Nakajima-Zwanzig-Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen
Keine Bearbeitungszusammenfassung |
|||
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
==Herleitung== | ==Herleitung== | ||
Beginnend mit der {{FB|Liouville von Neumann Gleichung }} | Beginnend mit der {{FB|Liouville von Neumann Gleichung }} | ||
:<math>{{d}_{t}}\chi =L\chi </math> | :<math>{{d}_{t}}\chi =L \chi </math> | ||
wobei der {{FB|Dichteoperator}} durch den {{FB|Projektionsoperator}} | wobei der {{FB|Dichteoperator}} durch den {{FB|Projektionsoperator}} | ||
<math>\mathcal{P}</math> | <math>\mathcal{P}</math> | ||
| Zeile 32: | Zeile 32: | ||
Die zweite Zeile wird formal durch | Die zweite Zeile wird formal durch | ||
:<math>\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> | :<math>\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> gelöst. | ||
Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die | Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die | ||
Nakajima-Zwanzig-Gleichung: | Nakajima-Zwanzig-Gleichung: | ||
::<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> | ::<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> | ||
Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung | Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung | ||
:<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}</math> | :<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P} </math> | ||
sowie der Ausnutzung von | sowie der Ausnutzung von | ||
<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P}</math> | <math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math> | ||
erhält man die endgültige Form | erhält man die endgültige Form | ||
{{ | {{Gln| | ||
<math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}')\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> | <math>{{\text{d}}_{t}}\mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}')\mathcal{P}\chi (t-{t}')|}</math> | ||
|Nakajima-Zwanzig-Gleichung}} | |Nakajima-Zwanzig-Gleichung}} | ||
Version vom 9. Dezember 2010, 15:05 Uhr
Die Nakajima-Zwangzig Gleichung ist eine Integrodifferentialgleichung die die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteopertorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung angesehen werden.
Herleitung
Beginnend mit der Liouville von Neumann Gleichung
wobei der Dichteoperator durch den Projektionsoperator in zwei Anteile zerlegt wird. Wobei Q folglich durch definiert ist.
Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch
dargestellt werden.
Die zweite Zeile wird formal durch
Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:
Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung
sowie der Ausnutzung von erhält man die endgültige Form