Räumliche Translationsinvarianz

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Räumliche Translationsinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:

$L=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{m}_i{{\dot{\overline{r}}}_i}^2-V({\overline{r}}_1,...,{\overline{r}}_N)$

Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:

$h^s:{\overline{r}}_i{\to }_{}{\overline{r}}_i+s{\overline{e}}_{x}i=1,..,N$

Der Parameter s ist dabei beliebig.

Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:

$\begin{array}{rl}& L(h^s({\overline{r}}_i),{\dot{\overline{r}}}_i)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{m}_i{{\dot{\overline{r}}}_i}^2-V({\overline{r}}_1+s{\overline{e}}_x,...,{\overline{r}}_N+s{\overline{e}}_x)=L({\overline{r}}_i,{\dot{\overline{r}}}_i)Forderung!\\ & \frac{dL}{ds}=-\sum _{i=1}^N({\mathrm{\nabla }}_{ri}\cdot {\overline{e}}_x)V=-\sum _{i=1}^N\frac{\partial }{\partial x_i}V=0Forderung!\\ \end{array}$

Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben!

Für die Transformation gilt:

$h^s({\overline{r}}_i)={\overline{r}}_i+s{\overline{e}}_{x}i=1,..,N$

$h^{s=0}({\overline{r}}_i)={\overline{r}}_i$

(Identität)

$\frac{d}{ds}{h}^s({\overline{r}}_i)={\overline{e}}_x$

Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:

$I=\sum _{i=1}^N{\mathrm{\nabla }}_{\dot{r}i}L\frac{d{h}^s}{ds}=\sum _i{m}_i{\dot{\overline{r}}}_i\cdot {\overline{e}}_x=\sum _i{m}_i{\dot{x}}_i=P_x$

Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.

Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.

Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:

Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:

Nun gilt die Transformation:

${\overline{r}}_i={\overline{r}}_i(q_1,...,q_f,t)=q_1{\overline{e}}_x+\mathrm{\Delta }{\overline{r}}_i(q_1,...,q_f,t)$ mit $q_1{\overline{e}}_x$

als Schwerpunktskoordinate und

$\mathrm{\Delta }{\overline{r}}_i(q_1,...,q_f,t)$

als Relativpositionen.

Es folgt:

$\frac{\partial }{\partial q_1}{\overline{r}}_i={\overline{e}}_x$

$\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}{\dot{\overline{r}}}_i=\frac{\partial }{\partial q_1}{\overline{r}}_i={\overline{e}}_x$ wegen ${\dot{\overline{r}}}_i=\sum _k^{}\frac{\partial }{\partial q_k}{\overline{r}}_i{\dot{q}}_k+\frac{\partial }{\partial t}{\overline{r}}_i$

Invarianz Erhaltungssatz

${\frac{\partial L}{\partial q_1}}_{}=0\iff \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=0$

 äquivalent zum Erhaltungssatz

$\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=const$

Allgemein heißt

$\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}=p_j$

der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.

Falls gilt dass

${\frac{\partial L}{\partial q_1}}_{}=0\iff \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=0$,

wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine zyklische Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine Erhaltungsgröße .

Hier:

$\begin{array}{rl}& p_1=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_1}=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}(T-V)=\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}\left(\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{{\dot{\overline{r}}}_i}^2\right)=\sum _i{m}_i{\dot{\overline{r}}}_i\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}{\dot{\overline{r}}}_i\\ & mit\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_1}{\dot{\overline{r}}}_i={\overline{e}}_x\\ & p_1=\sum _i{m}_i{\dot{\overline{r}}}_i{\overline{e}}_x=P_x\\ \end{array}$

Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}-\frac{\partial T}{\partial q_1}=Q_1=\sum _i{\overline{X}}_i\frac{\partial }{\partial q_1}{\overline{r}}_i={\overline{e}}_x\sum _i{\overline{X}}_i$

Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung (Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}-\frac{\partial T}{\partial q_1}=Q_1=\sum _i{\overline{X}}_i\frac{\partial }{\partial q_1}{\overline{r}}_i={\overline{e}}_x\sum _i{\overline{X}}_i=0$

