Bilder in der QM

Schrödinger-Bild

nur Zustände

{| ψ ⟩}_{t}

zeitabhängig

Eigenvektoren

| n ⟩

und Operatoren

{\hat{A}}_{S}

sind nicht zeitabhängig

zeitentwicklung mit Zeitentwicklungsoperator

\hat{U} = \exp (- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}_{s} t)

:

{| ψ ⟩}_{t} = \hat{U} {| ψ ⟩}_{0}

{\hat{A}}_{S}

definiert eine symmetrische quadratische From

geometrisch

Zustandsvektor wird um feste Hauptachsen mit Zeitentwicklungsooerator gedreht.

E | ψ ⟩ = H | ψ ⟩

E = i ℏ \partial_{t}

Zustände zeitunabhängig

{| ψ ⟩}_{t} = {| ψ ⟩}_{0}

Operatoren

{\hat{A}}_{W} (t)

und Eigenvektoren

{| n ⟩}_{t}

zeitabhängig.

⟨ {\hat{A}}_{S} ⟩ =_{t} {⟨ ψ | {\hat{A}}_{S} | ψ ⟩}_{t} =_{0} \underset{0}{⟨ ψ | \underset{: = {\hat{A}}_{H}}{\underset{⏟}{{\hat{U}}^{+} {\hat{A}}_{S} \hat{U}}} | ψ ⟩} = ⟨ {\hat{A}}_{H} ⟩

{\hat{H}}_{S} = {\hat{H}}_{H}

{\hat{H}}_{w} = {\hat{H}}_{0, S} + {\hat{H}}_{1, S}

{\hat{H}}_{1}

ist als Störung zu interpretieren

{\hat{A}}_{W} = {\hat{U}}_{0}^{+} {\hat{A}}_{S} U_{0}

mit

{\hat{U}}_{0} = \exp (- \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}_{0} t)

{\overset{˘}{A}}_{W} = d_{t} {\hat{A}}_{W} = \frac{i}{ℏ} [\hat{H}, \hat{A}]

\begin{aligned} ⟨ {\hat{A}}_{S} ⟩ =_{t} \underset{t}{⟨ \underset{⟨ ψ_{W} |}{\underset{⏟}{ψ | {\hat{U}}_{0}}} \underset{{\hat{A}}_{W}}{\underset{⏟}{{\hat{U}}_{0}^{+} {\hat{A}}_{S} {\hat{U}}_{0}}} {\hat{U}}_{0}^{+} | ψ ⟩} =_{W} {⟨ ψ | {\hat{A}}_{W} | ψ ⟩}_{W} \\ d_{t} {| ψ ⟩}_{W} = \frac{i}{ℏ} {\hat{H}}_{0, S} {\hat{U}}_{0}^{+} {| ψ ⟩}_{t} + {\hat{U}}_{0}^{+} \partial_{t} {| ψ ⟩}_{t} \\ \partial_{t} {| ψ ⟩}_{t} = \frac{1}{i ℏ} {\hat{H}}_{0, S} {| ψ ⟩}_{t} = \frac{1}{i ℏ} {\hat{H}}_{0, S} {\hat{U}}_{0} {| ψ ⟩}_{W} \\ \Rightarrow d_{t} {| ψ ⟩}_{W} = \frac{1}{ℏ i} (- {\hat{H}}_{0, S} + \underset{{\hat{H}}_{W} = H_{0, S} + H_{1, S}}{\underset{⏟}{{\hat{U}}_{0}^{+} {\hat{H}}_{0, S} {\hat{U}}_{0}}}) {| ψ ⟩}_{W} = \frac{1}{i ℏ} ({\hat{H}}_{W}) {| ψ ⟩}_{W} \\ \Rightarrow i ℏ d_{t} {| ψ ⟩}_{W} = {\hat{H}}_{1, S} {| ψ ⟩}_{W} \end{aligned}