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\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=0}^{n}{{{x}^{k}}\to \frac{1}{1-x}}\forall \left| x \right|<1

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lim n → ∞ ⁢ ∑ k = 0 n x k → 1 1 - x ⁢ ∀ | x | < 1 → → 𝑛 superscript subscript 𝑘 0 𝑛 superscript 𝑥 𝑘 1 1 𝑥 for-all 𝑥 1 {\displaystyle{\displaystyle\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim}}\,\sum\limits_% {k=0}^{n}{{{x}^{k}}\to\frac{1}{1-x}}\forall\left|x\right|<1}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim}}\,\sum\limits_%&#10;{k=0}^{n}{{{x}^{k}}\to\frac{1}{1-x}}\forall\left|x\right|&lt;1}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.cmml">
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          <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
            <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.cmml">lim</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">→</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.cmml">∞</mi>
            </mrow>
          </munder>
        </mpadded>
        <mo id="p1.1.m1.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.16.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.16.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.16.2.2.1.cmml">
            <munderover id="p1.1.m1.1.16.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.16.2.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">∑</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.1.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.4.1.2.cmml">=</mo>
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              </mrow>
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            </munderover>
          </mstyle>
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            <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">x</mi>
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          </msup>
        </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">1</mn>
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              <mn id="p1.1.m1.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.cmml">1</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.cmml">-</mo>
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            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.16.3.1" xref="p1.1.m1.1.16.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.16.3.2" xref="p1.1.m1.1.16.3.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">∀</mo>
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            <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.16.3.2.1.1.1.cmml">|</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">x</mi>
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          </mrow>
        </mrow>
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      <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">&lt;</mo>
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            </apply>
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          <lt id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
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</math>

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limn→∞∑k=0nxk→11−x∀|x|<1
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><munder><mrow data-mjx-texclass="OP"><mi>lim</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi><mo accent="false">&#x2192;</mo><mi mathvariant="normal">&#x221E;</mi></mrow></munder></mrow><mspace width="0.167em"></mspace><munderover><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>x</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi></mrow></msup><mo accent="false">&#x2192;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>x</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">&#x2200;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>x</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mo>&lt;</mo><mn>1</mn></mstyle></mrow></math>

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