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Rotation in kartesischen Koordinaten

Seien $(x,y,z)$ die kartesischen Koordinaten des dreidimensionalen euklidischen Raumes und ${\mathbf{e}}_x,$ ${\mathbf{e}}_y$ und ${\mathbf{e}}_z$ die normierten, zueinander senkrechten Basisvektoren, die an jedem Punkt in Richtung der zunehmenden Koordinaten zeigen.

Die Rotation eines dreidimensionalen, differenzierbaren Vektorfeldes

$\mathbf{F}(x,y,z)=F_x(x,y,z){\mathbf{e}}_x+F_y(x,y,z){\mathbf{e}}_y+F_z(x,y,z){\mathbf{e}}_z$

ist das dreidimensionale Vektorfeld

$\mathrm{rot}\mathbf{F}(x,y,z)=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}){\mathbf{e}}_x+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}){\mathbf{e}}_y+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}){\mathbf{e}}_z.$

Als Merkregel kann man $\mathrm{rot}\mathbf{F}$ als Determinante einer Matrix auffassen, deren erste Spalte die kartesischen Basisvektoren enthält, die zweite die partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten und die dritte die zu differenzierenden Komponentenfunktionen

$\mathrm{rot}\mathbf{F}=\det \left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{e}}_x& \frac{\partial }{\partial x}& F_x\\ {\mathbf{e}}_y& \frac{\partial }{\partial y}& F_y\\ {\mathbf{e}}_z& \frac{\partial }{\partial z}& F_z\end{array}\right).$