Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel: Unterschied zwischen den Versionen
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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | ||
Die nahezu konstante Nukleonendichte | Die nahezu konstante Nukleonendichte <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu | ||
konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum | konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum | ||
Flüssigkeitstropfen nahe. Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935) Massenformel | |||
Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen: | Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen: | ||
:<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math> | |||
B = | |||
i= | ;1. Volumenenergie: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um | ||
;2. Oberflächenenergie: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der | |||
= | |||
Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um | |||
Oberflächenenergie ~ Anzahl der Nukleonen an der | |||
Oberfläche, die weniger stark gebunden sind. | Oberfläche, die weniger stark gebunden sind. | ||
Z(Z-1) | ;3. Coulombenergie: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel | ||
R | |||
geladenen Kugel | Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für Isobare (A = const) zu stark | ||
Durch die Coulombenergie | Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>. | ||
Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch Z | |||
Genauer: Nuklidkarte | Genauer: Nuklidkarte | ||
[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png]] | [[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png]] | ||
Als Gegengewicht ~egenüber dem Coulombterm deshalb: | Als Gegengewicht ~egenüber dem Coulombterm deshalb: | ||
4. | ;4. Asymmetrie-Energie: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math> | ||
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader | Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet: | ||
oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet: | |||
<math>\begin{array}{*{35}{l}} | |||
(g, g) -> | {} & (g,g)\to & (u,g), & (g,u)\to & (u,u)\to \text{Abnahme der Stabilitaet} \\ | ||
\text{stab}\text{. Kerne}\quad & 158 & 50, & 53 & 6 \\ | |||
(u, g), (g, u) | \end{array}</math> | ||
(u, u | ;5. Parität: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math> | ||
mit <math>\begin{align} | |||
& \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta \\ | |||
& \text{(u}\text{, g) }\text{, (g}\text{, u) : }\text{0} \\ | |||
& \text{(u}\text{, u) : }\text{-}\delta \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)). | |||
Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>. | |||
Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen | |||
Wertesatz für die 5 Parameter | |||
0,7 MeV, | |||
(1961)). | |||
Genauigkeit | |||
== Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel == | == Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel == | ||
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1kg 235U: E = Noill: ~ [[Benutzer:Schubotz|Schubotz]]00601023i2.0108.:2:,6010~19ws | 1kg 235U: E = Noill: ~ [[Benutzer:Schubotz|Schubotz]]00601023i2.0108.:2:,6010~19ws | ||
200 MeV | 200 MeV | ||
==siehe auch== | |||
http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel |
Version vom 25. Mai 2011, 12:03 Uhr
Der Artikel Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann. |
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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.
Die nahezu konstante Nukleonendichte und der nahezu konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum Flüssigkeitstropfen nahe. Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935) Massenformel
Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
- 1. Volumenenergie
- Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
- 2. Oberflächenenergie
- ~ Anzahl der Nukleonen an der
Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.
Durch die Coulombenergie würden für Isobare (A = const) zu stark Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch .
Als Gegengewicht ~egenüber dem Coulombterm deshalb:
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:
Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter und mit (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)).
Genauigkeit .
Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel
I. Isobarenregeln
Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z,
deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)Kerne
eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u,
u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand 2 0 der
Paarungsenergie 0 getrennt sind .
M( Z, A
~
= const.) rv + M( Z, A = const . )
(u, g)
A ungerade !J (g, u)
1/ "r
(u, u)
1 20
(g, g)
L---~~-L--~~------7 Z
Jf~"'ie\ (,abC1J
Nur ein stabiles Isobar
)-;> -
l«cJ.J UAOJß cL.
Mehrere stabile Isobare möglich
mit LlZ = 2
Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene
nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der
Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der
"Talsohle des Massetals" .
z
- 9 umwandlung
durch Beta-:erfall:
n-tp+e +LI
p -t n + e+ + LI
e +p-tn + LI Konkurrenzprozeß:
K-Einfang
II. Kernspaltung und Fusion
Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für
schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch
Coulombabstoßung, spentane Spaltung durch Spaltschwelle behindert.
stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung
R ..".....---; o + o
Coulombenergie B3 -t B3(1 - !€)2 nimmt ab
5
Oberflächenenergie B2 -t B2(1 + 3.€) 2 nimmt zu ,"
5
Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme
der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.
Rechnung: Z2/A ~ 51
Für Z2/A ~ 51 Spaltschwelle:
Spaltschwelle, für Uran ~ 6 MeV 23sU: 5,8 Mev)
( 238U: 6,3 MeV
Energiegewinn ca.
2350(8,5-7,5) MeV ~ 200 MeV
r o -t
Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb sehr Bei bei 235U + n --l- 236U + 6,4 MeV (g, u) --l- (g, g) n 1 keV ~ 1,2 0107 K möglich (z.B. Sonneninnere mit T ~ 1,5 010 7 K bei 238U + n --l- 239U + 4,8 MeV (g, g) --l- (g, u) von 3 n und P ~ 105 kg/m ). Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium Die fehlende Paarungsenergie bei 239U bedingt die niedrigere Bind + 3H --l- 4He + n + 17 , 6 MeV dungsenergie, so daß bei 238U der Einbau thermischer Neutronen 3MeV 14MeV nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht. 3H + n - 2,5 MeV) Allgemein Spaltprozeß: ........t~ ~ 12a 235U + n (thermisch) --l- 236U --l- X + Y + kon (schnell Rl 1 MeV, k ""- 2,5) Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, ß-Zerfall, z.B. 235U + n --l- 90Kr + 143Ba + 3n 92 36 56 !32S !208 90 37Rb + 143 57La !2min !14min 90 38Sr + 143 58Ce !28a !33h 90y + 143pr 39 59 !64h !l3d 40 90 Zr + 143 60Nd Grobe Abschätzung für 235U-Verbrauch: 1kg 235U: E = Noill: ~ Schubotz00601023i2.0108.:2:,6010~19ws 200 MeV