Invarianz sagt

$\frac{\partial T}{\partial q_1}=Q_1=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}=0\iff P_x=\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_1}=const$

Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte (Falls Q1 konservative Kraft ist)

$Q_1=0\Rightarrow \frac{\partial }{\partial q_1}V({\overline{r}}_1+q_1{\overline{e}}_x,...,{\overline{r}}_N+q_1{\overline{e}}_x)=\sum _i{\mathrm{\nabla }}_{ri}V\frac{\partial }{\partial q_1}\left(q_1{\overline{e}}_x\right)={\overline{e}}_x\sum _i{\mathrm{\nabla }}_{ri}V=-{\overline{e}}_x\sum _i{\overline{X}}_i=0$

Beispiel: ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)

Das Potenzial hänge nicht von x ab:

${\frac{\partial L}{\partial x}}_{}=0$

Daraus folgt:

${\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}}_{}=m\dot{x}=P_x=const$

In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:

$I(\overline{r},\dot{\overline{r}})=\frac{\partial L}{\partial \dot{\overline{r}}}\cdot {\frac{d{h}^s}{ds}}_{}=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=P_x=const$ wegen $\begin{array}{rl}& \frac{\partial L}{\partial \dot{\overline{r}}}={\mathrm{\nabla }}_{\dot{r}}L\\ & {\frac{d{h}^s}{ds}}_{}={\overline{e}}_x\\ \end{array}$

Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung

$V({\overline{r}}_1,{\overline{r}}_2)=V({\overline{r}}_1-{\overline{r}}_2)$

 Das Potenzial kann auch anisotrop sein.

Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.

Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:

$\begin{array}{rl}& L({\overline{r}}_1,{\overline{r}}_2,{\dot{\overline{r}}}_1,{\dot{\overline{r}}}_2)=\frac{m_1}{2}{{\dot{\overline{r}}}_1}^2+\frac{m_2}{2}{{\dot{\overline{r}}}_2}^2-V({\overline{r}}_1-{\overline{r}}_2)\\ & L(h^s\left({\overline{r}}_1\right),h^s\left({\overline{r}}_2\right),{\dot{\overline{r}}}_1,{\dot{\overline{r}}}_2)=\frac{m_1}{2}{{\dot{\overline{r}}}_1}^2+\frac{m_2}{2}{{\dot{\overline{r}}}_2}^2-V(({\overline{r}}_1-s{\overline{e}}_i)-({\overline{r}}_2-s{\overline{e}}_i))=L({\overline{r}}_1,{\overline{r}}_2,{\dot{\overline{r}}}_1,{\dot{\overline{r}}}_2)\\ \end{array}$

für alle i = x,y,z

Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:

$\begin{array}{rl}& I_x=\frac{\partial L}{\partial {\dot{\overline{r}}}_1}{\overline{e}}_x+\frac{\partial L}{\partial {\dot{\overline{r}}}_2}{\overline{e}}_x=\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_1}+\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_2}=m_1{\dot{x}}_1+m_2{\dot{x}}_2=P_x=const\\ & I_y=\frac{\partial L}{\partial {\dot{\overline{r}}}_1}{\overline{e}}_y+\frac{\partial L}{\partial {\dot{\overline{r}}}_2}{\overline{e}}_y=\frac{\partial L}{\partial {\dot{y}}_1}+\frac{\partial L}{\partial {\dot{y}}_2}=m_1{\dot{y}}_1+m_2{\dot{y}}_2=P_y=const\\ & I_z=\frac{\partial L}{\partial {\dot{\overline{r}}}_1}{\overline{e}}_z+\frac{\partial L}{\partial {\dot{\overline{r}}}_2}{\overline{e}}_z=\frac{\partial L}{\partial {\dot{z}}_1}+\frac{\partial L}{\partial {\dot{z}}_2}=m_1{\dot{z}}_1+m_2{\dot{z}}_2=P_z=const\\ \end{array}$

Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:

$M\dot{\overline{R}}={\overline{P}}_{}=const$

Mit den Schwerpunktskoordinaten

$\overline{R}:=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^2{m}_i{\overline{r}}_i$

Und der Gesamtmasse

$M:=\sum _{i=1}^2{m}_i$