Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Grenzbedingungen für Felder basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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_ Frage ist: Wie verhalten sich
![{\displaystyle {\bar {B}},{\bar {H}},{\bar {D}},{\bar {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d558c006eb080aa4fbdd2a3a6f8a7729d56540)
an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien (Vakuum/ Materie) trennen ?
Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:
![{\displaystyle \int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho \left({\bar {r}},t\right)=Q=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89b68f2925136199a1bf1040c5efc4972f1638a1)
![{\displaystyle \int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169b83db962486b47eb47229e30fc4bfa76fc3a0)
Bildlich:
Normalkomponenten:
Betrachte einen Zylinder, der senkrecht auf einer Grenzfläche steht.
Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:
also: Für die Normalkomponenten: h → 0
Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist,
springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt:
Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte
![{\displaystyle \sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36)
trägt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \left({\bar {r}},t\right)=\sigma \left(x,y,t\right)\delta \left(z\right)\\&{{\bar {e}}_{z}}\equiv {\bar {n}}\\&\Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\rho \left({\bar {r}},t\right)=Q=\int _{F}^{}{}df\sigma \left(x,y,t\right)\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\left({{\bar {D}}^{(1)}}-{{\bar {D}}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {n}}\left({{\bar {D}}^{(1)}}-{{\bar {D}}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df\sigma \left(x,y,t\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21eb0db52315ffa0d87af9dea7b26c9d6884c08f)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\cdot {\bar {B}}=\int _{F}^{}{}d{\bar {f}}\left({{\bar {B}}^{(1)}}-{{\bar {B}}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {n}}\left({{\bar {B}}^{(1)}}-{{\bar {B}}^{(2)}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5129533ee9ec640191b53a803a5ccc3d0aba867d)
Somit müssen die Integranden übereinstimmen:
![{\displaystyle {\bar {n}}\left({{\bar {B}}^{(1)}}-{{\bar {B}}^{(2)}}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af69deeefcc8221fde7bbdb3ea4c60247030366b)
![{\displaystyle {\bar {n}}\left({{\bar {D}}^{(1)}}-{{\bar {D}}^{(2)}}\right)=\sigma \left(x,y,t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbfe5a0ae8d837dd137fa40b0f525b73f41c8055)
Tangentialkomponenten
Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:
![{\displaystyle 1)\nabla \times {\bar {E}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3786c86034b7c16493049cbc729d190cf52f0da)
![{\displaystyle 4)\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}={\frac {4\pi }{c}}{\bar {j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4240fa4d2ad1eb057a1b591219c391ab1aac83)
![{\displaystyle \int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times {\bar {E}}=-\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2c565cde192fc9b2f300b947186562a66dbb52)
![{\displaystyle \int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169b83db962486b47eb47229e30fc4bfa76fc3a0)
Auch hier: h→ 0
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times {\bar {E}}=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times {\bar {E}}=-\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)=\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times H\left({\bar {r}},t\right)=\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times {\bar {E}}=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times H\left({\bar {r}},t\right)=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2149eae180f81e145387547f71b143db7b6b5ea3)
In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder! senkrecht auf Flächenvektor und Feld
Wegen:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times {\bar {E}}=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)=-{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\oint \limits _{\partial V}{}d{\bar {f}}\times H\left({\bar {r}},t\right)=\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)={\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d14b94fcbcea429b2c2e5e9ad772ae01ad2430)
Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {g}}\\&\Rightarrow {\bar {j}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {g}}\left(x,y,t\right)\delta \left(z\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6190e80686d4e44635d218a6057187aae32ebf8f)
wie es bei metallen der Fall ist!,
dann:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\bar {j}}=\int _{F}^{}{}df{\bar {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0782e78cd34eb0673111f78f8e661db5fca71c0e)
Weiter:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b9ebe95306c00dbc1e533f3d916773ee7aed5e1)
können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}},{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ea6d5b30d7931b9d2dd4c6e4d850fa6d57e403)
Unendlichkeitsstellen besitzen.
Annahme:
und ![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}},{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ea6d5b30d7931b9d2dd4c6e4d850fa6d57e403)
sind beschränkt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}=0\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}=0\\&{\begin{matrix}\lim \\h->0\\\end{matrix}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}r\left({\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {g}}(x,y,t)\\&\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)=0\\&\oint \limits _{\partial V}{}df{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)=\int _{F}^{}{}df{\bar {g}}(x,y,t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c0942d60a4c87191f7dbf0d3737a5d34a10d4a)
Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {n}}\times \left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)=0\\&{\bar {n}}\times \left(H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(1)}}-H{{\left({\bar {r}},t\right)}^{(2)}}\right)={\bar {g}}(x,y,t)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02af46c0418c3e21abe3b0a1739347a88c5055e)
Das heißt:
Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig
Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte!
