Der Carnotsche Kreisprozess: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 12. September 2010, 17:14 Uhr

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der Carnotsche Kreisprozess basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 5) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Der Carnotsche Kreisprozess

In Kapitel 2.4 wurde die reversibel aufgenommene Wärmemenge $δ Q = T d S$

eingeführt als derjenige teil der Änderung der inneren Energie dU, der NICHT durch die Änderung von ARbeitsparametern $(d V, d \bar{M})$

bewirkt wird ( mechanisch ARbeit,Magnetisierungsarbeit, et...)

Frage: In wieweit kann Wärme in Arbeit verwandelt werden ?

Antwort: Carnotscher Kreisprozess: ( S. Carnot, 1796- 1882)

Die Carnotsche Wärme- Kraftmaschine:

Der Kreisprozess wird reversibel ( quasistatisch) durchlaufen:

U ist Zustandsfunktion: U ist nach 1 Zyklus unverändert ! -> Änderung der Bäder wird vernachlässigt !

->

W+ Q1+Q2=0

S ist Zustandsfunktion für reversible ( Gleichgewichts -) Prozesse

Bei Reversibilität ist S unverändert für System:

Δ S = \frac{Q_{1}}{T_{1}} + \frac{Q_{2}}{T_{2}} = 0

dabei ändert sich die Entropie der 2 Wärmebäder durch reversibel aufgenommene/ abgegebene Wärme

Δ S_{1} = - \frac{Q_{1}}{T_{1}} = \frac{Q_{2}}{T_{2}} = - Δ S_{2}

Wirkungsgrad

η : = - \frac{W}{Q_{2}}

Quotient aus produzierter ARbeit und dem Bad T2 entzogene Wärmemenge

Mit den gegebenen Gleichungen folgt:

η = \frac{Q_{1} + Q_{2}}{Q_{2}} = 1 + \frac{Q_{1}}{Q_{2}}

Wirkungsgrad für reversible prozesse:

( idealer Carnot- Zyklus):

\begin{aligned} \frac{Q_{1}}{Q_{2}} = - \frac{T_{1}}{T_{2}} \\ \Rightarrow η = 1 - \frac{T_{1}}{T_{2}} < 1 \end{aligned}

Vorwärtslauf

Q2>0

\begin{aligned} \Rightarrow Q_{1} = - Q_{2} \frac{T_{1}}{T_{2}} < 0 \\ W = - η Q_{2} < 0 \end{aligned}

Von der Maschine wird Arbeit geleistet:

- W > 0

und Wärme an T1 abgegeben:

- Q_{1} > 0

Wärmekraftmaschine

Rückwärtslauf

Q2<0

\begin{aligned} \Rightarrow Q_{1} = - Q_{2} \frac{T_{1}}{T_{2}} > 0 \\ W = - η Q_{2} > 0 \end{aligned}

Von der Maschine wird Arbeit aufgenommen:

und Wärme an T2 abgegeben:

- Q_{2} > 0

Dabei wird T1 Wärme entzogen, an der Maschine wird Arbeit von außen geleistet.

Wärmepumpe = Kältemaschine

Wirkungsgrad der Wärmepumpe:

η_{W} = - \frac{Q_{2}}{W} = η^{- 1} = \frac{T_{2}}{T_{2} - T_{1}} > 1

z.B.

T2 = 50 ° = Vorlauftemperatur der Heizung = 323 K

T1 = 0° ( Erdbodentemperatur im Winter)

\Rightarrow η_{W} = 6, 5

( ideal)

Wirkungsgrad der Kältemaschine:

\begin{aligned} \Rightarrow η_{K} = \frac{Q_{1}}{W} = - \frac{Q_{2}}{W} \frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{1}{η} \frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{T_{1}}{T_{2} - T_{1}} = η_{W} - 1 \\ η_{K} > 1 f \ddot{u} r T_{1} > \frac{1}{2} T_{2} \\ η_{K} \to 0 f \ddot{u} r T_{1} \to 0 \end{aligned}

also für den vergeblichen Versuch, zum absoluten Nullpunkt abzukühlen !!

