Grenzbedingungen für Felder

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Grenzbedingungen für Felder basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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_ Frage ist: Wie verhalten sich

$\overline{B},\overline{H},\overline{D},\overline{E}$

an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien (Vakuum/ Materie) trennen ?

Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=Q=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{D}(\overline{r},t)$

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})$

Bildlich:

Normalkomponenten: Betrachte einen Zylinder, der senkrecht auf einer Grenzfläche steht. Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:

also: Für die Normalkomponenten: h → 0

Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist, springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt: Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte

$\sigma$

trägt:

$\begin{array}{rl}& \rho (\overline{r},t)=\sigma (x,y,t)\delta \left(z\right)\\ & {\overline{e}}_z\equiv \overline{n}\\ & \Rightarrow \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=Q=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\sigma (x,y,t)\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}({\overline{D}}^{(1)}-{\overline{D}}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{n}({\overline{D}}^{(1)}-{\overline{D}}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\sigma (x,y,t)\\ \end{array}$

$\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{B}=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}({\overline{B}}^{(1)}-{\overline{B}}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{n}({\overline{B}}^{(1)}-{\overline{B}}^{(2)})=0$

Somit müssen die Integranden übereinstimmen:

$\overline{n}({\overline{B}}^{(1)}-{\overline{B}}^{(2)})=0$

$\overline{n}({\overline{D}}^{(1)}-{\overline{D}}^{(2)})=\sigma (x,y,t)$

Tangentialkomponenten

Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:

$1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=0$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=\frac{4\pi }{c}\overline{j}$

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}$

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})$

Auch hier: h→ 0

$\begin{array}{rl}& \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times \overline{E}=-\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times H(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times \overline{E}=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times H(\overline{r},t)=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})\\ \end{array}$

In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder! senkrecht auf Flächenvektor und Feld

Wegen:

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times \overline{E}=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})=-\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times H(\overline{r},t)=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})=\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})\\ \end{array}$

Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte

$\begin{array}{rl}& \overline{g}\\ & \Rightarrow \overline{j}(\overline{r},t)=\overline{g}(x,y,t)\delta \left(z\right)\\ \end{array}$

wie es bei metallen der Fall ist!, dann:

$\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\overline{j}=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{g}$

Weiter:

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}\\ \end{array}$

können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn

$\frac{\partial }{\partial t}\overline{B},\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}$

Unendlichkeitsstellen besitzen.

Annahme:

$\overline{B},\overline{D}$ und $\frac{\partial }{\partial t}\overline{B},\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}$

sind beschränkt:

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=0\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=0\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{g}(x,y,t)\\ & \underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})=0\\ & \underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{g}(x,y,t)\\ \end{array}$

Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:

$\begin{array}{rl}& \overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})=0\\ & \overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})=\overline{g}(x,y,t)\\ \end{array}$

Das heißt:

Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte!

Bildlich: Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D (wichtig: Polarisationseffekt → Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig! Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig!

Zusammenfassung:

$\delta \overline{E}:=({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})$

Maxwellgleichung Grenzbedingung

$\begin{array}{rl}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\overline{n}\times \delta \overline{E}=0\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\overline{n}\cdot \delta \overline{B}=0\\ \end{array}$

$3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\rho (\overline{r},t)\overline{n}\cdot \delta \overline{D}(\overline{r},t)=\sigma$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}\overline{n}\times \delta H(\overline{r},t)=\overline{g}$

Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte (Flächendivergenz) Die Tangentialkomponente von H springt (Flächenrotation) um die Flächenstromdichte Die Normalkomponente von B ist stetig.

Beispiele:

1. Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien mit

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }^{(1)}<{\epsilon }^{(2)}\\ & \sigma =0\\ \end{array}$

Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin!

$\begin{array}{rl}& {{\overline{E}}_t}^{(1)}={{\overline{E}}_t}^{(2)}\\ & {{\overline{D}}_n}^{(1)}={{\overline{D}}_n}^{(2)}\\ \end{array}$

letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte!

$\begin{array}{rl}& {{\overline{E}}_t}^{(1)}={{\overline{E}}_t}^{(2)}\\ & {{\overline{D}}_n}^{(1)}={{\overline{D}}_n}^{(2)}\Rightarrow {\epsilon }_1{{\overline{E}}_n}^{(1)}={\epsilon }_2{{\overline{E}}_n}^{(2)}\\ & \Rightarrow {{\overline{E}}_n}^{(2)}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}{{\overline{E}}_n}^{(1)}\\ & \tan {\alpha }_1=\frac{{{\overline{E}}_t}^{(1)}}{{{\overline{E}}_n}^{(1)}}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\frac{{{\overline{E}}_t}^{(2)}}{{{\overline{E}}_n}^{(2)}}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\tan {\alpha }_2\\ \end{array}$

Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien

Achtung! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen

1. Grenzfläche zwischen Vakuum (Luft) und magnetischem Material

2.1 Sei speziell

$\overline{B}\mathrm{\perp }$

Grenzfläche (z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso!)): In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist

$\overline{B}$

grundsätzlich stetig! B ist eh immer grundsätzlich stetig! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer (wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.

1. Paramagnetisch:

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}=\overline{M}+\overline{H}\\ & \overline{M}\uparrow \uparrow \overline{H}\\ \end{array}$

1. Paramagnetisch:

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}=\overline{M}+\overline{H}\\ & \overline{M}\uparrow \downarrow \overline{H}\\ \end{array}$

2.2 Sei speziell

$\overline{B}\left|\right|$

Grenzfläche (z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso!)): Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen (E und H):

In diesem Fall ist

$\overline{H}$

stetig für

$\overline{g}=0$

(kein Oberflächenstrom)