Bildlich:
Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D (wichtig: Polarisationseffekt → Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig!
Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig!
Zusammenfassung:
![{\displaystyle \delta {\bar {E}}:=\left({{\bar {E}}^{(1)}}-{{\bar {E}}^{(2)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b34b8f109f7bf608c086a39b963ff91289c3cc2)
Maxwellgleichung Grenzbedingung
![{\displaystyle {\begin{aligned}&1)\nabla \times {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\times \delta {\bar {E}}=0\\&2)\nabla \cdot {\bar {B}}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\cdot \delta {\bar {B}}=0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4405d60473c70547d7f1db0d63f691f40a93a7)
![{\displaystyle 3)\nabla \cdot {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\rho \left({\bar {r}},t\right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\cdot \delta {\bar {D}}\left({\bar {r}},t\right)=\sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89cc07b45a0cca4a73711853d6952d3e3ea36b09)
![{\displaystyle 4)\nabla \times H\left({\bar {r}},t\right)={\bar {j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {D}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\bar {n}}\times \delta H\left({\bar {r}},t\right)={\bar {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72937daf15258b856e4cac50599ec18bccfd25d)
Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig
Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte (Flächendivergenz)
Die Tangentialkomponente von H springt (Flächenrotation) um die Flächenstromdichte
Die Normalkomponente von B ist stetig.
Beispiele:
- Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien mit
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\varepsilon }^{(1)}}<{{\varepsilon }^{(2)}}\\&\sigma =0\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/924b1dab8e5958845d28042cbee14aa79f68db5f)
Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin!
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{t}}^{(1)}={{\bar {E}}_{t}}^{(2)}\\&{{\bar {D}}_{n}}^{(1)}={{\bar {D}}_{n}}^{(2)}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f721f315c0c6a02f9db8dd40c1369659fc21aa0f)
letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte!
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{t}}^{(1)}={{\bar {E}}_{t}}^{(2)}\\&{{\bar {D}}_{n}}^{(1)}={{\bar {D}}_{n}}^{(2)}\Rightarrow {{\varepsilon }_{1}}{{\bar {E}}_{n}}^{(1)}={{\varepsilon }_{2}}{{\bar {E}}_{n}}^{(2)}\\&\Rightarrow {{\bar {E}}_{n}}^{(2)}={\frac {{\varepsilon }_{1}}{{\varepsilon }_{2}}}{{\bar {E}}_{n}}^{(1)}\\&\tan {{\alpha }_{1}}={\frac {{{\bar {E}}_{t}}^{(1)}}{{{\bar {E}}_{n}}^{(1)}}}={\frac {{\varepsilon }_{1}}{{\varepsilon }_{2}}}{\frac {{{\bar {E}}_{t}}^{(2)}}{{{\bar {E}}_{n}}^{(2)}}}={\frac {{\varepsilon }_{1}}{{\varepsilon }_{2}}}\tan {{\alpha }_{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9dd012f484adb3a9964c630a2206c80e576db69)
Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien
Achtung! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen
- Grenzfläche zwischen Vakuum (Luft) und magnetischem Material
2.1 Sei speziell
![{\displaystyle {\bar {B}}\bot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40cb2b2e401eedfe7d523db52ab578138be373b3)
Grenzfläche (z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso!)):
In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist
![{\displaystyle {\bar {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989ca009963f2cdcdf47ad8e9610946bfba335c9)
grundsätzlich stetig!
B ist eh immer grundsätzlich stetig! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer (wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.
- Paramagnetisch:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}={\bar {M}}+{\bar {H}}\\&{\bar {M}}\uparrow \uparrow {\bar {H}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792add3bea508b512c980dc291ba9e5667190394)
- Paramagnetisch:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}={\bar {M}}+{\bar {H}}\\&{\bar {M}}\uparrow \downarrow {\bar {H}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c5615e53d9279bfe915818aa06887e28c4d594)
2.2 Sei speziell
![{\displaystyle {\bar {B}}||}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d70163fe717bc11373c7f8915ce82b64b5b3e301)
Grenzfläche (z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso!)):
Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen (E und H):
In diesem Fall ist
![{\displaystyle {\bar {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a3a36171dc03f719377dc25847889b85887431)
stetig für
![{\displaystyle {\bar {g}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6634f2fa1fd8b965eb546a1234266ff1f0f44a8f)
(kein Oberflächenstrom)