Ergebnis:

der Carnot- Wirkungsgrad ist universell für ideale reversible Wärmekraftmaschine und hängt nur von der Temperatur der Bäder ab
Wärme kann nicht vollständig in Arbeit verwandelt werden, ohne dass weitere Änderungen auftreten, z.B. Erwärmung des zweiten Bades $Q_{1} \neq 0$

<->

Unmöglichkeit des Perpetuum mobile 2. Art !

( das wäre eine periodische Maschine, die einem Reservoir Wärme entzieht und vollständig in ARbeit umwandelt)

Bemerkung

Diese Formulierung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik folgt direkt aus der Existenz der ENTROPIE als Zustandsfunktion !!

Die wir informationstheoretisch eingeführt hatten (vergl. Kapitel 2.4)

@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 * Bei Reversibilität ist S unverändert für System:
-<math>\Delta S=\frac{{{Q}_{1}}}{{{T}_{1}}}+\frac{{{Q}_{2}}}{{{T}_{2}}}=0</math>
+:<math>\Delta S=\frac{{{Q}_{1}}}{{{T}_{1}}}+\frac{{{Q}_{2}}}{{{T}_{2}}}=0</math>
 dabei ändert sich die Entropie der 2 Wärmebäder durch reversibel aufgenommene/ abgegebene Wärme
-<math>\Delta {{S}_{1}}=-\frac{{{Q}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{Q}_{2}}}{{{T}_{2}}}=-\Delta {{S}_{2}}</math>
+:<math>\Delta {{S}_{1}}=-\frac{{{Q}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{Q}_{2}}}{{{T}_{2}}}=-\Delta {{S}_{2}}</math>
 '''Wirkungsgrad'''
-<math>\eta :=-\frac{W}{{{Q}_{2}}}</math>
+:<math>\eta :=-\frac{W}{{{Q}_{2}}}</math>
 Quotient aus produzierter ARbeit und dem Bad T2 entzogene Wärmemenge
@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 Mit den gegebenen Gleichungen folgt:
-<math>\eta =\frac{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}}{{{Q}_{2}}}=1+\frac{{{Q}_{1}}}{{{Q}_{2}}}</math>
+:<math>\eta =\frac{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}}{{{Q}_{2}}}=1+\frac{{{Q}_{1}}}{{{Q}_{2}}}</math>
 Wirkungsgrad für '''reversible prozesse:'''
@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 ( idealer Carnot- Zyklus):
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \frac{{{Q}_{1}}}{{{Q}_{2}}}=-\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}} \\
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 Q2>0
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \Rightarrow {{Q}_{1}}=-{{Q}_{2}}\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}<0 \\
@@ Zeile 70: / Zeile 70: @@
 Von der Maschine wird Arbeit geleistet:
-<math>-W>0</math>
+:<math>-W>0</math>
 und Wärme an T1 abgegeben:
-<math>-{{Q}_{1}}>0</math>
+:<math>-{{Q}_{1}}>0</math>
 * Wärmekraftmaschine
@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
 Q2<0
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \Rightarrow {{Q}_{1}}=-{{Q}_{2}}\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}>0 \\
@@ Zeile 94: / Zeile 94: @@
 und Wärme an T2 abgegeben:
-<math>-{{Q}_{2}}>0</math>
+:<math>-{{Q}_{2}}>0</math>
 Dabei wird T1 Wärme entzogen, an der Maschine wird Arbeit von außen geleistet.
@@ Zeile 102: / Zeile 102: @@
 Wirkungsgrad der Wärmepumpe:
-<math>{{\eta }_{W}}=-\frac{{{Q}_{2}}}{W}={{\eta }^{-1}}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}>1</math>
+:<math>{{\eta }_{W}}=-\frac{{{Q}_{2}}}{W}={{\eta }^{-1}}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}>1</math>
 z.B.
@@ Zeile 110: / Zeile 110: @@
 T1 = 0° ( Erdbodentemperatur im Winter)
-<math>\Rightarrow {{\eta }_{W}}=6,5</math>
+:<math>\Rightarrow {{\eta }_{W}}=6,5</math>
 ( ideal)
@@ Zeile 116: / Zeile 116: @@
 '''Wirkungsgrad der Kältemaschine:'''
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \Rightarrow {{\eta }_{K}}=\frac{{{Q}_{1}}}{W}=-\frac{{{Q}_{2}}}{W}\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\frac{1}{\eta }\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}={{\eta }_{W}}-1 \\

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