einen zusätzlichen zweidimensionalen Hilbertraum erweitert. Dadurch können alle vorherigen Zustände noch einen Spinzustand aus dem neuen Hilbertraum mit beinhalten ohne dass sie ihre Eigenschaft, Eigenzustände zu sein, verlieren können.

Die Zahl der möglichen Eigenzustände zu einem Energieeigenwert verdoppelt sich also!

Beispiel: n=2

4fache Entartung)

mögliche Zustände:

$\begin{array}{rl}& |2,0,0⟩,|2,1,-1⟩,|2,1,0⟩,|2,1,+1⟩\\ & ⟨\overline{r}|nlm⟩=\frac{u_{nl}(r)}{r}{Y_l}^m(\vartheta ,\varphi )\\ \end{array}$

Keine Knotenlinie

${Y_0}^0=\sqrt{\frac{1}{4\pi }}$

Eine Knotenlinie

${Y_1}^0=\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta$

${Y_1}^{\pm 1}=\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \vartheta e^{\pm i\varphi }$

$\begin{array}{rl}& \frac{u_{20}(r)}{r}=\frac{2}{{\left(2a_0\right)}^{\frac{3}{2}}}(1-\frac{r}{2a_0})e^{-\frac{r}{2a_0}}\\ & \frac{u_{21}(r)}{r}=\frac{1}{\sqrt{3}{\left(2a_0\right)}^{\frac{3}{2}}{a}_0}r{e}^{-\frac{r}{2a_0}}\\ \end{array}$

Mit dem Bohr- Radius $a_0=\frac{{\hslash }^{2}4\pi {\epsilon }_0}{m{e}^2}$

Matrixelemente des elektrischen Dipolmoments

$\hat{\overline{d}}=e{\hat{x}}_3$

mit $⟨n\stackrel{´}{}l\stackrel{´}{}m\stackrel{´}{}|{\hat{x}}_3|nlm⟩\stackrel{~}{}{\delta }_{l\stackrel{´}{},l\pm 1}{\delta }_{mm\stackrel{´}{}}$

Vergleiche Seite 121:

n=n´=2 l=0, m=0 l=1, m=1 l=1, m=0 l = 1, m=-1 $\alpha$

l´=0, m´=0 0 0 $d_{13}$ 0 1 l´=1, m´=1 0 0 0 0 2 l´=1, m´=0 ${d_{13}}^{*}$ 0 0 0 3 l´=1, m´=-1 0 0 0 0 4

Der Störoperator:

${\hat{H}}^{(1)}=-\left|\overline{E}\right|\hat{d}$

Wir haben also mit $d_{13}$

das einzige nichtverschwindende Matrixelement:

$\begin{array}{rl}& d_{13}=⟨200|e{\hat{x}}_3|210⟩\\ & {\hat{x}}_3=r\cos \vartheta \\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& d_{13}=⟨200|e{\hat{x}}_3|210⟩\\ & =e\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r{r}^2\frac{2}{{\left(2a_0\right)}^{\frac{3}{2}}}(1-\frac{r}{2a_0})e^{-\frac{r}{2a_0}}r\frac{1}{\sqrt{3}{\left(2a_0\right)}^{\frac{3}{2}}{a}_0}r{e}^{-\frac{r}{2a_0}}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\vartheta \sin \vartheta \sqrt{\frac{1}{4\pi }}\cos \vartheta \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta \\ & \frac{u_{20}(r)}{r}=\frac{2}{{\left(2a_0\right)}^{\frac{3}{2}}}(1-\frac{r}{2a_0})e^{-\frac{r}{2a_0}}\\ & \frac{u_{21}(r)}{r}=\frac{1}{\sqrt{3}{\left(2a_0\right)}^{\frac{3}{2}}{a}_0}r{e}^{-\frac{r}{2a_0}}\\ & \sqrt{\frac{1}{4\pi }}={Y_0}^0\\ & \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta ={Y_1}^0\\ & \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\vartheta \sin \vartheta \sqrt{\frac{1}{4\pi }}\cos \vartheta \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \vartheta =\frac{1}{\sqrt{3}}\\ & \Rightarrow d_{13}=⟨200|e{\hat{x}}_3|210⟩=\frac{e}{\sqrt{3}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{d}^{3}r{r}^2\frac{2}{{\left(2a_0\right)}^{\frac{3}{2}}}(1-\frac{r}{2a_0})e^{-\frac{r}{2a_0}}r\frac{1}{\sqrt{3}{\left(2a_0\right)}^{\frac{3}{2}}{a}_0}r{e}^{-\frac{r}{2a_0}}=-3e{a}_0\\ \end{array}$

Somit existiert ein Erwartungswert des Dipolmomentes

$d_{13}=⟨200|e{\hat{x}}_3|210⟩=-3e{a}_0$

Dies entspricht einem PERMANENTEN Dipolmoment des H- Atoms, welches Konsequenz der l- Entartung ist!

Die charakteristische Größenordnung dieses Dipolmoments ist $a_0$ ,

also die Ausdehnung der Wellenfunktion!

Störungsrechnung:

Aufspaltung des Energieniveaus n=2 im elektrischen Feld

$\overline{E}$

Säkulargleichung: $\sum _{\alpha =1}^4(-\left|\overline{E}\right|d_{\alpha \beta }-E{\delta }_{\alpha \beta })c_{\alpha }=0$

Säkulardeterminante:

$\left|\begin{array}{cccc}-E& 0& -\left|\overline{E}\right|d_{13}& 0\\ 0& -E& 0& 0\\ -\left|\overline{E}\right|d_{13}& 0& -E& 0\\ 0& 0& 0& -E\\ \end{array}\right|=0=E^2[E^2-{\left(\left|\overline{E}\right|d_{13}\right)}^2]$

$\Rightarrow E=0$

als zweifach entartetes Niveau und$E=\pm \left|\overline{E}\right|d_{13}=\mp 3e\left|\overline{E}\right|a_0$

Der Stark- Effekt ist also proportional zur eingeschalten Feldstärke. Man spricht deshalb auch vom linearen Stark- Effekt.

Daneben gibt es noch den quadratischen Stark- Effekt in allgemeinen kugelsymmetrischen Potenzialen $V\ne \frac{1}{r}$ ,

also ohne $l$

- Entartung. Also existiert in diesem Fall gar kein permanentes Dipolmoment und Störungsrechnung2. Ordnung wird nötig.

Ausgehend vom Niveau ${E_2}^{(0)}$

(4- fach entartet) erhalten wir das folgende Bild: