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Display information for equation id:math.1255.149 on revision:1255

* Page found: Das d'Alembertsche Prinzip (eq math.1255.149)

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Normalschwingungen Eq: math.1515.10

Hash: ad121a07851049a4c7d3f1c3f7f685c5

TeX (original user input):

\begin{align}
  & {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}=\frac{\partial x}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial x}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial x}{\partial \phi }\dot{\phi }=\sin \vartheta \cos \phi \dot{r}+r\cos \vartheta \cos \phi \dot{\vartheta }-r\sin \vartheta \sin \phi \dot{\phi } \\
 & {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=\frac{\partial y}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial y}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial y}{\partial \phi }\dot{\phi }=\sin \vartheta \sin \phi \dot{r}+r\cos \vartheta \sin \phi \dot{\vartheta }+r\sin \vartheta \cos \phi \dot{\phi } \\
 & {{v}_{z}}=\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial z}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial z}{\partial \phi }\dot{\phi }=\cos \vartheta \dot{r}-r\sin \vartheta \dot{\vartheta } \\
 &  \\
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&{{v}_{x}}={\frac {dx}{dt}}={\frac {\partial x}{\partial r}}{\dot {r}}+{\frac {\partial x}{\partial \vartheta }}{\dot {\vartheta }}+{\frac {\partial x}{\partial \phi }}{\dot {\phi }}=\sin \vartheta \cos \phi {\dot {r}}+r\cos \vartheta \cos \phi {\dot {\vartheta }}-r\sin \vartheta \sin \phi {\dot {\phi }}\\&{{v}_{y}}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\partial y}{\partial r}}{\dot {r}}+{\frac {\partial y}{\partial \vartheta }}{\dot {\vartheta }}+{\frac {\partial y}{\partial \phi }}{\dot {\phi }}=\sin \vartheta \sin \phi {\dot {r}}+r\cos \vartheta \sin \phi {\dot {\vartheta }}+r\sin \vartheta \cos \phi {\dot {\phi }}\\&{{v}_{z}}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\partial z}{\partial r}}{\dot {r}}+{\frac {\partial z}{\partial \vartheta }}{\dot {\vartheta }}+{\frac {\partial z}{\partial \phi }}{\dot {\phi }}=\cos \vartheta {\dot {r}}-r\sin \vartheta {\dot {\vartheta }}\\&\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (66.792 KB / 6.07 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle{{v}_{x}}=\frac{dx}{% dt}=\frac{\partial x}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial x}{\partial\vartheta}% \dot{\vartheta}+\frac{\partial x}{\partial\phi}\dot{\phi}=\sin\vartheta\cos% \phi\dot{r}+r\cos\vartheta\cos\phi\dot{\vartheta}-r\sin\vartheta\sin\phi\dot{% \phi}\\ &\displaystyle{{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=\frac{\partial y}{\partial r}\dot{r}+% \frac{\partial y}{\partial\vartheta}\dot{\vartheta}+\frac{\partial y}{\partial% \phi}\dot{\phi}=\sin\vartheta\sin\phi\dot{r}+r\cos\vartheta\sin\phi\dot{% \vartheta}+r\sin\vartheta\cos\phi\dot{\phi}\\ &\displaystyle{{v}_{z}}=\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial r}\dot{r}+% \frac{\partial z}{\partial\vartheta}\dot{\vartheta}+\frac{\partial z}{\partial% \phi}\dot{\phi}=\cos\vartheta\dot{r}-r\sin\vartheta\dot{\vartheta}\\ &\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle{{v}_{x}}=\frac{dx}{%&#10;dt}=\frac{\partial x}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial x}{\partial\vartheta}%&#10;\dot{\vartheta}+\frac{\partial x}{\partial\phi}\dot{\phi}=\sin\vartheta\cos%&#10;\phi\dot{r}+r\cos\vartheta\cos\phi\dot{\vartheta}-r\sin\vartheta\sin\phi\dot{%&#10;\phi}\\&#10;&amp;\displaystyle{{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=\frac{\partial y}{\partial r}\dot{r}+%&#10;\frac{\partial y}{\partial\vartheta}\dot{\vartheta}+\frac{\partial y}{\partial%&#10;\phi}\dot{\phi}=\sin\vartheta\sin\phi\dot{r}+r\cos\vartheta\sin\phi\dot{%&#10;\vartheta}+r\sin\vartheta\cos\phi\dot{\phi}\\&#10;&amp;\displaystyle{{v}_{z}}=\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial r}\dot{r}+%&#10;\frac{\partial z}{\partial\vartheta}\dot{\vartheta}+\frac{\partial z}{\partial%&#10;\phi}\dot{\phi}=\cos\vartheta\dot{r}-r\sin\vartheta\dot{\vartheta}\\&#10;&amp;\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.cmml">d</mi>
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              </mfrac>
            </mstyle>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.2.2.cmml">x</mi>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.1.cmml">∂</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.3.2.cmml">r</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml">˙</mo>
                </mover>
              </mrow>
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                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.cmml">
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              </mrow>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.1.cmml">∂</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.2.cmml">x</mi>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2.cmml">ϕ</mi>
                    </mrow>
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                </mstyle>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml">˙</mo>
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              </mrow>
            </mrow>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.2.cmml">⁡</mo>
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                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">cos</mi>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.3.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">ϕ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.3.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml">r</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml">˙</mo>
                      </mover>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">+</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">r</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">cos</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.cmml">⁡</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">ϑ</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">cos</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3.cmml">⁡</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">ϕ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2.cmml">ϑ</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml">˙</mo>
                      </mover>
                    </mrow>
                  </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.cmml">⁡</mo>
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                </mrow>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">ϕ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.3.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">˙</mo>
                    </mover>
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                </mrow>
              </mrow>
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          </mrow>
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      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.cmml">
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            </msub>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
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            </mstyle>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.2.cmml">r</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
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                </mover>
              </mrow>
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                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.1.cmml">⁢</mo>
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                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml">⁡</mo>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.cmml">ϕ</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">˙</mo>
                </mover>
              </mrow>
            </mrow>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">sin</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.2.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">ϑ</mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">sin</mi>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.3.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">ϕ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.3.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.cmml">r</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml">˙</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.cmml">+</mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">cos</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.2.cmml">⁡</mo>
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                </mrow>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">ϕ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.3.1.1.cmml">⁢</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.cmml">ϑ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.cmml">˙</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml">ϑ</mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.3.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml">ϕ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.3.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.3.3.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.cmml">
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1.cmml">˙</mo>
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                </mrow>
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
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                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">
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                </mover>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1">˙</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1">˙</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2">italic-ϕ</ci>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1">˙</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2">𝑟</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21">𝑟</ci>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3">
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                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.3.1.1"/>
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                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26">
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1">˙</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2">italic-ϑ</ci>
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                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.1"/>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2">
                    <sin id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29"/>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.3">
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                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.3.1.1"/>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1">˙</ci>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">𝑣</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1">𝑦</ci>
              </apply>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2">𝑟</ci>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1">˙</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2">𝑟</ci>
                      </apply>
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                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.3.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25">italic-ϕ</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1">˙</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2">italic-ϑ</ci>
                      </apply>
                    </apply>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.3.2">
                    <sin id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30">italic-ϑ</ci>
                  </apply>
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                    <cos id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31"/>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32">italic-ϕ</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1">˙</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2">italic-ϕ</ci>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.3.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">𝑣</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.1">𝑧</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.1">𝑑</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.2">𝑧</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.3.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.3.1">𝑑</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.3.2">𝑡</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.2">𝑟</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1">˙</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.2">𝑟</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2">
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.2">𝑧</ci>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3">
                      <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.2">italic-ϑ</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1">˙</ci>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1k.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1m.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
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      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle{{v}_{x}}=\frac{dx}{%
dt}=\frac{\partial x}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial x}{\partial\vartheta}%
\dot{\vartheta}+\frac{\partial x}{\partial\phi}\dot{\phi}=\sin\vartheta\cos%
\phi\dot{r}+r\cos\vartheta\cos\phi\dot{\vartheta}-r\sin\vartheta\sin\phi\dot{%
\phi}\\
&amp;\displaystyle{{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=\frac{\partial y}{\partial r}\dot{r}+%
\frac{\partial y}{\partial\vartheta}\dot{\vartheta}+\frac{\partial y}{\partial%
\phi}\dot{\phi}=\sin\vartheta\sin\phi\dot{r}+r\cos\vartheta\sin\phi\dot{%
\vartheta}+r\sin\vartheta\cos\phi\dot{\phi}\\
&amp;\displaystyle{{v}_{z}}=\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial r}\dot{r}+%
\frac{\partial z}{\partial\vartheta}\dot{\vartheta}+\frac{\partial z}{\partial%
\phi}\dot{\phi}=\cos\vartheta\dot{r}-r\sin\vartheta\dot{\vartheta}\\
&amp;\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
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\begin{aligned} v_{x} = \frac{d x}{d t} = \frac{\partial x}{\partial r} \dot{r} + \frac{\partial x}{\partial ϑ} \dot{ϑ} + \frac{\partial x}{\partial ϕ} \dot{ϕ} = \sin ϑ \cos ϕ \dot{r} + r \cos ϑ \cos ϕ \dot{ϑ} - r \sin ϑ \sin ϕ \dot{ϕ} \\ v_{y} = \frac{d y}{d t} = \frac{\partial y}{\partial r} \dot{r} + \frac{\partial y}{\partial ϑ} \dot{ϑ} + \frac{\partial y}{\partial ϕ} \dot{ϕ} = \sin ϑ \sin ϕ \dot{r} + r \cos ϑ \sin ϕ \dot{ϑ} + r \sin ϑ \cos ϕ \dot{ϕ} \\ v_{z} = \frac{d z}{d t} = \frac{\partial z}{\partial r} \dot{r} + \frac{\partial z}{\partial ϑ} \dot{ϑ} + \frac{\partial z}{\partial ϕ} \dot{ϕ} = \cos ϑ \dot{r} - r \sin ϑ \dot{ϑ} \end{aligned}

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><msub><mi>v</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>x</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>x</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow 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